1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Мы предположвлн, что внутри поверхноств 8 'выполняется уравнение (88); сто звачнт, иными гловамв, что яву ерв поверхностя Л асточнпкв отсутствуют; следовательно все вмеюптвеся всточнвкв находятся ене поверхности Я. Но правая часть формулы (89) представлвет сумму потенциалов простого в двойного слоя; внымв словака формула (89) дает выражение аначеввй функцвн р внутрв поверхпоств 8 черен фвктвввые всточнвкв, распределенные по поверхноств д. ПВРВМВНПЫВ ПОЛЯ В СПЛОШНОВ СРВДВ С такой точки арения формула (89) Валяется математическим выражением принципа Гюйгеаса в форме, приданной последнему Кирхгоффом, которому принадлежат формула (89).
Перейдем теперь к доказательству формулы (89). Для этого применим формулу (43) 4 19 к функции рр) = ф(В ч. ь с — —,) = В ((с, с — —,) где г = РС".С вЂ” расстояние между неподянжной тоЧКОй Р я переменной ,-.-- е: ю(р, с) =су(*. у ' ') = Под Впалом интеграла [и) рассматринается, как функция точки () Я, с). ь), Входящей как явно, так и через посредство г, поэтому, вычисляя по правилу диффврвицяронания сложных функний, находим йгаб [р) = бгабф (бс, с — — ') = [йгаб р) — — '[;,'х1 бгаб г (92) Отсюда следует, что на пояерхности 5 (93) Введем 1епарь дл» болыпвй ясности сферические координаты г, б, ф с центром в точке Р н наедем сверх того обоэначенив (94) В=с —— е Тогда легко будет вычислить аначение функции с"1 [р), где рр) = ф (Д, с — вЂ”Ч = ф(г, д, 1р, т) В самом деле, по формуле (41) 4 18 мы имеем, считая т на зависящим От г с."ур = ~вдг(э д — )+ г .
б дб(в)пад )+1 ,С г а— ,Р (95) Но если нам надо Вычислить С), (ф), то г якляется функцией (94) от г, поэтому В этом случаа а(е) ае ад С 1) дч с ач + (,с= дг дг дт ( с С дг с дт Викторцыи Аиализ гл. и 278 Сравнивая это выражевие с (95), получим, что л Ор! = кл — — — а; — — — +— аяр 2 ае 1а с дг ат сс дт сс дт* Но, по условию. фувкция ср удовлетворяет волновому уравнению поэтому мы находам, что ~яр~ з ав з аьр г ме — = — — — — ' — — + —— с ас*дт сс д ат асс дтс Заметим теперь легко устанавливаемые формулы г а Гдв1 дз 1Мр Тогда предмдущеа равенство можно записать, воспользовавшись аще формулой (2) р 17 е виде ,"~(В) 3 дв .
г 2 д ('сър1 с с ат г сс ас(Тг) — — бр ййч —,,— — ( — с.йгас( Я) = — — Жт ~ —,~Д) Првмеиим теперь формулу Гаусса-Остроградского к объему (г„получаемому из объема 'г' путем выкидывания шара малого радиуса е сцеитром е точке Р и ограиичеипого сферой Х. Тогда получим На сфере Е будет г = е, поатому при з О подывтегральвая фувкпвя 1 последнего витеграла будет порядка —, вся же площадь сферы Е равва 4пас; ветрудво отсюда ааключвть, что Пш $ ф ~~' "~ сьа = О Поэтому з 3 Собирая формулм (91), (93) в (97), мы в докажем формулу (90).
