1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 30
Текст из файла (страница 30)
А, А„то проекция его па любое направление и будет равна пивквляцпя ввитога вдоль копттгэ 169 легко найдем . ~ащ дщ),('М„де ~ + (Эех Эь ) Отсюда, и салу 115, следует сраэу еще новое представление гос а е хааа гос в = аж — р (15)» где )г — бесконечно малый объем, стягивающийся а точку М, о — ограввчввающая этот объем поверхность, паковец и — едявичвый вектор вор.
мала к этов поверхвоств. Эта формула акалогкчяа формуле (5) $15 длв. 61ч а в формуле (7) 9 15 для агадир. Но верпемса к первоначальному определению (13) гос а. Эту формулу можно переписать еще так: гос а.и = ( гос а ( соэ (гос а. и) = 1сю э о (16) нрвчем площадка Ю перпевдвкуиярва едвввчвому вектору и. Отсюда ораву выводим, что ег.си д,сэ различных лаираашиий и мм ояределии эяачеиие предела (~е аг ч=ч,+вхг (18Р ге = с'ш+ егэ — егу Р = е,~ + в~а — е э еа гв + веу еея Составляем эш э„ гос„г = 1чг — —" — — е + в„= 2в„, гос„ч = 2е„, юс,ч 2в, Следовательно, гоСч = 2 (в„с + еч1 + е,)г) = 2в (19) Таким обраэом гост в этом случае представляет удвоенную угловую скорость вращевпя твердого тела С 1(ш с (17).
и найдем максамум Сш шо гос а расеи ло мличиие вялому максимуму и имееш ию яаирааеение и. ари кошораи эшош максимуи досезигаегигл (пбо проекцнв всякого векторе будет максвмальвой тогда, когда эа ось проекций берется ваираэлевва этого вектора). Чтобы раеъясвкть ва простом примере, что характеризует собою вихрь вектора, рассмотрим аале скоростей твердого тела в векоторый момепь времена гл.
и зяктогкып анализ Ваяв мы имеем дело с полем скоростей жидкости, то, как можно до- » казать, — го» ч будет угловой скоростью вращения бескояечво малого 2 объема, окружающего точку М, в предположении, что в рассматриваемый момент времене этот объем жидкости звеаапно отвердел, Это объясняет я наименование «вихрь» вектора, так как в обычном предстазлею»з вихри свяааяы с интенсивным вращательным движением частиц жидкости. Вычислив го» а ао всякой точке поля вектора а, мм получаем новое поле вектора вихря а.
Графическое представление этого нового поля дается зекториымв лнввямв вектора вихра а или, как нх называют еше иначе, вихртими винизми ввюпора а. 4. Важнейшая теорема, связанная с понятием вихря, есть теорема .4'токса, дающая преобразование линейного интеграла е поверхностный: Пиркуллцил ввктора по замкнутому контуру ровна потоку вихрю вектора черо» повврхность, овраничвнную банным коне«урал ~а й =~го»а-НЯ = ~гоЬ аЮ (20) с й э Докааательство аналогично доказательству теоремы Гаусса — Остроградского. А вменпо, разделим поверхность Фяг.
29 о" на малые алемевты о'»в, которые будем стремить к нулю (фкг. 59). Для каждого элемента, выбрав по проиэзолу положительное число с, можем написать неравенство ~Ц Ь вЂ” о» а.о»~ < у» с» если сделать о» достаточно малым. Сложим зсе зти неравенства и заметам, что линейный интеграл будет заят только по С, так как явтегралы по всем остальным элементам врняых С» копарио уничтожатся: Ца «)г — ~ч" н»ь„а.8»~< ву о В пределе при о'» 0 получим ~$а Й' — ~го»ъ а«4У~< зЛ с е и эвк как е можно выбрать по проиааолу, что н требовалось докааать.
пнукуцяпия Вввгсга ВдОль кОнтуул Заметим. что обратно, ва формулм Стокса можно вывести формулу (131 и притом уже беэ тех ограничений, которме мы накладывали на впд контура С прв первоначальном вмводе формувм (13). 5. Укажем весковысо следствий иа теоремы Стокса. Есхм а — потенциальный вектор,т. е. а = угада, то ливейнмй интеграл по всякому достаточно манону контуру, окружающему точку Р, обращается в нуль, т. е.
