1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Найти векторные линии вектора а. Р е ш е и и е. Векторные ливии вектора а нужно определять в криволинейных коордипатах кз ураввенкк в)гха = О которое в силу формул (19) и (11) Ыг = Н, г18, ев + Нв г(сэ еэ + Нэ в(йэ е,. а е,е, + аве, + аэеэ приводит нас к равенствам н, лт, я„жу, н,лд. ав ~ ш В данном случае находим л..лб "в блв аг ав ав Составлян по формулам (33» со1 а, убеждаемая, что гоз а — О, следовательно вектор а — потенциальный. Чтобы найти вр, составляем а в(г а,ввг+ еэгввб + а гзш 8 йу — ~ — + — Ы( ха вов 8 Лг а ме 8 Л8 З эев 81 После интегрировавия получаем следующие уравневвя векторных ливий; р = Св, г Сэ е1пэб (43) эиптогпыи АБАлиз Гх.
П Отсюда следует, что Ьссз 9 ) (44) Поставляя по формуле (33) б(т а, легко обнаружить, что б)т а = О, т. е. вектор а валяется также и соленовдальным вектором. Мы можем поэтому представать вектор а в форме (45) а = го( А Чтобы найти вектор А, воспольауемся формуламв (38), причем примем А О. Тогда получим систему уравнвннй 2Ь ссз В ( д (Л)( з)а В) ( д.4з .М В а9 гмаЕ дф Ьз)вв ( д(А, ) ( д(гАз) О э дг Второе и трстье уравнения этой систсмы дают гА~ = — +) (В, ф), гА = б (В,ф) где / и )( — произвольные функции В и ф.
Твпсрь первое урзвневис дает д(ы ВЕ(В,В)) дг О В и может быть удовлетворвно, сслн взять ((В,ф) б(б,ф) О. Итак а го(А гдо А есть вектор с составляющими (4Е) ч = Втаб Ф [47) причем б(ч ° - О Заметам далее, что частицы, прнлегаавцие к поверхноств шара, будут снольэвть вдоль атой повврхностп. Слвдоватэльно, скорость какой-либо 3 а д а ч а ЕбЕ.
Вычислять поток вектора а предыдущвй задачи черсз поверхность полусфвры г = Е), О я.. 9 ч, з я. 2яз Ответ: —. я 3 о д а ч а Ебй. Пусть шар радиуса Е) движстся в однородной яесжвмаемой жидкости с постоянной скоростью с вдоль осн Оз. Найти двнжевив жидкости„прсднолагая ого бсзвихрсвым и считая, что на бесконвчноств жидкость покоится. Р е ш в и и е. Мы знаем нэ 9 (5, что если двпжевив несжимаемой жидкости происходят с потенциалом скорости, то кгиволпнвй~ыв коогппвьты из таких частиц относительно поверхности жара, т.
е. г — сй должна лежать з касательной плоскоств к поверхности шара, т. е. должна быть перпевдикулв рва к нормали в поверхности шарж (г — сй) ° и 0 Если теперь заметить, что нормаль к поверхности шара совпадает с радиусом шара, то легко получим, что (фвг. 63а) з, сеоеб (49) Предполагая, что в рассматриваемый момент Фвг. 62з цевтр шара находится в начале коордпнаг, мы приходам к выводу, что вам нужно найти в области вне шара такую функцию Ф, чтобы выполнялись равенства (47) и (43) в чтобы прв г В вмполнвлось равенство (49). Но вектор а задачи 150 как раз обладаег такими свойствами, ибо, как мы видели, а = йгаб18 и 4(г а О, а при В мы имеем 2Ь с„= — 8 Вз Следовательно, прввимая зпз зав 1=в 2 мы получаем равенне предпожевной задачи в виде з„= с ~ — ) сое 8, зз — с( — ) ап8, з„= 0 г 2 Прв этом при г = со получается, как должно в быть, 1 = О.
