1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 41
Текст из файла (страница 41)
что г рассматривается как функция точки 9, точка же Р остаегса вспененной. Вставляв (6) в формулу (5), получим: Ф = — г. (е~~Д'.йгабо —,) влн, так как е фД' = ю есть момент дублетв ! ! Ф вЂ” Š— „(ю йгапе -) Вспомним теперь формулу (54) 5 19: 1 1 Ктао о — йтап г (8) 16н.в.к ее Поэтому фуввпвя <р, характеркаухлцая поле дублета, может быть вапасааа в таком виде: ~р т- (ж. бган г — ) 1 (9) Обоэвачнм далее велвчану момента дублета через и, а угол, состазлненый направленном момента дублета с г, черве а; так как 1 г Р— ы то ва формулы (9) получка еще такое выражение для ~р1 1 ж соса (10) 3.
Расснотрвм теперь тот случай, когда иогочввка распределены по некоторой поверхноств (крамер — распределенно алектрнчесвах аарядов на поаерхноста проводника). Если плотность источников в точке Д поверхности Х обозначать череа а, то это обоакачает, что ва элементе поверхности с(Е, окружающем я точку 9 (фаг. 99), ваходатоя источник обальноста С е с ЫЕ. Векторное поле, происходящее от всех таках всточнвков, будет очевадво даваться той же формулой прачек теперь С ела % Сж 3 Фаг. 99 (в! або фующкн ~р, происходящая от отдельных асточввков, очевидно нужно сложить. Вмражевае (11) бмло названо в предыдущем параграфе потенциалом простого слоя. В $14 ми видела, что расхождение вектора а есть обвльность ваходящвхся в поле асточвнков, отнесенная к едвщще объема, В настоящем случае основную роль играет плотность источников, распределенных пе поверхности Е. Эту плотность естественно поэтому наэывать п о в е р хноотным расхождением вектора а.
В $14 кама бмла установлена формула Гаусса-Остроградского устанавлввающав равенство между потоком вектора в через замкнутую поверхность Я, огранвчавающую объем г', а распространевнмм по этому объему ватегралом от расхожденяя вектора а, представляющим сумму сбальностей всех источников, находящихся внутри Ю. Применим эту формулу к вашему случаю, когда ~р определветсн формулой (11), к возьмем поверхность с" следующего вида. Разчичнык Впктогныв поля Проведем в точке ~ нормаль п к поверхности Х в сместим элемент поверхности ФХ параллельно самому себе в направлении вопвалп и в обе стороны ст поверхности Х ва бесконечно малое расстояние. Прв етом смешении элемент ЫХ опишет ааштриховавный на фвг, 70 объ,ш который мы и примем аа Р, а поверхность, его ограничивающую, п(ж мем за 8.
Обнльность источников, находящихся внутри Ю, равна, очевидно, ЫЕ. Х Различим теперь две стороны поверхности Х: положительную, прилегающую к области, в которую на- с правлена нормаль в, и отрицательную, Поток через положительное основание объема Р ,ь равен, очевидно, ае'э(п, поток через отрицательное основание равен — а„~Ж; потоком через боковую Фв . 70 поверхность объема Р мы можем пренебречь, если высоту цилиндрического объема Р возьмем очень малой в сравнении с другими его Размерами; поэтому полныМ потов через поверхность о будет равен ФХ (а„" — а, ) в из формулы Гаусса-Остроградского мм получаем равенство: ~Б (а„' — а„) = спи Отсюда а = а„+ — а„п (ач — а ) (13) 'Рахим образом поверхностное расхождение равно равности нормальных составляющих вектора а с двух сторон поверхности, по которой распределены источники. Отсюда мм заключаем, что если вектор а на некоторой поверхности Х терпит Разрыв в нормальной к атой поверхности составляющей, то мы можем првлвсать этот разрыв вектора в наличию источников, распределенных по поверхности Е.
