1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Вычислить иввариавты дли диады аЬ. Ответ. 11 а.Ь, 1з О, 1з О. 3 а д а ч а 188. Вычислить вввариавты для автвсвмметричвого тен- эора, которому соответствует вектор и. Ответ. В=О, 1э=мз, 1з О. 3 а д а ч о 189. Показать, что если а, Ь, о — три векомплаиарвыз вев- тора в Па=а', ПЬ = Ь', Пс =с', а' ° (Ь'х е') 1 (П) аа(БХ э (Ь' Х е') + Ь ! с' Х е') + е а' Х Ь') а.(Ь х е) '(П) " ..( хе) э' (Ь Х е! + Ь' ° (е Х э! + с' (а Х Ь) (20) Р еж е и из.
Пусть вектор г за + 8Ь+ ус имеет главвое вэправлевве, тогда Пг = Ьг, где Х вЂ” главков зиачевве, т. е. П(за + 8Ь + ус) Х(за + ДЬ + ус) аа' + (зЬ' + уо' = Ь (аа + 3Ь + ус) с(а' — ) ) + 8(Ь' — ХЬ) +у(с' — 1с) О Таким образом, три вектора а' — )а, Ь' — 1Ь, с' — Ьс вомплаиарвм, что может быть только, еслв (а' — Ха). ИЬ' — М)) х(с' — Хе)1 О Образуем еще иввариаит 11 для тевзора П АВ, являвшегося провэведевием двух тевзороз А и В. Для определевия этого тевзора мы имели формулы (5) $25: ЛЪнвныа оэтотонзльныи тввэоэы Гэ. п! Раскрывая это векторно-скалярное произведение, получим уравнение третьей степени от Л: а' ° (Ь'Хе') — Л(а.(Ь'Хе') + а' (ЬХе') + а' ° (Ь'Хс)) + + л' (а'.
(Ь х с) + а (Ь' х е) + а (Ь х с )) — Лва-(Ь х с) = 0 сравнивая последнее е уравнениями (13) и (14), получим требуемые з задаче выражевия. Задача 199. Покааатзь что если П = 1,р, -1- ),р, -(- 1,р„то 1» = зз Рз + зв'Рв + зз'Рв Ев = 1»'(Р»Х Рв) + вв'(РвХР») + (в'(Р» Х Рв) (21) 1, = рз.(р хр ) 3 а д а ч а 191. Поназать, что если инварианты теизора П суть 1», Ев, 1», то теввор П удовлетворяет уравнению (22) Пв — 1П +1,П вЂ” 1в1=0 а (Ьхе) + Ь (сха) + е (ахЬ) = (а.(Ьхе)]1 (23) зюрвото, как указано в задаче 177, для аюбых трех векторов а, Ь, е. Заметим, что это тождество можно представить в следующей форме (а(, + Ьзв + сз ). (зз(Ьхс) + 1, (еха) + зв (ахЬ)1 = (а (Ьхс))1 (24) збо по формуле (10) $25 левые части формул (23) в (24) тождественны между собою.
Обозначая теперь через Л произвольный параметр, положим а=Р,— Л»„Ь=Р— Л!в, е Р— Лзв и заметим, что при этах обозначениях + Ь1. + сзв = Р»!з + Резв + Рв)в — Л1»1» — Л!взв — Ив»в — — П вЂ” Л1 1» (Ьхс) + )в (с ха) + зв (ах Ь) Ке + ЛК, + л'Кв еде К, К„К, — некоторме тевэоры; наконец Рз» Л а.(Ьхс) = Р,в Рзв Рвз — л Рвв Рвв Рвв — Л = В (П вЂ” Л1) = 1, — ЛЕ» + Л»1» — Лв Мы видим, что формула (24) приводит вас к следующему тождеству (П вЂ” М).
(Кв + ЛК, + Л»К») = (Е, — ЛЕ + зРЕ» — Лв) 1 Приравниваа коэффициенты при однваковмх степенях Л з обеих частах этого тождества, находим равенства, ПК„= 1»1, ПК» — Кв — 1»1, ПКв — Кз = 1»1, — К, = — 1 Решенно. Пусть П = ззр, + зврв+ !вр, = р»1» + рв»з+ резв Будем исходить иэ тождества задачи 176 з 28 диооигвнппгованпв твнвога по скэлягпомт вггтмкптт ать Умножая обе части этих равенств слева сооэветственно ка 1, П, П', П', получим ПК, = 1~1, П Кэ ПКа УвП П'К, — ПаК, = ~эП~, — ПаК, - — Пз При сложении втнх равенств, все члены, стоящие слева, сократятся в мы получим 1 1 — 1~П + У~па — Па = О что и составляет требуемое тыкдество, 8 ада та Е92. Разлагая теввор ) Рээ Ры Рэз 1 П = (эуэ + эзра + эзра = Рвэ Раа Рвв Рзэ Рэа Раэ на симметричную и автисимметричвую части, мы можем сопоставить последней, как указано в $23, аксиальный вектор еь Попазать, что — 2ю =(Рзз — Рзв)1э+(Ра — Рйэ +(Ры — Р.)(а=( ХР, +(аХРэ+эвхР.