3 с да за 143. Найти решения ураввеяия Лапласа зависящие только от г влн только от 8 кли только ат ~р, где г, 8 и Ф вЂ” сферические коордаваты. Ответ: р=3+~, ф =4+3)йзйф, 9=.4+38 3 а д а ч а Иб. Имеется однородное тело, ограннчекное деумв ковцентрвческнми сферами с центром з 0 в с радиусами си Ь, где а < Ь. Найти установившееся распределение температуры в этом теле, если известко, что на внутренней поверхкости тела г = а температура Т поддерживается равной постоянной температуре Т„ а ва ввевшей поверхности г Ь равнов постоянной температуре Тм и что уравнение теплопроводности для стационарного состояния есть ~Т = О.
Ответ: ввятоэнын ьньлиэ Гя. И 6. Нвибольшие осложнения, свяэвиные с применением крявслниейвмх координат, коренятся в том обстоятельстве, что единичные векторы ев, ев, ез имеют в крнволннейных коордвнвтвт рввянчные нвпрввленвя в рввныт точквх. Если мы рвссмотрим две бесконечно блнакие точки М(дэ вуа, уа) в М' (вув+ вУвув, в)а+в(вуа, дз + в(дэ) то единвчные векторы в атил точках будут соответственно ев, еа е, и е, +~уев, ее+зуев, ее+зуев Прн этом конечно вуев = — сввув + — «(Ча + 5 — 43в де, дав дав аы дэ, (51) н т. д. Поставим себе авдвчей вычислить проквводные дэ двт дт, аэ,' Йу, Твк квк ев есть единнчнъзй вектор, т. е.
е, е, 1 то иэ формулы (10) ф 17 следует, что (ев 17) ез + е, Х пва е, = О (53) (ев ~7) еэ 5- — у- дев 1 дев вв нв ы Вспоминая формулу (35), легко найдем, что ан, 1 ан, (е, ° с7)ев зоз е, х е, = ( — -ву- -е,— м — — 'еа) х ев = , ~втв выв ав ан, ан, Н,Н, ~, Н,Н, Йэ. и, комбинируя эту формулу с предыдущей, получим де, — — — еа — — эа дщ Нэ ЙМ Нв Жв (55) Длл вычисления — авметвм, что внвлогнчно формуле (53) мы имеем Йвв аа, (е, з7)е, =— а6$1 дев аэв ° аээ (55) Так квк единичный вектор ев направлен по квсвтельной к координвтной линии вуа, то з га КРИВОЛИНКИНЫВ КООРДИНАТЫ Но пз формул (6) в (9) 3 17 легко выеестя следуюягую формулу: 2(Ь ° ~у) а=йтаб(а ° Ь)+гоз(в Х Ь) — а Х гоЗ Ь— — Ь Х гоь а — а 81т Ь + Ь Жт в Подставляя сюда а=с, Ь=е, восле ряда вычисяеиий кайдем (ез ° '7) е, = — — зее ан, н,н, ае, (58) и, следовательво, ас е ан ат,=н, аз, (59) Акалогичво этому Находится формула ае, вт аН, ат, н,аз, (66) (61) е=х(у~ Фз) у=у(Ч1 яз) с=з(Ч Чз) Ликии поеерхиости 8, ка которых одна из координат е, к е сохраняет постояквое звачевие, а мевяется только другая коордвиата, нааываются к о о р д и и а т в ы м и л в к и я м и.
Кдикичкые векторы, иапраелеввые по касателькым к коордиваткым лпииям е, и сз, обоаиачим опять через е, и е,. Составив вектор дг/бек мы легко убедвмся в том, что ок имеет иаправлевие е„ а вектор дг(дд вмеет каправлевие ез: — =Н е, — =Нег аг аг аг — г г ат — зг (62) Однако, мы ке будем теперь предполагать криволивейкые коордяиаты с и 7, Ортоговальными. Перемепгеиию точка из положевия М (ек е ] з бесковечко близкое положепие М'(е, +йун ез+ енз) соответствует прирейнские радиуса-вектора (63) квадрат абсолютвой велвчииы которого равен НР=(бг)з=НР ° Нг= — ° — Нйз+ 2 — ° — Не Не +~ — ) гЬ)а аг аг аг аг г аг тз 7.