В качестве првмера применения этой формулы примем за Я сферу РаДвуса В = сд с центром в точке Р. Тогда звачевия запаздывающих потенциалов придется брать в момевт р — Н/с = г — г = О, т. е. в ва- пвгимвнныв поля в сплошной сивик чальный момент времени, и мы находвм выражение ф (р, Э) через значения ф и йр/д1 в начальный момент времеви. Вводя сферические координаты г, 9, ф, с центром в точке Р и замечая еже, что направление нормали и совпадает с направлением г, найдем, что э формуле (90) с(о = В* з1п б йб й~ = Вэ йо, (~) = ре1 = ая и, следовательно, Ф(Р.П--БН + (В б,ф О)+ — К 1г Отсюда получаем искомое выражение ф(Р, г) = ' (,— '„~ВЦ,р(Л, В, р,о) ( ]+с~Я) ж ~ (И) 11. В заключение этого параграфа рассмотрим вкратце основные уравнения теории электромагнитного полн.
Прв рассмотрении электростатического поля уже введен вектор электрической овлы Е и была указана его связь с плотностью р электрических зарядов Д)т Е = бкр Прв рассмотренви электромагнитных явлений наряду с вектором Е вводится вектор магнитной силы Н, даэнций по величине в направлению ту силу, которая подействовала бы на единицу магнитной массы, если ее поместить в рассматриваемую точку пространства.
При этом, однако, принимают, что бреН-0 (100) ибо, каи учит опыт, нельзя отделать положительные магнитные заряды от отрицательных и в каждом куске какого-либо тела полное количество магнетизма равно нулю. Прз рассмотренни переменных электрических и магнитных полей обнаруживается тот основной факт, что ааменение магнитного поля вызывает электрическое поле и обратно, изменение электрического поля вызывает магнитное поле. Количественные выражеввя этих фактов даются уравненвями Максвелла.
Последяве представляют собою обобщение двух основных экспериментальных законов электромагнетнзма: закона Био-Саварэ и закона индукции. Мы уже упоминала о законе Био-Савьра, когда рассматривали поле вихревой анти в х ЗЭ, и.
5. Мы видели, что если интенсивность вихревой вито Ь равна Г, то вызываемое этой вихревой нитью поле будет (101) ВВКТОРИЫЙ АНАЛИЗ Гэ Н причем цпркуляцпя вектора а по контуру К, охватывающему один. раэ е надлежащем направлении кривую 1., равна как раа Г $а Й = Г (102) Но по вакону Бпо-Савара, если мы внаем ток силою 1, текущий по проводнику А„то он производят в окружающем пространстве магнитное воле, определяемое (в правой свстеме координат) по формуле (103) где с — универсальная постоянная, появляющаяся в свлу того, что у я Н пэмеряются в раэиых едкввцах.
Но тогда вэ формул (101) п (102) ясно, что еслн мы Заставим единицу и агнвтной массы обойти контур К, отватывакяцвй один раа в положительном направлеппв проводник А"., то работа эллы Н будет равна ~Н. (г= ~' (104) Формула (104) представляет просто другую формулировку эакона Бво-Савара. Ее можно обобщить еще больше, если представить себа, что электрпческие токв имеются во всем пространстве.
Если рассматривать только покояшпесв тела, то, по Максвеллу, элен. трвчесивй ток надо составлять из двух частей. Первая часть получается в реаулътате обобшения Закона Ома, по которому плотность тока, т. е. количество элеитрвчества, протекающее черве единпцу поперечного сечения проводника, пропорционально падению потевдиала ва едввицу длины, т. е. пропорцвонально электрвческой силе Е.
Итак )=аЕ (106) 1 („йУ = 1ОКесю" (106) Но, по Максвеллу, чтобы получвть У, нужно прибавить к предыдущему выражеввю еще так ваэываемый ток смешения, который обраэуется во всех тех случаях, когда меняется электрвческое поле, в представляется по величине в шшравленвю вектором 1 дЕ ал дф где 1 — вектор плотности тока, а а — коэффнпкент пропорциональности, называемый удельной электропроводностью. Еслв поверхность, опираю- щуюся на контур К, обоэначвть черве 8, то яолнчество электрлчества, протекающее через 8, будет, очевидно, равно ПЯРЗМКПИЫВ ПОЛЯ В СПЛОШНОЙ СРВПВ ~ОЕ"Сьд + С„~ дс (107) в уравнение (104) принимает зид (108).
