1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Колк тепвор В плапврпый, то в формуле (15) рсе эяачепвя вектора ° ' будут комплаяаряы, а тогда, согласпо задаче 163, ва формулы (16) следует, что все зпачеяия Аг будут коллияевряы. Следовательно, А ость линейный теиаор (или нуль). Если теязор В ливейвый, то в формуле (15) все зиачеяия вектора г' будут коллинеарпы, а тогда, согласно задаче 162, яэ формулы (16) следует, что все вяачевяв Аг будут комплаваряы. Следозательяо, А есть плаяаркый теязор (яли лияевкый или куль). Наконец, если В есть пулевой теяэор, то (13) выполялется дла любого тоязора А. Таким образом, если в раэепстве (13) одяв пв теиаоров А или В полный, то другой дол>яви равняться пулю. Покажем теверь, что необходимое я дог>паточное условие для того, ч>лоби тенвор П был полным, сов>поит в неравенстве нумо определи>явля >ленвора П> (17) 1> (П) ~ О ьаиннык озтогоизльнык ткнзогы гл.
Рд Згг В самом деле, приведем теизор П по 3 23 к сумме трех диад П = Рз)1+уз(з+ Рз(з где 11, и, Ь вЂ” три взаимно перпендикулярных единичных орта, а составим произведения ПЗЗ рз, Пзз = р, Пз = рз Для того, чтобы тевэор П был полным, необходимо к достаточно чтобы векторы р„рз, рз бьгли иекомплаяарны, т.
е. чтобы р, (рзхрз) (.0 это иеразевство, записаявое в форме определителя, имеет вид Ры Рзз Рзз Рзз Рзз Рзз ЧЬ о Р1з рез рзз т. е. совпадает с неравенством (17), что и требовалось доказать. 3. Рассмотрим проазведения теивора П на самого седа. Вместо ПП пишут, как в обычной алгебре, ПЗ, вместо ПЗП пишут ПЗ в т.
д. Принимают далее условно, что нулевая степень тензора П раааа единичному тенвору Пз = 1. Дадви теперь определение обратного тензора. Если существует такой тевэор А, что имеп место равенство АП = 1 (18) то тензор А наззмаетел обратнзмз дла тензора П и обозначается через П '. Не для всякого тенвора П существует обратный тензор. В свмом деле, применим формулу (б) к произведелию (18) тепзоров А и П: мы получим В (А) В (П) = В (1) = 1 следовательно, В (П) должен быть отличным от нуля, т. е.
тепаор П должен быть полным. Иолнота тензора П есть необходимое и достаточное услозие существования обратного тензора П '. В самом деле, допустим. что тенаор П вЂ” полный и докажем, что существует обратный теизор. Действительно, преобравовавие г' = Пг переводит в этом случае совокупность всевозможных векторов г опятьтакк в совокупность всев1иможных векторов г', следовательно, по каждому вектору г' можно определить соответствующий ему вектор г. Следовательно г Аг'.
где А есть некоторый тензор. Козюпнируя это равенство с предыдущим, иы у:видим, что ЛПг = г, откуда в силу пронавольиости г аледует, что АП = 1, т. е. А = П ' пгоиэвпппипп твпаовоп Итак, дал зслксэе лолюиио тззморп П сйы(есзлзрсзк сбралзлмй юэлэор П ', причем, ес.зп г' = Пг (19) юо э=П'г' (20) Согласно освоакому определепию (18) П'П=! (21) Не если мы подставим в (19) эыражепие (20), то легко увидим, что (22) ПП' ! Отметим еще одио простое правило действия с обратиыми теввераыв (АВ) ' = В 'А ' в самом деле (В зА '),(АВ) = В з(А 'А) В = В 'В = ! Внчвслвм теперь элемекты тенэора П ' через элемекты тепэора П.
Если полный теизор П задав в диадиой форме (24) П (зрз + ззрз + ззрз то. э силу полноты тенвора П, векторы р„р„рз ве могут быть комялаиарныыв, так как !) (П) = р,. (Рзх р,) в по условию полвсты О (П) + О. Обоэпачиы чарва р,*, рз*, рз" систему векторов, ааааа~ныл с ры рз, р,: (25) Р~ ЦЬ Х Рз) ' Ргбра Х Рз) Рз (рзх Рз) Составим темаор А р,е(, + р,*1, + рз*1з Обраэуем теперь по формуле (10) произведение ПА; пользуясь формулами (19) т 8, увидим, что ПА = 1з)з + 1з)з + )з(з = ! Это равенство в силу (22) показывает, что А П '. Итак (26) П = Рз*(з + Рз*)з + Рз (з На осиовапип втой формулы легко выразить составляющие тенэора П ' через составляющие теввора П. Но мы поступив япаче.
