1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 44
Текст из файла (страница 44)
М» »и ы аз 17 п. в, кз»еа Ввктовцыи Апллиз гл. и мы и получим, замечая, что 8 = 81 + Ям полпую проивводпую от иито- грала Еа: — ~ ф ЮК = ') лж а'г' + фф щ Ы8 Мы яарочио подробно провели асе рассуждение; ва самом деле зсе это рассух~деиие коротко можпо передать следуюпшмв словами. Измене.
пве иитеграла Ез происходит от двух прачвв: от измевеиия фупкции ф и от взмеиеиия обьема У. Если бы ивмепеиия объема г' ие происходила, то за время «й фувпция ф получила бы приращение а иитеграл Ев приращевие что и дает первый члеи формулы (5). Пусть теперь функция ф пе меняется, а измеиается только объем г'; ато может происходить только потому, что пекогорые частвцы выходят ила входят через поаерхпость Я. Чарва влемеит Ю этой понерхиости за время ш выходит объем свлошпой среды е„й И8; вто увеличение объема г' доставит вптегралу 1з цриращеппе фв„сВНЯ, а все приращевие иитеграла йм происшедшее от пзыеаеиая объема У, будет, очевидно, равно откуда получается второй члеп формулы (5).
По теореме Гаусса-Остроградского, ловерхпостпый интеграл можно креобразовать в объемный $фз„ сБ = ~ б(т (ф т) й' з Следовательио, выражение для полкой производвои от объемиого иитеграла можпо записать и а таком виде: з ~ 'р ИУ = ~ ~ ф + 61т (ф т) 1'(~ Наконец, воспользовавшись формулой Йт (ф, ч) = ф йтт + т.йтаб ф и формулой (1), мои<по переписать (6) тани~а в следующем виде л ') фог = 1 (ллф + 'р а1т т ~ЕР пввпмвпкьпг поля в сплошпоп стаяв $21 Совершевпо авалогичвая формула получается для векторкой функции а(г, с): —,~ а Л' = ~(е..-+ а гйтт)а1г Если объем à — жидкий, то масса газа М должка сохранять постояпвое зпачепие и, саедовательпо, — =О вМ ш Применяя формулу (7), получим ( —, + р ЙЬ т)Н' О Тая как объем Е мок<ко брать сонершепво произвольным, то полу чается, что — + рб(те =О (9) А ето в есть уравкевие неразрывности.
В качестве второго примера примем в фюрмуле (7) ф = 1, тогда для величавы жидкого объома Р получям формулу ~ гйттЛ~ г (10) В частности, если прввять жидкий обьем бескокечио малым в равным бу, то получим формулу — — 4 й)тт 1 Гбу бр ег (11) 4. Перейдем теперь к вычислевию полкой проиаводпой от поверхностного иатегрзла по какой-либо жидкой везамквутой поверхности Я: (12) Изменение потоаа вектора а через жидкую поверхность Я может происходить от двух причин: 1) от изменения самого вектора а и 2) от иаиеяеява жидкой поверхности о. От взмепеппя вектора а в зависимости от времеви 1 получается приращение пптеграла йУз = 1 — '" гЮ гй ~ш (1 3) 17' 3. В качестве примеяеппя получевяов формулы дадим новый вывод гвдродппамачесного ураввевпя пераарывности (одяп вывод мы уже имели в 5 14).
Рассматривая ввшкеаве газа. обозначим через р (г, 1) его плотность. Тогда ясно, что масса М газа, заключевпого в объеме Р, будет ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ Пусть теперь вектор а ве мевяется, а иэменяется только аощкаа поверхность 8; новое положевие ее черве промежуток времеви сй обоэвачим чсрев 81; тогда, очевидво, с(ь(в = ~ а„с(8 — ~ а с 8 (14) Обозпачим вомгур поверхности 8 череа Г.
(фиг. 81), эа время сй втот контур при своем смещении опюпст поверхность Е, которве эмеоте с поверхностями 8 в 81 образует эамккутую поверхиость, Если эыбраивое нами направление нормали является ввепсвей нормалью для 8ь то ово будет внутреввей иормалью для Х. Првмевим теперь к объему, огравичеююму поверхвоствмв 8, 81 и Е, формулу Гаусса-Остроградского: ббч а сс(с = ~ а с8 — ~ а сс8 + ~ а ссХ (15) э ясно, что элементом поверхности ссЕ является площадка с ребрами ссг (элемент кривой й) и ч сй, следовательно с(Е = ссгхч сй Фиг. ас Далее для влемевта объема сс)с, очеввдио, имеем (фиг. сЦ ссг' = сс8 э„сй (16) Поэтому иэ (15) получаею а„вИ вЂ” ~а с(8 = ~41ч аэ с(8 ас — гсак~дххч сй) (17) а (ссгХТ сй) = — сй~(ВХТ) й (18) и ва оскс в аюпс формулы Стокса (ахч) с(г = ~ гос„(ахч) с(8 (1э) На осиовавив (14), (11), (18) в (19) получим: с(ЗХв = ~ ( э„бсч а + гоь„(а х ч)) с(8 сй и, вспомюсая еще (13), получим окончательный результат —,с ~е с8 ~(э + э„б( а+ ос.