Применяя формулу Стокса, моясем написать 1гсь Нс)г = 1 1(4 Е„-+Ф)с)у Отсюда, в силу полной произвольности выбора поверхности 8, следует лерсас ураслеязе Мехсвелаас ьН = — В+ —— с ак с с дс (109) Второе уравнение Максвелла получается аа обобщенного закона ян. дукпии Фарадея, по которому при изменении магнвтного поля з каждом проводнике возникает злектродвижущая сила, пропорциональная скорости изменения магнитного потока через поверхность, охватызаемую этны проводвиком.
Математически закон индукции выражается уравнением. (110Р гоьс Ес)б = ас ~ Н»с(о откуда вытекает второе урасяеяве Малссссаас 1 дН гоь Е = — —— с дс (111) Перепишем еще раз все полученные уравнения, причем предположяк еще, для простоты, что плотность злектрических аарядов р равна нулю гоь П = — Е + —— 1 ак с с сС (112) 1 ды гоь Е с дс б)РЕ= О б)РН 0 (1 15) Покажем прежде все~о, что для векторов Е н Н можно получить независимые и притом совершенно одинаковые уравнения. Применяя его к любому контуру К и опять пользуясь формулой Стокса, получим ВЕКТОРНЫЙ АНАЛВВ га. и В самом деле, двфферевцпруя (112) по времевв в беря ат (113) операцаю гоь, найдем, счвтая а в с поатояввымв чвалавсв, аы 4я ак сак гот — = — — + —— ас с сс с ас* ац са асН гос гос Š— — гос с ш с сс воглолъаовавшвсь еще тем, что гос гос Е Егас( 61т Š—,Л,Е = — с'сЕ молучвм оковчательво для Е следующее ураввевве: 4яа дЕ 1 дсц С-' + са" с' ас с сс- (116) Такое же самое ураввевве получается и пля Н.
Уравкевпе тапа (116) ваамвается т е л е г р а ф в ы м у р а в в е в в е м. Еслв токв отсутствуют (с = 0), то ово вырождаетгл в волновое урав- аевве 1 дсЕ ,гсЕ = —— сс асс (117) со скоростью распрострайевпя с; по злектромагпятвой теорвв света с есть скорость распростравеввя света. Если а (116) можно пренебречь вторым члевом, т. е. токами смещеввя, то получвтгл ураввевве тйпа ураввевпя теплопроводвоств 4яс дк ,~,Е с" дс (118) Накокец, в случае стацлопарвых процессов, получается ураввевве Лапласа ,г1Е 0 (119) Рассмотревве вопроса об экергвв алектромагввтвого' поля првводвт к аведепвю важного вектора э= — ЕХН (120) —,1„~ Е (Р Точка так же эвергвя магкктвого поля определяется выражеввем с-.~ Нес(Р котормй казывается сеашорон Пойнтинее в дает по велкчвве в ваправ- леввю поток авергвв.
Чтобы ато покивать, вспомним, прелсде всего, что евергвя электрвческого поля определяется ввтегралом ппгяквпныв поля е оплошкой сгвдв Вычислим теперь каменские полной ввергая электромегквтяого поля, ааключеввой в объеме Р, ограввчепяом поверхностью о. Мы имеем % )Н ~ (Ье + РР) е"г' '~ = — ' ~~Е.,'~+ Н.7~ И (121) Применяя теперь уравпеввя (112) в (113): яьу е г — — (Е гоз Ы вЂ” Н.
гох Е) ЫР— (сйт ~У гз е~ (122) Так как 4)т (ЕхН) = Н гоь Š— Е гоь Н то ~ ~(Е.гоь Н вЂ” Н. гоьЕ)Ж'= — — ~<Из (Ехй) йу — ~ о) т а пУ вЂ” $ э„еУ е (123) Уравнение (122) прявимает поатому евд — = — ~э аБ — ~сйе пг' Не аятеграл представляет собою джоулеао тепло, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