$а.дг = 0 о Саедовательио, гоь.а О и, так как это справедливо для всякого паправлевия, то тождественно (21) Это видно в непосредственно иа выражений для градиента и вихря, ибо гоь 3 аб ~р — ® — — ~3~) 0 госейгж( и — 3- — = 0 осв ц,й ар- — — =0 Ое ОВ Ов Ое Обратно, если гоь а равен О, то по формуле (20) линейный интеграл по всякому контуру, могущему бмть стянутым в точку, равен пулю, так как между таким контуром можно провести поверхность Л. А аначнт а = йтаб ф. Итак. есин го а —, а„= В, а,=-х ов о о ое ' ов ' ос ихи, что то же, а Ых + седу + о,бэ = Йу (22) (23) (24) $го~ аЮ 0 (25) з пбо в етом саучае контур С стягивается в точку. т. е. а Ых + аобу + а,ях является полным дифференциалом.
Итак, необходимое в достаоючное услоове тоео, снобы а был потенциальным васторан и чтобы а с(х + а,фу + а,с(э было нохным диффсренциахсе, состоит в выполнении уссовиц (22), т. с. в равенстве ввхрх санторо а нуво. Потенциальные поля называют поэтому также бссвпхрпвьнп. Очевидно далев, что если 8 оаначает замкнутую поверхность, го ввктогнып Анализ Гл. П Но вспоминая определение расхождения, из формулм (25) сразу заключаем, что й»тесса = О (26) т, е.
»гитарное па»в вихрей любого вектора а свободно от исто«ников. Соотиошевве (26) можно проверить и непосредственным вычислением. В силу отсутствия источников в поле вихря, аихревые ливии не могут внутри жидкоеги ии начинаться, пи кончатьсв; овп когут бмть замкнутыми или могут иметь свои концы па границе поля. Рассмотрим вихревую трубку, полученную следую|цим обрааом: берем площадку в проводим через контур ее вихревые липин, тогда поток вектора гога через всякое сечение этой трубки будет постоянной величиной, в силу общей теоремм, доказанной нами в и.
7 Ь 14. Везичина этого потока нааывается напрялсвнавл» вихревой трубки. Докажем теперь обратную теорему: всякий аь»глоидолънмй вектор а может бить пргдсптвлвн как вихрь некоторого другого вектора Ь. Иными слозамв, если 6(ч е 0 (27) то можно нвйтя таков вектор Ь, что а = сог Ь (28) Для доказательства выберем какую-либо прямоугольную систему координат п положим Ь, О, тогда равенство (28) приведется и трем уравнепвям с двумя веизвесгиыми функциямн Ьв (х, у, г) к Ьг(х, у, з) — — а, — =а„, — — -а=а дЬ» дЬ дЬ» дЬ д* *' д» а дз (29) Общим рюпевием первых двух из зтих уравнений являются Ь„(х, у, г) = — ~ а„(х, у, г) Ыг + ) (х, у) 1 Ь (х, у, г) ~ а» (х, у, г) Ыг + у(х, у) д „ д( Г дг» дг д Х ) д д» Бо так как (30) д „ дг„ д», й(»а «+ в+»=0 д»: дв д» » — ~ ~~ — «+ — )~(г = д» вЂ” »»(г а,(х, у, г) — а,(х, у, г,) где / (х, у) п у(х, у) — пока проиавольиые функции своих аргументов.
Подставляя зтп выражения в последяее уравнение системм (29), пол~ »ям $1б пигктляпня ввктогв вдоль нонтугэ 173 и,, следовательно, уравнение (30) приводится к виду я — — = а*(х, у. э.) ду дд Мы удовлетворим этому уравпенвю, полагая ) = ~ а, (х, у, э,)Вх, В = О Итак, если веять: Ь„(х,у, г)=~а (х, у, э)Ых Ь„(х, у, э) = — ~ а (х, у, э) Вэ + ~ а, (х, у, зе) Вх (31) б, (х, у, э) = О т7ха = гаса мы получаем преобраэование поверхностного интеграла в объемный аха аЗ ')гоьа ЙУ (32) 3 а д а ч а 113. Докаэать, что гос (а, + аэ) = гоэ а> + гоЬ а, (33) 3 а д а ч а 119. Вычислить ни ()ра).