Рассмотрим в заключевие этого параграфа освовиые повятия диффереициальвой геометрии поверхвостей. Пусть мы имеем поверхность О. Тогда коложеиие каждой точки М втой поверхиости может быть определеио двумя криволипейиыми коордииатами е, и йв так что радиус-вектор г точви М является функцией от е, и йм виымп словами координаты точки М будут фувнциямв оте, и йз: Вкктогныи Апзззвз Гл. !! Введем обоапачеввя Щ; Ч~, - Нз - бм (йв б.) дг дг Зг Сг 2ез " 3~ йзз (тзз тз) (64) %* Нз б (рп сз) д сг ° етз * аез тогда дззя квадрата двффереипиала длвпы дуга кривой, паходятейся ва поверхвоств, получим выраязение з(з* = 811 з(уз'+ ам з(рз з(де+ Кп з(бз' (65) ег дг Э~ 2ж Х Но так каи, по условию, и — едиввчный вектор, то должно быть (66) Заметим теперь, что по формуле (22) 67 дг дг дз Ег Ъ" Ы - ".
е е 1з еез ды %'4 етз етзl дг аг дг Ег йзз'Йю етз Ж» ((зз бзз -! бзз бм Упав — узз и, следовательно, если еаеств обоеначевие з-Гз з =зг (67) то (68) дз дг у-хуе. в~в з (66) Легко данае вычислить угол е между коордянатяой линией рз е координатной линией ць проходя|пима черве рассматриваемую точку М. В самом деле, мы, очевидно, имеем, что дг дг Г бзз= 3- ° — =НзНз(е ез) Нзнзсова К уз,3/бм сое е ез атз когорое наеыеаезся первой основной формой 'Гаусса.
Если едаввчный вектор нормали к поверхвоств в точю: М обозначать черве в, то вектор в должен быть перпендикулярен как к вектору дг/доз, лежашему е касательной плоскоотп к поверхности, так и к вектору дг/дрз, следовательно вектор а амеет то же направление, что я вектор 1 19 ОНР1швлвник ВектОРА пс Вго ВННРю н РАОВОждвнню 209 к, следовательно, (7О) Отсюда, в частности, следует, что 9~ и дэ обраэуют ортогональную систему криволинейных координат тогда и только тогда, когда бм = О (71) Если мы рассмотрвм дае бесконечно близкие координатные лшши 9, и 9, + ябг и две бесконечно блиакие координатные ливии 9А и бз + Жом то эти четыре линии ограничивают бесконечно малый параллелограмм, который, очевидно, может быть по величине в вакравлевию представлен вектором дг дг гдг С»А аВ-%бр, Ужа(9;(ахд,дйЧФ.- Куш~в »1 9~ УИ~ Итз к Эг дг (72) так что численное значение величины площадки дается формулой (72) ф 19.
Овредгмевне вектора по его вихрю и рашкякдепию 1. Нашей главной эадачей до сих пор было всестороннее изучение аадакного пола сналярной величины й вли векторной величины а. Мы рассмотреяи целый ряд различных дифференциальных операцвй, которые В том ипв ннов отношенвв характернэуют данное поле. Так, например, рассматривая скалярное поле функции ~р, мы ввели новый вектор бгаб ф, который паглвдво покаэыаает характер иэменения р. Точно так же, рассматривая иоле вектора а, мы ввели новый скаляр д!» а в новый вектор гоФ а, а также аэелв понятие нровэводной вектора по направлению В понятие градиевта одного вектора по другому (»" ~) а. Все только что укаэанные дифференциальные операции наряду с другнмк, которые мы расснатрввали амше, ивляются э той влв другом степени аналогом понятию проиэаодиой в обьгкновенном дифферепциальнои исчислении. Можно поэтому сказать, что до сих пор мы изучали дифференциальное исчисление в области векторных величин. В настоящем параграфе мы будем решать эадачу, аналогичную эадаче интегрального исчислении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
