1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Решнм уравненне (24) относятельно П. Беря предварительно от обоях частей равенства (24) первые инварианты, найдем соотношенне (1 +вл)л Зв 6= лвп вл6 (втсюда (лв — 2) в в= вл6 (25) Воспользовавшись этим соотноюеняем, мы без труда ревгнм (24) относительно П: П вЂ” Ф+ 61 1 + лв (вл + 11 (лв— (26) Введем вместо ж и Е постоянные Ламе р н Х положив вл6 влп — 2вв, =л, вЬввв =В Тогда получим П 2рФ+ М1 (27) (28) рассмотрим главное линейное удлинение зв.
Зго удлинение провсходвт от св, сз и ал- Прн этом напряженна щ даст удлиневяе, определяющееся по формуле (19), я сз н сл дадут укорочевяе, определявяпееся по формуле (20). Мы првмем еще, что все втв деформации независимы друг от друга н могут быть поэтому вкладываемы по прияцяпу яннейной суперпозиция. В результате получаем Рзохоагдинви твнзогь Получив соотношение (28) между теизорами П и Ф, мы можем теперь найти компоненты тевзора напряжений в любой системе координат: (29) 6.
Теперь вам нетрудно будет составить основные уравнения теории упругости; на (14) звдно, что достаточно для етого вычислить огт П. Но вз (28) ясно, что 4( П =2рб(тФ+ Лб) (8)) в по формуле (6) 4( ° (81),= Втаб 8 (30) Далее по формуле (40) 3 24 2 Иг Ф = 6(г — + ййт (Т7п) да во яз формул (22) и (24) того же параграфа ясно, что — = й йтаб иг + (з йгаб нв + (з йгаб лз аа дг да . д» . да ~7н=й — +и — +»вЂ” д»~ Йь Ви Паатому по формуле (3) будем иметь 4(т ~7 и = —, + — „„+ —,, = Дв аа д» д (32) Собирая асс полученные реаультаты, приходим к выводу, что Йгт П = рДв + (й + р) Втаб В Псатому уравнение (14) может быть аапвсаио а виде р —, = рр+ РД в + (Х+ р) дгаб йгт в (33) (34) 7.
Разберем епге вопрос сб энергии деформацвв упругого тела. Возьмем в какой-либо точке тела мальгй объем а форме параллелепипеда с ребрами а, Ь, с, параллельнымн главным направлениям тевзороа деформадий и вапрюкенвй а рассматриваемой точке. Мы предполагаем,что знергия А деформации, приходящаяся ва едивипу объема, зависит только от элементов тевзора деформации, з данном случае от зм сз н зз.
Если рм 2р 3"--'- + ХВ, 1 рм 2р — "' + ХВ, д»з рзз = 2р — + 48, д»а дг» р1$ — рз! р — +— Г д»г д»» т д„) р - р* -р(Я-+ ~*„~ а», а, а», -д(-+ — +— Гл ЗП аэкнныв ОгтОГОнальныл твнзОгы мы хотим увеличить удлвневие за иа велвчкиу Ьеи оставляя беэ изменения са к еа, то действующие ка грани параллелепипеда сины произведут некоторую работу. и так как перемещение происходвт только в направлеюав оси яа, то работу произведет только сила лаЬс на перемещение а Ьеа; величина етой работы будет ОЬсазбеь Относя зту работу к едввице объема и произведя аналогичное вычеслеввг для удлинений еа к еа, мы приходим к выводу, что функция А (еи ем еа) обладает тем свойством, что ЬА аабза + лаЬеа + аабеа Но из уравнений (28) ясно, что л 2раа + 1(е + с + ез) <а а.нй) (38) Подставляя зто в предмдущее выражение и интегрируи, мы получим искомое выражение для работы деформации, првходящейся на единицу объема: А р(заа + еаа + еаа) + — (еа + еа + за)а (37) Выражение, стояпею справа, должно явлвться инвариаитом тевзоре Ф; и действительно, сравнивая его с формулами (14) и (15) $27, мы легко найдем, что А — ~ Еаъ (Ф) — 29Еа (Ф) (38) Ие формулы же (38) по тем же формулам (14) 4 27 мы в состояния вычислить энергию деформации в любой системе координат; А — л — (Фи+Фаа+Ф )а— Х+ хи — 2р.
(ФиФаа + ФааФаэ + ФааФи — ФааФаа — ФааФаа — ФааФаа) (39) Укажем, что энергия деформации очень просто выражается, если ее выражать частью череа тенаор напряженкй, частью череа тенэор деформаций; а имеюао, легко проверить на основании формул (36) и (37), что А — (лаза + Оааа + лаза) (40) Сравнивая это выражение с (19) Я 27, видим что А = —,' Ф.-П (41) и так кзк последнее еыражакие есть инвариант, то мы можем им воспользоваться для вычисления энергии деформации в любой координатной системе; по той же формуле (19) $27 1 — — ~а~~~ хл Фаад в (42) а ~ ° а гллвл гу ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ТЕНЗОРОВ б 30.
