1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Иными словами, мы ноставнм себе эадачу отыскания поли некоторого скаляра р илн вектора а, когда иэаестно ноле некотормх дифференциальных операций от этих вэиэвествых величий. Отметки, что В 9 12 вами уже решена одна вэ задач такого рода: вайтв а некоторой области скаляряую фувкцвю <р, вели длн каждой точки этой области эадаи градиент втой функции, т. е.
если нам Вэвестио, что бгабй = а (1) 14 Н. в. Ночв» Гэ. и звктогныв анализ шо где а — заданный вектор. Мы аваем, что для решения этой задача необходимо, выбрав фиксированную точку М и соединив произвольную переменную точку М с точкой М„кривой Е„лежащей в вашей области, составить криволяневный интеграл р (М) = ~ а-Й' (2) Тогда, как бмло показано а $12, функнвя (2) будет удовлетворять уравнению (1). По поводу этой задачи сделаем несколько замечаний.
Прежде всего заданный вектор а пе может быть промзвольвым вектором. В самом деле, в силу того, что пн йгаб й = 0 непременно должно быть гаса 0 т, е. вектор а должен быть безвихреаым. Далее, криволинейный интеграл (2) может оказаться многозначным, а именно, зависящим от пути ивтегрировавия М,М, Однако это может случиться только а том случае, если та область, в которой мы рассматриваем вектор а (и в которой мы предполагаем как вектор а, тав и его первые частные проиаводные векрерыввымн), являетсв многосвязной.
Дейст вительно, если область задания веьтора а одвосвяэна я если МэНМ н М (,М вЂ” два пути, расположенные з этой области и ведущие яэ точки Мэ в точку М, то мы, очевидно, кмеем а-дг — ~ а ° ог ~ а ° Ыг+ ~ а ° с(г $ а.пг ибо прн пробегании кути М ЕМ в противоположном направлении МЬМэ криволинейный интеграл меняет свой знак.
Путь М КМ можно непрерывным образом перевести а М,ЕМ, ие выходя нри этом из пределов вашей области. Пусть 8 — поверхность, обрааоаанная последовательными положениями М КМ нри только что указанном перемещении этого пути. Тогда по теореме Стокса в в силу (3) мы имеем а ° яг-= ~~газ„а с)8 = 0 Отсюда я вытекает, что Таким обрааом э случае односвязной области интеграл (2) не может зависеть от путв интегрирования.
4 19 опэкпклкпив ввктогл по эго впхгю и гаохождкнкю ты Рассмотрвм теперь дкусвяаную область, например, внутренность тора (фкг. 64). По самому определепвю двусвяаной области, в ней можно провести такое сечевве Х, после которого область делается односвяэной.
В этой одвосвяавой области интеграл (2) будст уже однозначным, обоэначим его черве рэ(М) = ~ а Ыг где МэКМ есть какой-либо нуть, соединяющий точки Мэ и М и лек<ащий э полученной односвяэной области. Пусть теперь МеЕМ вЂ” люФвг. 64 бой путь э нашей дкусвяэкой области, например иэсбраженный ва фнг. 64, Тогда ов может быть эамепен следующим путем МФЬМКМю + МОКМ Обоэвачвм циркуляцию вектора а по контуру МюЬМХМа терес р: аНг=р Тогда мы, очевидно, получим, что '"" р+ ~ *'л =р (М)+р и. и м.км а-й =-рэ (М) + 2р Накболеэ общим выражением для криволинейного интеграла по пути МАМ будет ~а Нг =~ро(М) + яр (4) где л — целое число, положительное, отрицательное илн нуль. Величина р вэвывается при этом циклической постоянной.
Если бы область была трехсвяэной, то мы получили бы, что ~ а ° Иг = фа (М) + л1р1 + ауэ (6) м. !4 Заметем теперь, что циркуляция р будет одна и та же для всех эамквутых контуров, лежащих а пашей двусаяеной области, один и только одни раэ пересекающих сечение В а направлении, укаэапжж ва фиг. 64 стрелкой, ибо все такие контуры могут быть непрерывной деформацией переведены друг в друга, вэ выходя из нредеяов областв. Если контур МэХ.М пересенаст сечение Х два рава в направлении, укааанном стрелкой, и ве пересекает этого сечения в обратном направлении, то, как легко убедитьсв, окажется, что ьвьлва г.б м ~р(М)=~а я»+С (6) где С вЂ” пронавольнвя постоянная. В самом деле, составим равность ф (эт') = ф (М) — ~ в йг где ф — общее решение уравневвв (1), тогда будем иметь М йгаб т = бган ф — йгаб ~ а.йг = а — а = 0 Отсюда в вытекает„что ф = сопэс Зад а»а ИЛ.
Пусть садако поле вектора в: — 4зв '(" — в* — ') „6 Выяснить, вмеет лк уравнение йгаб р а решевве в, если имеет, то найтв ф. О т в е т. В -вгсэб-,ч+~ —, 29 Две цвклвческие постоянные, обе равные 2в. 2. Основным содержаввем этого парвгрвфв будет решение вадачв об апределекпв вектора а, если нелестны его расхождение 61» а н его вихрь гог а. в Постараемся прежде всего выяснить, что именно нужно эадать для того, чтобы можно было полностью определить вектор а. Пусть мы имеем область У, ограничен.