Формула (19), каписаииая в составляющих, имеет вид х,' = Рпхз + Рмхз + Рззхз хз =Р г +Рмхз+Р.хз х ' = рмх, + рззх, + рззхз аминкыв огтоганальныв тннвагы Гл. 10 Реюая эту систему уравнений относительно хз, хз, хз по обычному правилу Крамера, легко найдем, что Рпх>' + Рххз' Ч- Рз>хз' 0>0) Р*зхз' + Рззхз' + Рз зз (28) Ргз > + Рхзх» + Рззхз' где Рз> суть алгебраические дополнения элементов Р>, е определителе Ри Рм Р>з ( Ю(П) = рм.„,р„ Рз> Рм Рзз г.
е. миноры элементов рз>, умноженные иа ( — 1)>г>. Например !Рзз Рм ~Р>з Р>з~ Рп =~ Рм =— ~ Рзз Рзз Рзз Рзз Формулы (28) суть не чта пвое, как формула (20), написанная в составляющих; поатаму мы получаем следующие формулы для элементов тензора П ': Рзз (П )и=в О (П) 4. Выше было указано, что теваоры можно рассматривать как особого рода числа. Покажем сейчас. чта обыкновенные комплексные чкала мо>нно трактовать как тенэоры частного вида в пространстве двух измерений. Рассмотрен следующее яреобразоваяие пространства х,' = р (х, сазф + х,маф), х,' р ( — х> з>п ф + х, саэф) (30) где ( р соэ >р р э1п >р ) 1 — рюпзр рсаэф) (31) Па правилу сложения теизороа мы можем написать П = рсаэф)» + рэ1пф) ) = рсоа зр! + рз>пфу (32) (01( )10) где через 3 обозначен тенэор — 0~ (33) где р ~ 0 и зр — дза аешествепвыз числа.
Это преобразование состоит, очевидно, з повороте па угол ф около начала координат к каследуюшел> равномерно>> расширения кли сжатии во все стороны. Преобразование (30) можно записать в виде пгоиэввдвнии тинэогов сгютэетствующий, очевидно, повороту плоскости па угол 90' э направлении ст оси х, к х,, Составим теперь )л; простое вычисленве по формулам (5) дает, что 01 чго впрочелл ясно и так, ибо )л соответствует, очевидно. повороту плоскости на 130' около начала координат. Мм видны, что тенеор 1 подчиняется тем же прзиплам веремвожеивя, что в комптеясная единица л. Можно поэтому отождеслвить 1 с комплексной единицей л и вместо (32) написать П = р сов х + л р з1п ~р (34) Тамилл образом, тевэоры вида (31) мохспо рассматривать, как обычные комплексные числа.
В качестве сесьма простого применения, положим в формулах (31) в (34) р = 1; тогда получилл тевзор поворота около начала координат нз угол ф. Ясно, что тенэор П" означает з атом случае операцию косо. рота на угол ер. Поэтому мы приходим к язяестпов формуле Моавра (соллр -(- (элпел)" =слм л4л -1- л мп я4л л. 5. В предыдущем пункте был рас- У смотрек вопрос о тензоре поворота в плоскости. Топсрь мы рассмотрим У вопрос о повороте твердого тела в про- (г стракстэе около неподвижной точки О.
П роведем з твердом теле ося координат х„ хл, хл я пусть после повороте эти оси совпали с осими координат хл хл, хл слег. 90 Положение осей х,', хл', хе' относительно осей хл, хл, х, харзятери. зуется таблипей косинусов ал~ $ 22.
Однако весьма часто для определения этого положения пользуются другими ееаичвнамв. В механике обычно употребляют так нааываемые углы Эйлера лр, ф, б (фиг. 90). Здесь 8 есть угол между осями хэ и хз', ~р — угол между осью х, и линией узлов ОЛ (так называется линия пересечении паоскостей Ох,х, и Ох,'х,'), отсчитываемый от оси хл в направлении к осв хл, и ф — угол между линней узлов О(т и осью х,', отсчитываемый от линии узлов Олл1 в положительном направлении вокруг оси х,'. Все девять косинусов зл, могут быть выражены через три угла Эйлера.
