1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Подставляя аначевие (36) двв Ч в уравнение (35), получим уравнение теплопроводвости а следуюпым виде ер — — Жч (й бгаб Т) = О дТ д~ (371 Остановимсв еже иа том частном случае, когда в в ер ввлвютсл постоянными вехичкнами; обозначая в атом случае Вор череа а и вспомикан, что йч йгаб Т = ~~,Т, получим, что д -сТьт дТ (33) дГ Наконец днв случая стационарной аадачи тепновроводиоств д, — — О, к уравнение тепвопроводпоств принимает впд (39) так что в этом случае температура удовиетворвет уравпеппео Лапхаса. Днв того, чтобы можно бмхо полностью решить какую-либо задачу о теплопроводности, нужно задать еше граничные в, в случае вестацкопарвой задачи, еще начальные условвя, по на этих вопросах мы будем останавхиватьсв только прв наличка в том надобности.
6. Рассмотрим теперь основные уравневив гпдромеханвкн. Выведем прежде всего так называемое уравнение неразрывности. ввктоэиыи Ан»лиэ Га. П Мы будам рассматривать дввжевие гаса яяи. как иначе принято ваэывать, движение сжимаемой жидкости. Обоэначав плотность последней черве Р, будем иметь, что р есть функция точки в времеви Р (г, г).
Движение жидкости может быть охарактеризовано эадавием пола скорости щ т. е. эадаввем скорости т как функции точки в времена т (г, Э). Во всяком движевкв жидкости функция т и Р свяэаны уравнением, которое ваэывается ураеиснпаэ яераэрэммостп. Мы выведем это ураввевве аналогично уравнению теплопроводноств, подсчитывав двумв раэличвыми способамв иэменевие массы жидкости, находящейся аиутрв иеподвижной поверхвоств 8, проиэвояьво вэятой.
Если )г — объем, ограниченный этой поверхностью, то масса элемента обьема с)У будет равна Рпу, а масса жидкости,находящейся вкутрв поверхности о', равна За время ~й плотность Р получит првращение — сй в соответственно ВР а~ с этим иэмевевие массы М, иаходвщейся внутри неподвижной поверхноств о, будет равно ~ а~'(р~ т Но иэменение.массы могло проиэойти только эа счет того, что канав-то масса жидкости прошла череэ поверхность 8, ограничивающую наш объем. Если рассмотреть элемент поверхности НЯ, внешняя нормаль к которому есть в, то череэ этот элемент эа время Й вытечет наружу объем жидкости, равный э„АУ ~й, масса же этого объема равна рэ„Ы ~й, верее всю же поверхность вытечет масса $Рэ„бу й э и, следовательно, $ Рэ»с)8 ~(г Првравнивая два подученных выражения дхя ИМ, мы находим равенство — Ээ ~У + ~ Рэ» «У = () По теорема Гаусса — Остроградского рэ„ Ю = ~ Йт (Рч) сЖ' Сведоватеяьио, предыдущее уравнение првнимает вид ~-~-+ 61т (рт) 1ИУ О опкгьтоэ гамильтона Так как это ураввегще вмеет место для любого объема Г, то долягво быть тождественно ~;+ г))ч (рч) О др (41) Это в есть аскомое ураэнэние нсраэрианссти.
Его мо1кно написать еще з другой форме. В самом деле, мы имела )формула (22)) гйч (рч) р б)ч ч + ч ° бгаб р Поэтому предъгдущес уравнение примет вид -ч;- + ч ° йгаг) р + р й)ч ч О эр (42) Но в 4 13, и. 2 мы установилк следующую связь менту полкой и част' ной производной — — + ч ° рта р Фр др щ д~ Принимая зто во вввманае, мы можем перепасать уравнение неразрывности в сведующей, часто употребляемой форме , +ра)ч -О ир Рассмотрим частвътй случай несжимаемой, во может быть неоднородной жидкоств.
В этом случае плотность кашкой частаны жидкости остается неизменной а. следовательно, по самому определению индивидуальной производной — О ир и (44) поэтому уравнение керазрывности принимает вид 41чч О (46] так что в случае несжимаемой жидкоств вектор скорости. явлветсв сектором соленоидальным. Мы внаем, что для солеаовдальвого вектора поток вектора через любое поперечное сечепие векторной трубка азляетсв постоянным. Векторные линна вектора скорости ч называютси винники токи, а соответствуюпгве трубка — трубками тока.
Еслв взять трубку тока с бесконечно малым поперечным сэчеввем, то провзведэввэ иэ величины скорости ва площадь соперечного сечения. нормального к осв трубка, будет вдоль трубки одинаково в, следовательно, скорость увеличивается там, где трубка тока сжимаетсв, в уменьшается, где трубка тока расширяется. Если двпжепае кесвшыаемой жидкости обладает иовтнциалаи сво. рости ~р, т.