Показать далее, что для любого представления тенвора П в виде суммы тРех диад: П = э(эгэ + Чвгв + Ч г имеет место Равенство — ЧСХгэ+ Чахла + ЧзХгз и что обращение вектора е в нуль есть необходимое и достаточное условие симметричности теизора. Отметим попутно, что квадрат велвчвны век- тора ы является, очевидно, тоже пнварна~том тенвора П. у 28. Дифференцированно теиворв по скалярному аргументу (р„(С) Р„(С) р„(С) ~ П (С) = Р (С) рзв (С) р: (П 1 раэ (С) рза (С) рза (С) ) в функции времени или же прп помощи задания в диадной форме П (С) = ээ Рэ(0 + Ээ рв(С) + (в Рв(С) или в более обшей диадной форые (2) (3) П (С) Ч, (С) г, (С) + э(а (С)г, (С) + Чз (С)гв (С) 1.
Переходя к изучению переменных теиворсв, мы, как и в векторном анализе, начнем с рассмотрения того случая, когда независимой переменной является скалярный аргумент С, например, время. Итак, пусть нам аадан тенвор и (с), ввменяввцийся вместе с с и представляюшпи некоторую функцию с. как всегда, задание теввора и (с) может быть существлено или при помощи задания его девяти составляющих: ьеипныв огтогон зльныв твваогы Га. Ш Не останавливаясь на понятии непрерывности функции, понятии предела и т. п. понятиях, которые могут быть введены совершенно так же, как в обычном авалиае, мы сразу дадим определевве проиэводной от переменного *анзори П (е) по скалярному аргументу <. .<зроизеодной тензора П но слаяярнану ареуненту < назмеается предел отношения иеменения тснеора и нриращаншо нееаеиспиой нареченной, коеда зто наследное отравится в нулю: еп, и <з+ аз» вЂ” и <з) ЫЮ аз р» (Г) рзэ (Г) рзз (С) рм (с) рзз (З) р (<) р- (с) зпз (с) <~зз П) (б) Таким обраэом, составляющие проиаводной от тенэора по скалярному аргументу равны проиаводвым от соответствующих составляющих этого тевэора.
Если же тенаор П представлен в форме (2) или (3), то в реэультато дифферезщировапня его соответственно получим еп — „= <зрз (О+ <р (<)+ <зрз(С) (б) 2~= з<, (г) г,(с)+пз(з)г,(<) +з<з(<) г,(з) +из (г) г,(<)+ + йз (Е) гз (<) + йз (<) гз (<) (7) Докаэательстео етвх формул, основанное на элементарных правилах действий с диадами, не представляет ии малейших затруднений. Легко далее видеть, что все основные свойства производных сохранюотся и для производных от тенэоров.
<<<ы выпшпем в качестве примера несколько формул. Так, например, ясно, что е<п,+и) еп, еп, а и+и (8) е< п) е» еп — = —,П+т —, где т — скалярная функция от с. Еоли П вЂ” тенаор, а и — веатор, эависащие от <, то, как нетрудно вывести, — = — а+П.— е<п. ) рп «а ш ез ез (10) Конечно, мы всегда будем предполагать, что те производные, с которыми нам надо будет иметь дело, существуют и непрерывны. Ясно, что если тевэор П садни в форме (1), то в силу правил вычитания тенэоров и деления ва скалярный мнозкитель мы легко получим следующее представление проиаводной ст тенаора (точка обозначает для краткости дифференцирование по Е): 1 33 двФФягннпссгозлнни твпзогь по скьлягиомн зггумвпту 333 Аналогичная формула имеет место и для кроиаводной от Пма.
Если П, н Пз дза переменны* тенаора, то л(14п*) кп + и еп' ыс кс ~ 'ш Выведем еще формулу для диффереипирования обратного тевзора. Пусть П (с) есть полный переменный тензор, так что онределитель етого тензора Р (П) отличен от нуля и пусть П с есть обратный ему тензор, так гсо (12) ПП'=1 Продифферевцируем предыдущее равенство по с. Имеем ~~П с+Пк~П = 0 так вак 1 — постоянный тензор.