гоФ (~ра) = д (Еаг) д (Чмв) гдач даэч дэ дч ='р + а ач= = ~р гоь а + (бгай ~рха)„ го$ ()ра) = ~р юь а + бгай ~рха Отсюда 3 а д а ч а 133. Вычислить юь () (г) г)), Так как ~ () (г) г Й.') = ~ ) (г) г й = О с с ио всякому эамкнутому контуру, то гоь ) (г)г = О Это можно легко покаэать и вычислеяием.
то равенство (23) будет иметь место, что и требовалось докаэать. Наконец, заметим, что, применяя обобпювную Формулу Гаусса — Ост. роградского 6 15 (19)) к выражению Ввкч'огныв лиьщгз г.п суд 3 а д а ч а 181. Вычислить гоС (Ъ (г.а)), где а и Ь вЂ” постоянные векторы. гоС(Ъ (г.а)) = йтвб (г*а) ХЬ = ах Ь (35) 3 а д а ч а 182. Вычислить гос «а, где а — постоянный вектор гос (гв) йгзб гха — ха г гха « « 3 а д а ч а 188. Вычислить Йсч(а (г)хЬ (г)). Имеем 11 ъ. СМ вЂ” - М ««,—,М),—, ) да„' дд, да« дсз да« дд — б +а„— * — 'д — а — "+ — *6 -)-а —— да д* ю з * д дд ° дч — — Ь вЂ” „° + — д ч- „— — ~'Ь— дз„ дела дез дсе да- дд др * дз дз " дз дз * д« Ь гос а — в.гос Ь Таким образом 31ч (аХЬ) Ь гоьа — а.гоС Ь 3 а д а ч а 124.
Представить ахйгзб в, где а — постоянный вектор, в виде вихря некоторого вектора. О т в е т, аХйтзб <р — гоь (~ра). 3 а д а ч а 1Ж Вектор «(мхг), где м есть постоянвыи вектор, есть вектор соленоидальиый (см. задачу 114). Представить его в виде вихря некоторого вектора.
О та е т: «(мхг) — гос(ф«зм)'. й 17. Некоторые формчлы с дифферевцвальиыми операциями. Дифференциальные операцив второго порядка. Призывания 1. Выведем рая основных формул векторного анализа, причем будем широко пользоваться символическим методом. В $12 (формула (19)) и $15 (формула (22)) паки были выведены следующие формулы (~р и ф— скалярные функции, а — векторная): йгзб (Зкр) и йгзб ф + ф йгад ~р 41ч (За) = в б)ч а + е йгзб ~р (2) В задачах 119 в 123 мы непосредственным вычислением определили гоС (ва) и й)ч (а х Ь).
) $7 нвкотогыв еогптлы с диеевгвнцвзльньгив оцвгзциями 1тп, Покажем теперь, как получить зти величины применением символического метода. Мы имеем гоз (р, а) = с7 Х (~р а) Согласно данному в з $$ правилу, мы должны написать Су х (ра) = ~7 х р, а + (7 х <ра. где значок с указывает, что соответствующую величину надо счатать. И постоянной. Но ясно, что ~7х р,а р,~7х а=~ргоза ~7 Х фа, ~7~р Х а, = — а„Х ~7~р — а Х Зтай В Следовательно, юз (Фа) ~р гоз а — а х ягаб ф = ф гос а + ягад р х а (3), Точно так же пусть два переменных вектора а и Ь вЂ” функция точки; тогда, пользуясь свойством циклической перестановки векторно-скалярного произведения [т 7 (2)), легко получим б!» (а х Ы) = ~7 ° (а х Ь) ~7 ° (а х' Ь,) + ~7 ° (а, х Ь) = (~7 Х а)-Ь, — с7 (Ь Х а,) = (с7 х а) Ь, — (~7 х Ь) а, = = Ь„ (С7 Х а) — а, (~7 Х Ь) = Ь-('7 Х а) — а Я Х Ь) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