В самом деле, мы нлзкем осушестзкгь поворот осей Ох,хлхл з попса положение Ох,'х,'х,' путем трех последовательных поворотов: 1) на угол ~р около осв хэ, при атом ось х, перейдет в ливию уалов Оллг; 2) на угол б около липин узлов Огг, прк этом ось х„перейдет е хл", 3) на угол ф около оси хл', при этом ось ОЮ перейдет в ось з,'. э!в лвиннын огтогонлльнып твнэогы гл !и В РЕЗУЛЬтатЕ Зтнк тРЕХ ПОВОРОтаз ОСЬ Х1 ПЕРЕйДЕт З Х,', ОСЬ Х„ Э Хз', и следовательно ось хз в х,', т. е. тело вз старого положения перейдет в новое. Но каждому из трех укаванныв поворотов отвечает свой тевэор поворота, а именно повороту на угол ф соответствует преобразование 91 х, соэф + хзайп1р $1 = — Х, З!О 1Р + Х, Сзн ф где ось 0$1 совпадает с линией узлов О!т', а ось Ояз с осью Охз.
В тепэорпой форме мы будем иметь Э Фг ГДЕ $ ВЕКТОР С СаотаВЛЯНЯЦЯМИ а„эз, Яз, а Ф тЕНЗОР соэ ф э!п1р О ~ Ф = — гйп1р соэф О ! О О Точно так же поворотам на углы 9 и ф соответствуют преобразования г! = Ря. г'= Ч'Ч где и — вектор с составляющими з!1, Чз, з!з, причем ось Оцз совпадает с О!У, а ось Оз!з с осью Охз', а Э в Чг — тепэоры О О~ сояф ыпф О~ 10 соэ9 з!пй Ч'= — э!пф соя р О !Π— э!пз соэй О О 9 В ревультате мы получзез1 окончательное преобраэовавие г' = Ч19Фг н так как оно должно совпадать с преобраэовавнем = а11хз + а,зхз + аззхз хз = аззхз + аззхз + аззхз хз' = аюх, + амхз + аззхз азз я!и ф я!и 9 а,з = Я!и 1Р соэ ф + + сов зр эзп Чз соз 9 ам СОЯ 1Р СОЯ ф— — ип ф эзп 81 соя 0 азэ = сов ф Язп 8 азз = — сов ф я!пф— — юп зр сзмфсоээ азз = — я!и ф юп ф + + соэфсозфсояй азз = я1п ф э!и 8 а,з = — сов ф э!и 9 а,з = соэ 9 то мм получаем воэможность, составив нрояззеденпе трех тепзороэ Ч'8Ф по формулам (5), вычислить эсе девять косинусов аз!1 симметРнчиыв тензоРы 317 3 а д а ч а 178.
Доказать симметричность тевзорв ПП,. 3 о д а ч а 179. Доказать, что (П,) г = (П 1),, 3 а д а ч а 180. Показать, что всякому тевзору П можно сопоставить тевзор Пе, обладающий тем свойством, что для любых двух векторов п и т имеет место равенство Пе.(вхт) = (Пп) х(Пт) Найти выражение тевзора Пе в дкадвов форме, если П (,рг + )зре + )зре = р,!з + резо -г ре(е О г в е т. П = (реХрз)Ь + (Рзх(Ъ)ее+ (ргхра)ез 3 а д а ч а 181. Показать, что П,Пе В (П) 1 й 26. Свиметрвчныг тензоры. 'зеиеориый зллипооид 1.
Рассмотрим симметричный тевзор П, твк что его елементм удовлет воряют соотношениям рм = Ре (ь, ~ = Ъ 2. 3) (1) Докажем следующее важное свойство симметричных тевворов: Ь (П»а) а (П*Ъ) (2) т. е. скалярное произведение вз Ь к скзляриого произведения симметричного тензора П на вектор в ве меняется при перестановке векторов з и Ь. В самом деле а а Ь (П-в) = ~~~~ (М ~2 ~рмо, ~~~ ~~~~ ~рмдза~ 4 и 3 3 в в а (П. Ъ) = ~ а, ~~ ро,де = ~ ~~~ ~рвдео~ !м гг а в свлу (1) оба выражения равны. ьы г и, исходя отсюда, найти выражения для составляющих (П*)м тензора Пе. О т в е т. (Пе)м = Рм, где Рм — величины, определенные в п. 3 3 адата 188.
Покзззть, что,9 (П*) = (1) (П))е. 3 о д а ч а 188. Показать, что если (м )е, 1 — орты, направленные по осям хм хз, хз, а (д', )е', 1,' — орты, направленные по взаимно перпендикулярным осям х,', хе', хз' (фиг. 90), имеющим'ту же ориевтвцвю, что и оси х,, х„х„то тепзор повороте П может быть представлен в форме П = 1111' + )е)е + (з!е ° 3 а д о ч а 184. Показать, что если ПП, = 1 и Р (П) > О, то П есть теввор поворота. Авпнных огтогональныв твпзогы Гл, Рй 919 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