Отсюда П вЂ” — — Пс кП ~ кП лс ~й Умнажим теперь обе часта етого равенства слева на П ', замечая еще, что П "П = 1, получнм требуемую формулу — = — П' — Пс кс (12) 2. Некоторые задача првзодят к необходимости решать дифференциальные уравнения, в которых неизвестными являютсн тевзоры.
к(ы рассмотрим простейшие пример таких уравнений, а вмешю уравнение ~=ОХ гае Х (с) есть искомый теиаор, завнсюпнй от с, а () — заданный постоянный тензор. Если бы нам было дано обыиновекпое уравнение где а — постоянное число, то решением его была бы функция еиз ач 1+ос+йс+ йс +' Попробуем позтому проверить, ве будет ли сумма ряда тевзороз Х, (с) -1+ ос+-2(-+ — „ цзС» цзСз которую, по аналогии с суммой ряда (15), обозначают просто через Х, (с) = сот решением уравнения (14). лоиккыв азгогаилльныв твизогы г.ш Дифференцируя ряд (16) по г. мы получим, что ',О)= П+ — ",*,'+"",-"+ ".
=С~)+ф+ — ",*,"+...) =()Х (з) откуда видно, что действктельва фувкция (17) удовлетворяет уравиевию (14). Прв атом рассуждеиии мы молчаливо предполагали, что ряд (16) сходится и что его машка дкффереяцировать по О все это без труда можно доказать. ио мы ие хатим иа этом остакавливзтьая. Нетрудно теперь взйти общее решение урззиеиия (14). В самом деле, положим, что Х (ю) = Х (Ф) х (Ф) где у (г) — новая иеиззестиэя функция. По формуле (11) имеем чл ФХ1 чХ щ и — = — х+ х,— а Но щ = ()Х = ()Х,Т чх = ПХч чХч Следовательно, получаем СХ,Х = ПХ т +Մ—.
Х вЂ” = О чХ ых а. а = Вообще вз равенства кулю произзедекия двух тевэороз нельзя заключать, что один из вих должев развиться нулю: ио если одзи кз текэоров полный, то другой иепремепко депкев рввияться кулю. Но для чевэора Х~ (г) = еп' существует обрзтинй тевзор е-а', следовзтельио, по теореме 1 25 Х~ является полным тевзором, в следовательио зх — =О щ отиуда следует, что г есть постоявиый теиэор С. Итак, общим решением уравнения (14) является Х(г) -ещС (18) где С вЂ” постоявиый тевзор, а еж определеиа рядом (16).
Полагал в формуле (18) г = О и замечая, что в свлу (16) е" з = 1, яайдем, что Х(0) =С (19) так что тевзар С представляет иачальиае эиачевве тевэора Х. 3. Дадим несколько примеров для тога, чтобы иллюстрировать сяаавияое в предыдущем пункте. В качестве первого превера установим выражение для тевзорв поворота. Рассмотрим вращеиие твердого тела около неподвижной точки, которую мы примем за кэчало коордииат О. Пусть это вращеииа происходит около веподвижвой в пространстве оав с угловой окоростью и, тэк что вектор угловой скорости есть ю. Тогда скорость какой-либо точки М. $ Ха пкФ евгннпнгов»ннв твнэоРА по скалягному аггунвнту дтр радвус-вектор которой есть г, выразвтся ко формуле »г т = юхг. клв — = юХг л» (20~ Проведем в теле три ваавмно перпендвкулярвые оси, которью е начальнмй момент г = О совпадают с веводзюквымв осами координат в имеют орты»м», $», а затем вращаются вместе с телом н к моменту Ф имеют орты р» (8), р» (Г), р» (М). Тогда тензором поворота мы должны назвать.
тевзор П = р, (г) $» + р, (г) $з + р» (г) (, то в мпеевт д когда орты»» )», $» перешли в р», р, р», мы должна>» иметь так как координаты х», з». х» точки М относительно подвижных осей должны оставаться нензменвымн, Но нв (2Ц очевидно, что П», - р, (>), П), = р, (г), П), = р, (г) (22 > и, следовательно, как легко уясввть себе, Пг г Итак, всякий радиус-вектор г„после поворота, осуществляемого тенаором П, переходит в радаус-еекгор г. Зашпием теперь уравнение (20) в следующем виде — = Аг дг (24) где, согласно формулам (37) н (38) $24, А обозначает автиснмметрвчвый. тензор А= м, 0 — м» (25)' Ураввевве (24) применимо к любому вращающемуся вместе с телом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