4. Рассмотрим теперь тот случай, когда по поверхности Х распределены дублетм с плотностью ц, прачек в каждой точке г) поверхности Х момент дублета ш направлен по нормали и, к поверхности (фиг. 71), тэк что ш тпг В этом случае, так кав момент + в дублета, отвечающего элементу поверхности ЫХ, равен очевидно ш = тз(ь, получим, воспользовавшись формулой (7) в тем, что д в, ягабо — = —— г де г следующее выражение для потсвдпала ~Р 1 ( д 1 Фиг. 7$ Р= — -1 Ч вЂ” — (В де (~! Это выражение было нами наввако в предыдущем параграфе потенциалом двойного слоя. Если же исходить иэ формулы (10), то найдем следующее выраиэевие для П: (14) 1бг Ввктогнып АБАлиз ГЛ Ц Выражевке — д — имеет простой геометрический смысл: это есть саваНЕ телесный угол сФ, под которым площадка с(Х видна пз точка Р (фкг.
72). В самом деле, соедппяв точку Р с крпвой, ограввчввающей алемевт поверхности 142, мы получки телесный угол Ж. Проведем па точки .Р, как ве центра, сферу радиуса г. Подобно тому, как угол памеряется в радпапах отпошеввем длввы дуги к радиусу, телесный угол с(44 измеряется отношением площади элемента сферы с(Х~ к квадрату радиуса гс, т. е. ,(() схс во очевидца, что с(Хс = а(Е-соа а, поэтому п полу чается (15) Отметим, что если угол е тупой, то Ж получается отрвцательвым, но яско, что угол в будет острым и, следовательно, Ю положвтельпым в гом случае, когда пе точки Р видна положвтельная стоФвг.
щ рона элемепта с(3; в том же случае, когда иа точки Р видна отрицательная сторона этого алемевта, угол а будет тупым, а алемевт с(ьс отрицательным. Следовательво,эвак И44 показывает, видна лв вз точки Р положительная илп отрицательная старова алемевта 1(Е Формула (14) теперь может быть переписала в вида 1 р = — — (цИа 4я 1х) (16) даст просто угол 44, под которым вся поверхпость видна ка точки Р п окончательно получится следующая простая формула: Ф= — „— „НО (17) Итак, в случае раввомервого распределевпя дублетов по поверхности Х векторное поле определяется формулой а = — — дгас) Й ч 4я (18) где (4 есть угол, под которым видна поверхность Х кэ той точки Р, в которой определяется ввачеппе вектора а.
Ие (16) следует, что фувкцкя в терпвт ва поверхности Х раврыв вепрерыввостп. В самом деле, если точка Р стремятся к Д, оставаясь с по- Остановимся теперь па том часпюм случае, когда плотность д па поверхности Е всюду одинакова. Тогда с) мошко выиеств аа зван ввтеграда, а интеграл РАэлнчнгяв ввктогпын поня ложвтельной стороны поверхности раерыва, а если мы выделим очень малую часть поверхвостк Хь окружающую точку Ч, то Е, будет вндна пв точки Р под телесным углом, очень мело отличающимся от 2я, в по- тому ф (Р) будет очень мало отличаться от — 2ч(0) — — ~ ц а 1 $ (е ео В пределе, если устремить сначала Р к ф а ватам Ег к нулю, получвм $1 р,- .
ц — —,~ц(а Еслн же точка Р стремнтсв к ф оставаясь с отрицательной стороны поверхности Х, то кв Р будет андпс отрвцательвая сторона Вы н потому 1 ! Г р=+ — ч — — ~М) з сп) Поэтому получаем (19) Вектор, равный произведению Ф, — Ф ка единичный вектор кормаля п„можно яазвать всесраностиеье евадиепшом, так как он характерпауат иаменанне фувкцвв ф прп переходе череа поверхность Х, подобно тому как огай ф характернаует иеменевне фувкцвк ф прв переходе точки в соседние положения.
