1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Пусть тевеор П опре делен тремя векторами р„, ри в р, и пусть рааложения этих векторов по ортам суть ьенннык огтогоыалькып ткпзогы га «И аз« з и«' =,'Е я«г««(а - Б ц З» ! 1 формулы (3) запщпутся э аналогичном вкде (12) Точно тзк же Р«' = Х п««Р~ 1«-цг, 3» (13) «! Выаспнм теперь, как преобразуются компоненты тенэора рм, т. е, найдем выранюппе величины рм' через девять эелпчпн ры (г. « =1, 2, 3» Во время вывода, для аспости, будем пользоваться аолпымя обоэначе.апяма компонентов тензора. По самому определению р««' = р„„„; есть ароекщ«я на ось хг вектора р„,. Но по формуле (13) 1 ~~««~ «" р«« ° « .Беря проекпяп от обеих частей этого равенства на ось л,', получим а силу -того, что проекцпя вактора р„, па ось я,', по общей формуле (12), равна ,«~ аьР«,«, «= « следующее равенство: Р*«'«у = Х Х я«Ж«Р»„*« ««а « Так капрвмер, р«э есть третий компонент вектора рз.
В старых обоаначепнях это будет р, т. е. з-я составляющая вектора р„.' Иногда удобно тепзор П, заданный таблицей девяти чисел (11), обо.значать через (ры». Аналогично вектор а можно обоаначать через (а«», 5. В $4 мы рассмотрелп вопрос о яреобравованкк компонентов вектора прп переходе от одной координатной спстемы к другов; поставим тот же вопрос для компонентов текзора. л«лз хз Напомним таблицу $ 4, дающую косвнусы углов, составляемых осями двух координатных Яи ки ««м спстем Оз«хзх«п Ол«'х«'хз'.
Мы напишем эту таблицу в несколько дру- з з п«а гом виде (прпведенном здесь слева), болев — — — удобном дла сокращенного писанка формул, я'з а,э иза аю так что ап соз (л«', х«)- Проекция вектора а на осп коордппат щ', Ы, зэ' обозначим для краткости через а«', а«', аа'. Точно так же обоэкачю« юреэ р«', рз', рз' составляющие тепаора П по осям л«', зз', ээ' а через р««' компоненты тензора П для системы координат Ол~' х«' зэ', т. е. величины р„„„;.
В новых обозначениях формулы (2) можно заппсать в следующем компактном виде: ЛОНЯтик АФИННОРО ОетогоньпьпОРО тнпЗОРА Воаеращаясь к кратккы обоаначениям, покучаем скедующие осноеные формулы преобраеоеания компонентов тензора пре переходе от одной координатной системы к другой РА!'= Х Х ачвмь Ры (А, ! 1,2,3) (14) Таким обрагом, коеые компоненты текгора яеляются хинейными комбинациями старых. Полученные формукы можно рассиатриеать как обобщение формул (л) дхя некторое. В состеетстеии с атим ыы можем дать. Охедуюпгее нторое опредекение понятия тенаора. йсли длх каждой арамо.шнеаноа крлмоувмькой системы координат х, х хг мы имеем совокушшсть двояк!и величин рьь, расгшложвнных в виде матрицы (11) и нреобрагуккцмхсл в величин!! рь!', Отсвчаккцие другой сисешмг координат Ох,'х,'хг' но д)ориулам (Щ, кш совокупность гтих дееккш вы!ивин онрвдмхвт новую величину П, нггыеавмую а(дынным орвьогональнььк кынгораы второго ранга в иространспые трех ив!юрский.
Вехичикы ры нааыеаются к о и и о н е н т а м н тенеора П. Экеи-. еапентиость попого опредмекия тенеора со старым соеершенно ясна. мы тохько что получили формукы (14), яккяющаеся осноеными дкя какого опредекения текаора иа формул (13), являющихся осноеными дкя старого определения. Пронаеодя еычнскепия е обратном порядке, мы, очееидно, иа формуа (14) можем получить формулы (13), что и докааыеает нагие утеерждение об екаиеакектности обоих опредехений тенеора.