Общее определение вевтора и тевзора 1. В настоящей главе мы займемся изложением основ общей теорие тепаорного исчисления, Тензорное исчисление, являясь необходимым орудием исследования з таках дкспкплинах, как днфферевциальная геометрия в теория относительности, крайне полезно и само по себе, так как оно дает вазможность более глубоко проникнуть в сущность тех понятии в связей.
с которыми мы ознакомились з предыдущих главах при изуч" иии афиияых ортоговальяых векторов и тепзорое. Основную вдею тензорного исчисления можно охарактеризовать еле. дукиивм образом. В аналитической геометрии з основание рассуждений всегда кладется определенная координатная система. При пестрое. иви векторного асчвсления стараются координатную систему уничтоягнть совсем, сопоставляя каждому вектору направленный отрезок з пространстве, что дает возможность определить разлвчные операции с векторами чисто геометрическим образом; точно так же симметричному гензору можно сопоставить центральную поверхность второго порядка; однако, при взучевви более сложных объектов мы уже теряем возможность проетого наглядного представления вх; так, напрвмер, у нас вет простого наглядного предятазления для несимметричного афинного ортогонального тепзора.
Поэтому мы опять вводим е рассмотрение координатные системы; так, например, в й 22 нами было дано определение афиниого ортогонального теязора второго ранга как таблицы девяти величин, преобрааующнхся во определенным формулам преобразовании при переходе от одной прямолинейной прямоугольнок системы координат Оз, х, х, к другой Ож' хз' зэ' При этом новые координаты з,', яз', хэ' сзязаньг со старыми ж, яз. хз формулами щ=%11х1+пыле+пизе зг = зм х, + зээ зэ + а,э хз П) зэ ззг яг + пэз зз + зез яв Преобразование координат, выражаемое формулами ($Б является линейным — танис преобразования называются еще а ф и н п ы и и; более того, так каи вто преобразования соответствует переходу от одной елвмвнгы опщни 'гвогии ткнзогов арямолинейиов системы координат к другой такой же системе координат, оно нааывается ортогональным преобраеоееивем.
В соответствии с тем, что нами рассматривались до сих пор только афинные ортогональные преобраеовавия координат, мы и нааывали векторы и теиаоры афиннымв ортогональными векторами и тенеорами. Однако между только что указанным подходом к определению теняора и методом анелвтической геометрии имеется коренная рааница, состошцая в том, что при определении тенэора нв одной из координатных систем не оказывается яи малейшего предпочтения; составляющие тензора определяются сразу для всех сисшм координат, причем ети составляющие при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по определенным формулам преобрааовавия. Эта же самая идея является основной идеей общего теваорного исчисления с тем лишь весьма существенным дополнением, что в последнем пе ограничиваются линейными преобразованиями координат вида (1), а рассматривают самые общие преобрааования координат вида )г (хх хт ле) хт' = )е (лз ле ле) ле' = (з(яг хм ле) (1') Мы остановимся на этом вопросе несколько подробнее.
2, В т 18 мы видели, что положение точки в пространстве можно определять вместо декартовых координат тремя криволинейными координатамв срм см ре. Прв этом в случае, есле етв криволинейные координаты являются ортогональиыми, расстояние са между двумя бесконечно блиеквми точкамв определяется формулой Ь' Н; (рп йм ре) М ' + Н ' (ро рм р ) жу,' + И,' (д„дм де) йу,* (2) При различном выборе криволинейных координат дм ре, рм функции П~ (А тм те)~ Не (тг тт че) и Не (~ум де, де) будут иметь раеличное значок ке, но правая часть формулы (2) будет сохранять постоянное еначввие, так кек оно равно квадрату расстояния между двумя бесконечно блиакими точками, В том же $18 мы видели, что положение точки на поверхности, расположенной в простракстве, можно определять двумя координатами д, и ре в что в етом случае расстояние Ыа между двумя бесконечно блвекими точками, у одной ие которых координатами являются рг и йм а другой Щ + ЙУ, в О, + ЙУм опРеделаетса фоРмУлой Ые' йм (рм де) йут" + 2лж (рм д,) йу, йу, + й„(д„р,) йуе' (3) Так как положение точки в пространстве определяется тремя координатами йм се, сю то говорят, что пространство есть многообразие трех намерений; поверхность же есть многообразие двух намерений, так как положение точки на ней определяется двумя координатами (П к дв Если мы рассмотрим какую-нибудь линию в пространстве, то она будет много.
образием первого измерения, так как положение точки на ааданной линии может быть определено одним параметром. Однако во многих случаях оказывается невоаможнмм. ограничиваться рассмотрением многообразий оввзив опгвпвлпнии Виктоэа к твнеозз 347 трех каперский; так, например, в теории относительности приходится рассматривать пространство четырех ивмереиий. В свяэв с этим кеобло.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