(ах )) (8 Накояец, мы имеем согласво формуле для векторпо-скалярного прс- иэведевия йг» пкгвпвннын полк в сплошноа сгвдк 261 В случае еамкнутостп поверхности Ю, контур Ь стягвваетгл в точку, следовательно, интегралы (19) обращаются в пуль, и формула (21) упро- щается ыс Ф о ~йУ = ф ~а + г„б»т а)ЙГ е (22) Формулу (21) можно пресбраеовать еще дальше, если воспольеоваться формулой (6) 11 л го» (а хч) = (т »7)а — (а ~7) т + а д»т ч — т сйт а В самом деле, мы имеем в силу атой формулы, что де ла — + т. д! т а + гос (а х т) = —, + (т ~7) а — (а т7) т + а сйч т = де = ' — — (а.
~7) т + а б»т т вч Постону формула (21) может быть переписана в следующей форме (23) (24) и, следовательно, формула (23) приводит нас к условию: (2-, — (а ° ~г) ч + а сйт т ) и Ю = О (25) причем сто равенство должно иметь место для любой поверхности о. Отсюда следует, что во всех точках рассматриваемой области должно быть — — (а.»7) т + а 6»т ч = О (26) Чтобы выяснить значение колучениого нами условия (26), введем новое понятна сохраняемоств векторных линий.
Пусть ямеем нестапионарное поле вектора а (г, »). Проведем векторные ляпин этого вектора, отвечающие моменту», т. е. ливии, в каждой точке которых вектор а икает направление касательной к етой линии. Мы уже внаем ($11), что уравневием векторных ливий является (27) »(гха = О или в декартовых координатах а.(юв,с») а„»юг,с, Ц е (юг.к») 5. Переходим к прпменевпям полученных в предыдущем пункте формул. Выведем прежде всего условие того, чтобы поток вектора а череа любую жидкую площадку Я не менялся бы с течением времени. В атом случае 262 взктогиын Анализ Гл.
П Ее и> — — (а.С7) ч + а б'>ч ч = 0 (28) во всей рассматриваемой обяаств дяя всех рассматриваемых моментов времени Н Покюкем сначала иеобходикосгь усяовия (28). Итак, предпояожим, что векторные линии обяадают свойством сохраняемости, так же как и интенсивности векторных трубок. Возьмем теперь в какой-ввбудь момент ге совершенно произвоиьиую поверхность Юе, ограниченную контуром Се. Будем рассматривать зту поверхность Юе, как жидкую. Проведя через точка кожура Се вежорные винни, образуем векторную трубку Ке, которая с течением времеви будет дефоркироваться, но все креня, по условию, будет оставаться векторной трубкой К, (фиг.
82). При зтоы поверхность Юе, являющаяся сечениек первоначальной векторной трубки, тоже будет деформироваться, во тоже будет все время оставаться сече" вием Ю позой векторной трубки. Так как интенсивность векторной труб- При этом время г, при интегрировании этих уравиекий, мы рассматриваем как параметр, имеющий фиксированное значение. Проведем теперь векторные винни вектора а, соотвигствующие другому моменту врекевн б.
Тогда когут иметь кесто два случая. Вообще говоря, рассматривая какую-нибудь векторпую ливию, соотве>ствующую моменту б, мы обнаружим, что она состоит из частик среды, которые в момент г принадлежали р а з я и ч н ы и ватггориыы Линиям. Но, в частном случае, может оказаться, что частипы, составкяющие и моменту Р векторную винто, в момент е тоже обраэовываки векторную явиию. Если зто последнее обстоятельство икает место для Любых моментов времеви г и Р и дкя любых векторных линий данного вектора а, то мы говорим, что веиторные линии вектора а обладают свойством сохраняемости.
В скучав, если векторные линии вектора а сбяадают свойством сохранязмости, каждая векторная трубка будет во все время движения спяошиой среды оставаться векторной трубкой, так каи она ограничена совокупностью векторных ливий, каждая из которых остается все врекя векторной Линией. Но в этом случае опять-таки можно рааяичвть двз подсяучая> первым подсяучаеы будет тот, когда интенсивность векторной трубки меняется с течением времеви; втерым же подспучаем будет тот, когда внтенсиввость любой векторной трубки во все время движения сохраняет свою величину. В етом поскедием подсяучае мы будем говорить, что интенсивности векторных трубок обладают с в о й с та о и с ох р а ив ем ости. Докажем теперь две сяедующве теоремы.
Покажем прежде всего, что услоеие, необходимое и достаточное для тоео, окобы сохранялись как еекторные линии вектора а, >как и интенсиености еекторкых трубок, состоит е еыколнении равенства пигиминяыи поля в сплошной сэнди ки есть не что ввоз, как поток вектора а через сечение Ю, атой трубка: Г =~ .(г) бУ и так как интенсивность векторной трубки по условию сохраняется, то должно выполняться условие (24), а следовательно в условае (25) для произвольной поверхноств Юе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
