1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 37
Текст из файла (страница 37)
!! Третьею частью решеввя нашей задачи будет тогда отыскание такого вектора аз, который удовлетворяет система Й)т ае О заутре г гоз аз О внутре 'г' (27) е -1 (й() Из второго уравнения этой системы следует, что (23) а, = втаб!р а тогда вз верного ураввеввя мы волучпм, что (29) так что ф удовлетворяет у р а е н е в в ю Л а п л а с а.
Последнее вз условий (27) в силу (28) приводят взс к равенству 1з (М) ва воеерхаосте Я дз зе Определение фувкцвв ф, удовлетворяющее уравнению Лапласа, в у которой вроваводвая по нормали па заданной поворхвоств Ю првнвмает ааданвые значоввв, вазываетсв а а д а ч е й Н е й м а в а. Эта задача имеет чрезвычайно важное значение в гидродинамике. В задаче !52 мы имели как раз гвдродквамвчесввй пример,приводящий, как легко убедиться, к задаче Неймана. Итак, на третьем этапе решеввя вашей задачи нам нужно будет решить задачу Неймана.
Отметки попутно, что аналогичной задаче Ноймана является так называемая з а д а ч а Д в р в х л е, состоящая в определонвв фупкпвв ф, удовлетворяющей уравнению Лапласа (29) в принимаю!цей ааданные значения на поверхноств Ю: Ф 1 (М) аа аоеерххссте Мы вмелв пример решения задачн Дврвхле в задаче 154, отвосчщейся к области теории теплопроводвоств. Легко теперь видеть, что в случае конечной областв вектор а а+а +а будет удовлетворять всем уравнениям системы (17) в, в силу теоремы единственности, будет единственным решенном этой снстемы. 4.
Переходя к решонвю первой вз трех стоящих перед вамп задач, мы дадвм сначала простое, вмеющае фвзвчасквй характер, по з некоторой степени нестрогое решение этой аадачи. Итак, вам вужво найти поле встеввнальвого вектора (30) 1 19 апгвпплвивв виктора па пга ВихРю и Раахождпнпю 217 зная во вовкой точке пространства его расхождение Мг а р (х, у, з) где р (х, у„ з) — заданная вепрерыввав вместе со своимв первммв произ.
водными (кроме, быть может, конечного числа поверхностей) фуннцпя. Как мы видели, зта задача эквивалентна решевню уравнения Пуассона ~1<2 р(х, у, з) Заметим, что мы всегда в случае бесконечной области будем предполагать, что фунвпня р(х, у, з) очень быстро делается очень малой, когда расстояние Я )' хг + ~+ з= точкв М от начала координат делаетая очень большим. А вмевво, мы будем предполагать, что прв г< ао велвчина <<ь+ р, где Х есть положителыюе число„лежап1ее между О и 1, З<-1 остается ограниченной ~ )1~ р( < А ирз  — » оо где А — конечная величина О < Х < 1.
В 114 мы нашли решение рассматриваемой задачи в том частном случае, когда расхождение всюду равно кулю, за исключением а точш< М „М„..., М„, в которых находвтся источники а обкльпостями еь г,..., а„, причем для фуннцвп ф мы папы<и выражвзие » р< (х у* з) = — Х -(и<з< где г; — расстояние от точни М (х, у, з) до точки М< (Зь т(в Ь<), т. е. — (х — $д< + (у — <(<)< + (з — Ь<)з Мы показали далее, что в етом случае поток векторе а — ига<( <а< через всякую замкнутую поверхность Ю равен сумме абильноатей тех всточников, которые лежат внутри поверхности Чтобы подойти к решению нашей задачи, разобьем вае пространства на малые объемы у<, возьмем з каждом по точке М< (1„<(<, ~) в поместим в М< источник а абильностью е< У<р(1«, (<, 1<).' Тогда функция р< (х „з) = — ~ р ($ь "" 1" г' 4ои даст приближенное решение аадачи.
Перейдем а пределу, устремив зае обьемы У< к нулю; для <р получится выражение ~ р(1Тч, 1)зр гл ц ввктогный Анслвв цв В стон интеграле г = )' (х — $)* + (р — Ч)' + (х — ь)' к интегрировать вако по $, ц в ь. Покажем, что фувкцпв (34) дает решенно вадачв. В самом деле, еслв а втаб <р, то поток вектора через некоторую пооерхность будет -(8= ЫшХ'ш =ЫшЕ ра- ц ()Рс-1р~р Но по теореме Гаусса — Остроградского ~ а И8 = ~ 4(т а Л' Следовательно, ') 41т а Ф~ ~ рему т Берв са У бесконечно малый объем, найдем бпа р что в требовалось доказать. Заметим, что прн скованных предположениях относительно фувкцпа р (х, у, с) нкшграл (34) сходнтся.
На выясвеввв етого обстоятельства мы остановимся подробнее потом. Итак, вра сделанных предположениях ствосательво р, решением уравнение Пуассона '(7М- р(гь у, х) а вместе с тем е поставленной амше аадачв. является." 1 ~р(с ч. Псу Полученное еыражевве (ря, ч, я~лг носат наевавпе объемного кла Ньютонова потекцпала в омоет следующее фпвнческое значевве. Если е начале коордвват яаходатся масса равная ж а слп ке М(г) паходвтса другая масса, равная ж', то. пра надлежащем выборе единиц массы, длины е времене, сила притяжения второй массы а первой будет, согласно яакону Ньютона представлвться по величине в неправленню выраженном юйуео Р-— Эту свау можно, яак легко убедиться. аредставнть в виде г =угад~ г 9 19 опгвдзлкник Виктора нс ВРО ВихРю и Расхоищкиию 919 Итак, сила притяжепия по вакоку Ньютопа имеет потеициал, равный Веди притягиваемая масса ранка едивице, то для потеициала получается выражекие У=в Пусть теперь массы распределены иепрерывмо с плотпостью Р, тогда в елемепте объема Л' = псоц сЦ будет заходиться масса р (с, ть ь) ~Й', и происходящий ст етой влемеитариой массы потепциал в точке М (х, у, з) будет равен Ч" (л, у, х) = Р (4' ж ') где г (х — $) + (у — 1)) + (З вЂ” Ь1 Провзводя иктегрвровавие по всем массам, мы я получаем для по.