е. если евкто3 нык *пьяве Га. 11 то уравнение неразрывности дает пам в свлу Й»» = гй» бгзг( м =,(',~р уравнение Лапласа ,н,~р (47) Итак, потенциал снсрссжи е дева»внии несжимаемое жидносжи удаелетеоряет ураенанюо Лапласа. Выведем теперь основное уравнение гидродднанвкв идеальной я~идкости. В гидромехаиике рааличают жидкости адеальвые в вязкие; в основе етого различна лежит характер внутренних сил. Жоли мы внутри жидкости зырюкем объем У, ограниченный поверхностью Я, то со стороны иаходяпшхсв зне объема частик жидкости будут окааыватьсв воадействвв ва частяцы, лежащие снутра объема У (фиг, 56). Эти силы называются внущреннвми, таи как онв происходят ст аааимодейстиве частиц жидкости.
Когда же ;еа ш мы рассматриваем объем У, то по отношению а к нему упомянутые только что силы становятся енсщнами. Их действие учитывают, принимая, » что ва каждый элемент гЫ поверхноств Я действует поверхностнав сила й дд, пропорциональная площадв элемента поверхности. Если ета сила действует всегда нормально к элементу поверхности, то жидкость называется идеальной. В атом случае вектор ц имеет вапраелевве. прямо противоположное вапраеленщо единичного вектора внешней нормали а, и мы имеем (48) где р — иазываетсв дамениае жидкости. Если вектор г) может иметь ве только нормальную, но и касательную составляющую к алементу поеерхвоств дЯ, то жидкость пазызаетсв елакоя.
В вдеальвой жвдкоств еелвчвна давлевкв, каи можно показать. ве зазвсят от направления элемента. Танин обраеом гкдродкнамнческое давление есть функпвв от точки в времени: р (г, г) р (з, у, з, г) Для вывода основного уравнении гвдродинамикв мы примем качало Даламбера, по которому, если ко всем внешним силам, действующим ва точкв системы, присоединить еше силы аверкии, то получеввая системз сил будет находиться е разновески в, следовательно, ее главкый вектор, т.
е. геометрвческая сумма сил системы, будет раавятьсв нулю, Обозначим через Р еяетвюю салу (как напрвмер силу тяжести), отнесенную к единице массы, и применим начало Даламбера к системе опвгьтоэ гамильтона — р — бУ ст Ю (ибо сила внэрцки равна вэятому со сивком минус произведению иэ массы частицы рЖ па еэ ускоренна й~йй). Поэтому тканный вектор массовых сил н сил внэрцви будет равен Но ва частицы объема У действуют, как было выяснено вылив, ещэ поверхностные силн. которыэ по отношэвию к частицам объэма У должны тожэ рассматриватьсв.
как ввеппгве силы. Так каи ва экэмэнт поверхности сБ действует по вышэскаэанному сила давлэвия — р в аБ, то главный вектор поверхностных спл будет равен — $р оИЯ э Согласно началу Даламбэра. получаем равенство ') (рр — р — )Ир — $ рв Ю = 0 (49) Применяем таперь формуку (6) п. 1 $15, авалогвчвую формуле Гаусса — Остроградского $ рв оЗ = ~ йгад р г(г' ь' в рээупьтатэ получаем (рР— р — — бгабр)йг = О в так как это равенство справедливо для нюбого объема г', то необходимо должно быть Ыт ст 1 рр — р — — йтаб р = О, вли — = р — — бгаб р ш (50) Это в есть основное ураввевиэ гндродниамики идэальвой жидкости.
Часто его пишут эще в форме г +(т'7)э=Р— — Кг б Р эм 1 дг (51) всвольэуя пэвэстное вам состиошениэ между полной в частной провэводнымн вектора ($13, п. 2). 1Г н.в,К жидких частиц, эапокнлющих объем г; рассмотрим элемент Л' этого объема; масса этого элэмэнга объема равна рсУ; внешняя сила, действую- щая ва этот эяэмент объема, будет равна рЕЛг. а сила инэрцпи будет равна ввктогвыи анализ Га.
д В качестве последнего примера рассмотрим электростатическое поле. Мы уже знаем (т 12, 'п. 6), что электрическое напряженке Е, т. е. сила, действующая ва единичный заряд положительного электричества, помещеввмй в данной точке, вмеет потенциал: Е = — бган 1р (52) Вычислим поток этого вектора череа некоторую замкнутую поверхность 8; цо теораме Гаусса — Остроградского этот поток равен (53) Но мы никели раисе (т з2, и. 6), что в случае электростатического пола, создаваемого а зарядами с„сз,..., с, ваходящвмнси а точках М„ Мз,..., М„, потенциал имеет выражение Ф= — + — +'''+— н ы зд и гз (54) гдэ г„ гз, ..., ㄠ— расстоянвя от точек М,, М„ ..., М„ ко переменной точка М, а которой вычвсляетса значение потенциала. Следовательно, з этом случае Š— бган(п + м + ° ° + ~1 ~п ы г / Сравнивая это эыражевве с выражением (48) $ т4 н принимая ао зннмавие формулу (20) того же параграфа, мы легко уэвдим, что $ К фЛ = 4п ~к~~ с, (56) зарядов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