ную поверхностью 8 (фпг. 65). Пусть во всех точках внутри этой области саланы расхождение в вихрь вектора в: Фвг. Сб Йгеа р(х, у, х) (7) гоЬа м(я,у,с) (6) Пусть, кроме того, во всех точках поверхности 8 вэвествы эвачеввв нормалыюй составляющей вектора в: а„= ) (йу) на поверхности 5 (9) где рэ а р, — циклические постоянные, а щ в лз — целые числа. Конечно, в некотормх случаях цвклкчесиве постоянные могут обращаться ч в нуль. Наконец, последнее эамечавве, которое мы сделаем относительно решения урэвненнп (1), таково. Общим решепвем уравнения (1) является 1 19 опввдвлвнни ввкгога по ж о внхгю я гвохождлнию ыз 01т ав р ввгтрв гос ав е ввттрв ав» = ( (М) ва вовврввеств 8 б(та,= р, гос а, = е, а!в 1 (М) Составим равность векторов а, и а,; Ь = аг — а Тогда вектор Ь будет очевидно удовлетворять следующим условен: б(т Ь = Й(т аг — й)т ав = р — р = 0 ввгтрв р гос Ь = ни а~ — гос ав = е — е 0 ввгтрв Ьв = аг„— аж — — ) (М) — ((М) = 0 ва Я Так как гос Ь О, то Ь есть вектор потевциальныба Ь = Огай р (10) Но тогда условие й(т Ь вЂ” 0 дает вам, что С"~р = О ввугрв условие Ь„ = 0 иа о' приводит вас к равенству — „=0 вв ов еч Ев (12) Применим теперь формулу (18) у 17: бр~Ь<р+ (бтре)в) аг'= $<р —,ЫЯ е Вводу условий (11) и (12) это равенство дает нам, что 1 р) бР = О (14) и, следовательно, бабий=О т.
е. по (10) Ь 0 Следовательно, векторы а, и ав, удовлетворявшие уолевияи (7), (8) н (9), не могут быть равличнымн между собери Докажем, что условиями (7), (8) в (9) вентор а определяется единственным обравом, т. е. что ве может быть двух рааличных векторов а, и аз. которые удовлетворяля бы всем условиям (7), (8), (9). В самом деле, допустим существование двух векторов а, и ам дия ко- торых ввктогный Анализ Га. !1 Прк этом мы предполагаем как адесь, так и в дальнейшем, что область»' может быть рааложена на конечное число частай, в каждой иа которых функции р н и равкомерпо непрерыввм, так же как и их частные прона- водные. Точно таи же и об искомом векторе а мы будем предполагать, что сам оп всюду непрерывен, а его прокаводиые могут терпеть разрыв только иа конечном чксле поверхностей.
При этих условиях мы, очевидно, имеем полное право применять формулу (13). 3. Итак, мы должны решить следующую аадачу: вайтв вектор а, удовлетворяющий системе уравнений 61» а = р (,, „, *) .'.Р,рв Р гос а м(х, У, с) сартра г е» ( (М) иа ооеерхааств 8 (1Л Заметим, что эта система не всегда имеет решение. Для воаможноетк решения функции р (х, у, а), ю (х, у, з) н 1(М) должны удовлетворять некоторым условиям. В самом деле, мы имеем следующие тождества 61тпва О, ~61»аФ1 $ а по" Подставляя сюда вмегло гос в, 61» а к а» их значения, даваемые формулами (17), кы првходим к условиям 61т и — О, ~р ~(»' — $ ((ар) »17 гога, = О (19) Йтаг р, Ив последнего уравнения следует, что (20) а, = йгаби а тогда пв первого уравнения получаем, что (21) Уравнение (21) носит наевапие у р а в в е н к я П у а с с о к а.
В случае ограниченной области пам достаточно удовлетворить этому уравввшпо только в точках области г. Однако, решив уравнекпе (21) для случая всего бесконечного пространства, мы получим одновременно в решение для любой ограниченной области. В самом деле, еслп нам иэвествы значения р только в точках области т', то мы можем произвольно пх эадать которым необходимо дошквы удовлетворять фупкцяи р, и и (, длв того чтобы система (17) могла юють решение. Мы будем решать нюпу задачу в три приема. Сватала мы постараекся отыскать такой вектор ам который удовлетворяет системе уравнений 1 19 Оптнцзшвник ВвктОРВ по Вго ВихРю н Рьохождвиию 21$ вне областв р (зепрнмер положвть раавымв нулю).
Реппка уравнение (21) для Всего бесконечного пространства, мы получим функцию р, которая всюду, а в частности в в точках сблаохн 'г', удовлетаорнет уравнению (21). Итак, вам нужно будет репщть уравнение Пуассона 1А1) для скучав бесконечного пространства. На егором стане решения вашей хадачв мы будем стыскввать такой вектор ах, который удовлетворяет скстеме уравнений (22) 4(чае=О, гоьае е Ие первого вз етвх ураввеввй следует, что (22) а, гох А Тогда нв второго уравнения (22) получается, что Применяя формулу (26) в 111, аайдем, что бгад б(т А — ДА е Мм увидим.
что, ве нарушая сбщвоств, можно будет принять 61РА = О Тогда ураввевне (24) приводится к виду (26) Ото Векторное уравнение раебнвается ва трв скалярных ураввеввв ДА — в, ДА„— е ДА, — е, (26) где в, в,„е, — ненастные, а А . Ан А, — несомые функция. Ураявенеа (26) являются ураспеввяив Пуассона, таа что мы сможем перевестя те реаультаты, нохорые будут вамп получены прс решения ураввеввя (21), я на случай секторного уравнения Пуассона (25). Для случая бесконечного простравства вектор а а,+ае будет, очевидно, я СВау (19) я (22) удовлетворять обоим уравнениям 4(та= р, гоьа е В случае конечной области Р мы вычвслим авачеввя нормальных составляющих ВЕКТОРОВ Ю в ах на повеРхвоств О1 яь, (, (М) а,„(х (М) и составим сатен фувкцвю точка поверхности Ь': ~.(АА) =1(М)-(,(А()-У,(И) ввктогнын анализ Га.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