теяциала притягивщощих масс выражение 1р(л у з) ')Р6 Ч () (Зб) Итак бган Ч' представляет сияу, с которой массы, распределеявые по всему простраиству с плотностью Р, притягивают едивичпую массу заходящуюся в точке (л, у, з). 5. Теперь мы дадим более строгое решение задачи, поставлевпой в предыдущем пункте, для чего иам потребуется, однако, развить ряд формул, имеющих чрезвычайпо большую важиость. В предыдущем пувкте была выяснена важная роль, которую вграет функция —, где г есть расстояние между двумя точками (г (х, у,г) 1 и (;)6 ц;(): г = Р я = ) (х — $)з + (у — ч)з + (з — ь) (88) 1 Заметим, прежде всего, что эта фувкция — удовлетворяет ураввещпо г Лапласа 1 ,г),— = б (37) Для доказательства достаточпо примеивть формулу (4() $ (8, выбрав точку ~',1 (с, ть ь) за начало сферических коордииат.
точяее было бы писать чтобы отметить, что при дифференцировании считается перемеииой точка Р, точка же ~) остается постояпиой. Копечко, справедлива в друьая формула ввктовпыи опалив ги. и в которой дифферевцировавие проиеводится по $, д, („а точка Р считается иеиамепкой. Возьмем теперь формулу Грива (20) ф (7: (38) и применим ее к фуккцви р ($, гь ь), про которую мы, как всегда, будем предполагать, что оиа непрерывка вместе с кервмми производиммп в что ее вторые ороввводвые могут терпеть раэрыв только иа коиечпом числе поверхиостей.
За фуппцию же ф мы примем ( — е)'+ (в — ч)'+ (з— Теперь иам иеобходвмо раалпчить два случая. Первым ив иих будет тот, когда точка Р (я, у, а) лежит влс объема Р. В этом случаефупкцпя —, 1 рассматрвваемая пак фупкцвя точки Д (3, ц, (), будет иепрерывиой и будет удовлетворить уравпевпю (37). Повтому формула (38) дает иам 1~м3 ыр $( д $1 а~.) Б (39) Рассмотрим теперь второй случай, когда точка Р лежит внутри объе- ма У. В атом случае мы ие имеем права применять формулу (38), тап 1 как фупкцпя †, расематриваемав какфувкцпя переменкой точки ф ображается в бес- Ф кокечкость лри совпадепии () с Р. о Чтобы побежать этого пеприятиого обл стоятельства, мы выделим точку Р малой сферой Е сцовтром в точке Р и с радиусом е, Фвг.
М который мы ватам устремим н 0 (фиг. 66). Припевки теперь формулу (38) ие к области )г, а и области Уо получающейся вв У путем выкидывания сферы радиу- са а с цептром в точке Р. Так как объем г', огракичеп ие только поверхпостью Ю, ио в поверх- ностью Х, то поверхпоствый ввтегрэл в формуле (38) будет теперь со- стоять ив двух частей. К объему У формулу (38) применять можио, так как для пего точка Р является уже вкежией (точка Р лежит виутри поверхности Ю, По вие объема Рм так пак оиа вместе со своей окРестпостью ие пРинадлежвт этому объему), лрвчем в, у, с мы рассматриваем, как параметры, перомекиымв же счи- таем 3, д, Ь, так что в формуле (38) влемевт объема есть 1 гэ опгвдзлзяиз Виктогэ по зго ВихРю и Рлсхождзнию 221 Пользуясь опять формулой (37), получим Теперь устремим э к вулв в посмотрим, во что перейдет в пределе полученная формула.
Отыщем прежде всего 11ш $1 ~й)~ г(2 таи хак ва сфере Е мы имеем г е, а площадь всей сферы равна 4яэ', то ~~ — фаей ~(-4яэ~ шах~ — ~ 4ие шах~ Я~ в эвачнт 11ш $ ' .дую а - 0 эвг л (41) Чтобы найти предел д1 дэ Сл г дгг ж и так хах ва поверхности Х мы имеем г — э, то ыы находим, что По теореме о среднем это выражение равно р д — бЕ = —,(ф)о,4ИВ = 4и Щ~, д Э где ф есть некоторая точка сферы Е, и ИО оэначает эвачевие функкии о э точке До Когда э О, то точка Дэ Р, и поэтому получаем, что 11ш шд р — — оХ = 4яф д д» г Наконец, интеграл в левой части формулы (40) в пределе переходит э 11Ш $ — ЕГбГ = ') — Чл)г эх, т эаметим, что когда точка () ваходитоя на сфере Е, то вшипняя к обьему "г', нормаль к Е будет ваиравлева протввоположно ваправлеиию радиуса вектора г (отложенного от точка Р и точке 1гг г = Р Ч) Поэтому апнтогпый Авьлвз га.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