Совершенно анакогичко можно было бы опредекять тенгоры третьего, четеертого к т. д. рангов и притом и пространстае любого числа намерений. Есяи мы и фарнуку (10) анесем аыражекия (7) дяя еекторое р!. рь, рг, то мы получим так нагыеаемую д е е я т и ч к е н н у ю форм у т е неера: Ь А П= Ч', ~ 1,),ры ь А! ! Конечно, пока дхя нас формулы (10), (11) и (15) яекяются тояько тремя раеяичными формами аапнси одного и того же танаора. 6. Рассмстрии еще нескояько примеров тенаорое.
Покажем, что если дпя любой системы координат принять рн = р„= р„- 1, ры - О (ь, !) то покуеится те игор 1= О 1 О (16) который наеыеается единичным тек гором. ьи н. н. к вв »окннын огтогонлльныв твнзогы Гл. РД В самом деле, применяя формулы (14), мы находим для рм' величины Рм = ~ «яяхь (»ч»а) ! Ряя = ла «я 1 равные соответствеяво 1 н О, в силу формул (5) 4 4. Таким образом, ео всякой системе ноординат будет р„-1, ры =О, что в докавывает наше утверждение.
Очевидно, что для единичного теивора Ра= аа Рв 4 Рв= ав Следовательно, другой формой записв единичного тевзора будет (а)а + (в(а + авва В качестве второго првмера возьмем два вектора а в Ь и составим матрицу ( хаза «,Ьз лайв ) аЬ = ~ ааЬа аайа аайа ) аайа аайв ааЬа (18) В силу формул а в „'=Х „Ь,' Х „Ь, мы будем иметь а в а»'Ьа' = ~ ~ аа„«ьа,Ь, ая Ыы видим. что злемевты матрицы (18) преобразуются по формулам (14), следовательяо матрица (18) определяет тевзор, который называется д и а д о й н обозначается через аЬ. Составляюпаими втого тевзора по осям х„ха, ха являются, очеввдяо, р = а»Ь Ра а,Ь.
Ра авЬ. Обратим вявмавие, что диадв ( Ь,а, Ь,аа Ь,аа 1 Ьа = Ь,а, Ьзаа Ьяаз Ьаа, Ьаав Ьзаз а а в а Рва = Ри = с~~~ а~~~ аа «варя Х Х М «я Ча = Х Х аааааяЯа з а6 ! я аа а етлвчвв от диады аЬ. Допустим, что мы имеем теваор П с компонентами рк и рассмотрим таблицу с элементамв оя, = рго Покажем, что матрица с ваементами а»а тоже определяет тензор.
В самом деле, проверни формулы (14): сложении н Рьеноизвнив твпеогов Так кек ~о скачкам г и з происходят суммирование, то мы можем г обозначить через з и з через г; ао тогда ясно, что формула (14) для величаи Рвз имеет место, и следовательно мы действительно получилв тэаэор, который обозначается через ( Рп Рзз рм ) П = рзв )ззв,язв з ,ем рзв рзз ~ и наэыеаетсв теаеором, сопряженным с тензором П. Так например, диада (1э) является сопряженной с диадой (18). Очевидно, что тевэором, сопрвжеввым с теиэорон П„является тенэор П: (21) (П), П й 23. Слонивае в раэложевве тевэорсв 1.