5. До свх пор мы рассматрявалн беввнхревые вопя, происходящие от некоторого распределения всточвпков. Рассмотрнм теперь случай, когда садако некоторое распределенно вихрей, а источника отсутствуют. В $ т9 мы видели, что вели вихри вектора а авданы формулой гоьа в(в,у, е) (20) а всточвкки отсутствуют, то сам вектор а определяется формулой а = гасА (21) где Фас 73 с ( еЯ.ч,Ввг 4й ) (22) Как простейший случай рассмотрим тот, когда амеетса только одна вихревая нить в анде аамкнутой линни йт напряженке вихревой вити об ос начин черве Р. Обозначнм чарва ~(8 (фнг. 73) коперачпое сечввве вихревой трубки, череа яа каправневкый элемент кривой Е; еслв орт касательной к кривой Е в точке () обоапачнть чарва е1, то будет Ие емй; вихрь в точке Д имеет то же нанраввевне касательной к вихревой внтк, апачвт Ф мам наконец напряженна вихревой внтк есть пронвведевне на площади поперечного сечения трубка вЗ на велвчвпу вихра е, вначвт Г м Ы Ввгггоэпып АБАлиз Гл.
П Поэтому выражевке для А прививает ввд 1 грев (23) Заметим теперь, что капряжевпе впхревой трубки Г есть велкчипа постоянная вдоль всей трубки (т 16), поэтому Г можно вынести эа впав интеграла, в мы получим А=~~— (24) в следователько Г гщ а = — гоь )— (25) Формулой (25) п определяется пола вектора а, соэдаваемое вихревой трубкой Е, напряжеввя Г.
Формуле (25) можно дать другой вкд. Для этого эаметвм, что (26) гоь — = гоев гиэ г э г Воглольэуемся теперь формулой (3) $17: гоь (ра) р гоь а + йтаб р х а положив в кей р = —, а = Кв; заметим при этом, что перемепвой точкой, 1 г очевидно, считается точка Р, так что вектор а должен рассматрвваться как постоявпый, к следовательяо надо положить гоэ а О. Итак гсе~ 1 гос ( — ) = цгаб — хна г,) г (27) к эпачкт г г а = — )йгаб- Х~Ь (28) ь Вспомквая еще выражевке бгаб — — — — -э.
г г можем керепксать формулу (28) в следующем авда: (29) Наконец, очевидно, что объем элемента вихревой трубка равен ог' = ЫЫэ (провэведевке кэ площади осповавпя элемептарвого цвлвпдрвка <ьу яа его высоту сЬ). В формуле (22) надо прокктегркровать только по элемевтам объема, составляющим вихревую трубку 5, так как ввкаквх других вихрей кет. Но для элемекта вихревой трубкк имеем м аг' = мамку.~й = м Ю.<Ь ж Г ~Ь Равлнчвып Впктогнып поля Обоаиачвм черве а угол между векторамк ес и г, тогда та часть вектора а, которая происходит от елемевта вкхревой вити Ыв, будет определяться формулой а — — бгаб Я Ч 4л (18) и постараемся привести вто выражение к виду (29).
Вычислим для етого првраФвг. 74 щенке телесного угла Ж, получавкдееся, когда точка Р смещаетсв в соседнее положение Р', првчем РЕг а~г. Очевидно то же самое приращение сЯ получится, еслв мы точку Р оставвм в покое, но аато весь контур Ь (фкг. 74) сместим е новое положение Е,' параллельно самому себе ка отрезок — с(г,так что, иапркмер, точка () перейдет в положевве ()', прячем ЯР ~ — с(г. Между Е, в Е' обраеуется поверхность, которая и будет ладна под углом с(1). Элемент втой поверхвсстн, обрааованвый при смещения элемевта ба кривой Ь, (39) покааывающей, что увлеаввая часть вектора а перпендикулярна как и элементу вяхревой вити с(а, так и к прямой РЯ, соединяющей точку, где определяется епачавяе вектора а с элементом вихревой вити; чкслеввое же аваченве вектора св4 будет ~с)а! = (31) Формулы (29), (30) к (31) играют большую роль в влектромагветввме, а именно, там покавывается, что если Ь есть проводввк, по которому г течет алектрвческвй ток силою —, а в точке Р находятся едвнвщый 4я ' положительный магнитный полюс, то ва последний будет действовать сила, равяая как раа а, если польеоваться правою системой коордвват— в етом состоит авион Впо-Сапера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