Определим сумму двух тенэоров: П' с элементами рм' и П' с элемевтамн рм", как теиеор П с эламевтами Ри Рм + Рв» Что П действительно является тенэором, следует ив линейности соетвошезшя (1) и ливейаоств формул преобразования компонентов тевеора (14) $22. Так как Рв = Х Рв»1» Рв = хз Рв» 1» Рв Хзрв» 1 ео очевидно, что составляющие теаэора П по осям хн хв, хв определяются путем сложения составляхжэвх теваорое П' и П": Рв = Рв' + Рв (г) Точно так же очевидно, что если мы умножим есе элементы рм некоторого тенэора П ва один и тот жа скаляр Х, то э реаультате мы получим новый тенэор, которого компоаевтамн будут »зеве Зтот тевэор естественно обозначать через вП. Состаелвхвцими этого теиэоРа по осЯм х„хз, хз, очевидно, бУдУт Явлвтьсв вРь 'вРе Ь1 е 2. Теааор П, обладающий тем свойством, что Р = Ргв (Ь.
З-З. й, Э) т. е. значение любого компонента которого ве меняется от перестановке значков этого компонента, ваэыэаетея с и и м ет р и ч вы и те ив ор о м. Таким образом, компоненты свыметричного тенаора, симметричны относительно главной диагонали таблицы тенэора, равны между собой. Поэтому симметричный тевеор определяется шестью велвчннами, а ве девятью, как общий тевеор. Заметим, что иэ формул (14) $22 легко можно 19» левннык огтогонвльхыв твнеогы Гл. Н1 вывеств, что если формулы (3) смеют место для одной какой-вибудькоордиватной системы, то этн формулы будут спраеедлпвы и в любой координатной системе.
Очевидно, далее, что симметричный тензор является сопряженным самому себе: (4) Тензор П, сбладаюшнй тем свойством, что для любых значков й в в рм — — — ргв (», » 1,2,3) т. е. значение любого компонента которого от перестановки значиоэ этого компонента меняется на прямо протввопоаожное, называется автвсвмметричным тензором. Очевидно, что элементы автисимметричного тензора, стоящие ва глазной диаговалв, разны пулю: Рвв = О, ибо Р„„— рв„.
Элементы яю, симметричные относительно главной диагонали, равны по величине, но противоположны но знаку. Если ввести обоэвачевая ез = Рвв — Рзв ввв = Рм = — Рве ев Рзв = Ръз то таблица автисимметричного тезюора примет евд (6) Таким образом, автисимметрачвый тенэор определается только тремя зелвчввамв эвв, ез, ез. Заметим, что ив формул (14) 5 22 легко вывести, что если формулы (б) вмеквг место для одной какой-нибудь аоордпнатвой системы, то эти формулы будут справедливы а в любой координатной системе, вбо 3 в в в в в Ри' = Х Хэьсмр»»= — с~ лз «ьаьР = — ~ Еэваьр*. = — Рв»' » 1В 1 ° 1» з Покажем, что величины ез, ез и ез можно рассматривать как компоненты некоторого аксиального вектора е. В самом деве, вычислим например в з ез' = Рзз'= Х Х аа аерю = »» 1 ез (еззавв — авзае) + ев (ав»азв — аввазз) + ев (а»вам — аз»сзз) Если воспользоваться теперь форкуламв (20) 5 6, то мы получим ез' П- (езазв + евазз + евазв) где верхний знак берется при одноименных системах Оз,'зз'зв' в Оя,хвзз, нижний при рааноимжшых, сложнння и гзяпожанин танеогоя Аналогично получаются дяе другие формулы, так что получаем формулы преабраеоаання в мз' ~'-.
Я ззмм, (у) сч как рае совпадающие с формулами преабрааоаання акснального вектора. Таким образом, июкдому антнсимметричному тенаору отвечает неко. тарый аканальный нектар, и обратно. Отметим еще, что соотааляющнма анзнснмметричного твнзора по осям яяляются нектары рз мззз )' мвзз з хм рв 1зхм рз 1зхм (8) Заметмм, накален, что тенгор, сопряженный с антнснмметрнчным тенвором, отличается от последнего только знаком (9) 3. Докажем теперь теорему; ваяния тгнзор можно разлонгить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
