1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 23
Текст из файла (страница 23)
б гас( ср сп ас дт а(с (15) Это же соотпошевве можво получись и болев вепосредстзевво. Преясде всего дч . Ч(м',С+ЬС) — Ч(М',С) . сР(м', Π— Р(М, О . ММ' дс с Ьс мм' иш — = э ьс Иос Ч(М. с) — Ч(м, с) др мм ас' следувпцую формулу: дс ас а ас — = — + — э = — +э(а йтас) ср) = — +«-угас(ср ЩЕ дср Ьр дср дч дс переходя к пределу, получям, а силу того, что прп Ьс О точка М' стремится к М в что пгоизводвья ввктоеь по ньпгьвлкнию Если мы рассматриваем векторную функцию поля а (г, С), аавнсящую от времеви с, то определение частной в полной провзводкой будет совершенно аналогично таковым длв скаляра да 1.
е <М, с+ Ью — а(М. В де . е(М', с+ ос) — а<М, с) '<' ос ос (17) Овяаь между частной и полной проиеводвой по с вектора а устакавлввастся так же, как длв скадара. Рассматривая а (х, у, з, с) как сложную функцию от С черве посредство х, у, е, легко найдем да де да де»а дг»а де да да»а да — — + — — + — — + — — = — +г„— +е — +е,— ю М д*дс дгдс да и дс *д* дв * дс Отседа Ые»а 2< =д-+(т'~')а (18) То же самое получается и непосредственно, ибо прежде всего из формулы (17) следует, что да .
а(М',с+ он — а<М', с) . 'е <М', Π— е<М,1) . ММ' )ив м „а< „, мм „, и, замечая, что а(М', С).— ь (М, С) да ММ' де получим да »а да — = — +ад< д< де —, = —, -)-(т.)7) а де да М дс дт дт — — -<- (т-<7) т Ф дс В составляюшвв будем иметь дьк дьк дьх дгк -2)-=-р)-+о ~+ее — +е, д а .л. (2<)) 9 в. а. вежа Члены т.~7 ф в формуле (15) и (т.(7) а е формуле (18) иааываются к опвективиыми членами, так как опв появляются только при движение сплошной среды и свяеапы с переносом (коввекцвей) частиц, В качестве примера рассмогрвм ускорение частицы жидкости.
Чтобы его вычислить, мы должны сравнить скорости о д в о й в т о й ж е Ч а с т н ц ы в два соседнве момента времеви с в с (- <)С, воэтому вектор ускорения частицы жидкости выражается полков прокаводиои вектора скорости т, длв которой по формуле (18) имеем звктогкый Анализ га. д й (б. Поток вавтора через поверхность. Расхождение вектора. Е.го аналитическое выражение. Теорема Гауеж. Источники 1. Рассмотрвм поле какого-нибудь вектора а (г) = а (х, у, з) т.
е. предположим, что для каждой точни пространства илн некоторой его части задано значение этого вектора. Рассматривая значения этого вектора з окрестности некоторой фиксврозавиой точки М, мы видели в предыдущем параграфе, что измекения этого вектора вблизи точки М характе. ркзуются с точностью до бесконечно малых второго порядка величинами производных вектора по всевозможным направлениям з: да Зя так как, зная эти производные в рассматривая вблизи точки М соседнюю точку М', лежащую на луче, имеющем направление едввичного вектора з, мы будем иметь првбвижзнвое равенство (М') (М) + — е ММ' Мы видели, кроме того, что вся совокупность бесчисленного количества производных да / дз по всезоаможным направлениям з определяется простой формулой (2), если невестин производные по трем взавмно перпендикулярным направлениям да За да з* ' зв эз Теперь мы пристувим к изучению еще некоторых величин, до в ек с т о р о й с т е п е в п характервзующнх пзмевения векторной функШзи а (г) е окрестности рассматриваемой точки.
Этими величинами, играющими необычайно важную роль в венторвом анализе, являются, с одной стороны, скалярная величина,называемая расхождением вектора а, и, сдругой стороны,— векторная величина, вааызаемая в и х р е м в е к т о р а а.
Отметим сразу же, что значение этих величин для векторного анализа и для многочисленных приложения последнего тесно связано с тем обстоятельством, что эти величины естественно поязляюгся при рассмотрении поверхностных и криволинейных интегралов от вектора а. На многочисленных првмерах мы увидим, что прв изучении задач механики в фпзвки является совершенно необходимым рассмотрение объемных, поверхностных и криволинейных интегралов. Значение последних было уже до некоторой степени выяснено з $12, где мы видели,например, что криволинейный интеграл от вектора силы дает значение работы, совершаемой этой силой, и что обращение в нуль криволинейного интеграла от вектора а по любому замкнутому пути указывает ва то, что вектор а есть вектор потенциальный.
т. е. является градиентом некоторой скаляр. ной функции ф. Откладывая дальнейшее изучение свойств кризолиней- поток вкктогэ чвгяэ поввгхность 135 вых явтегралов и связанных с этим свойств вихря вектора, мы рассмотрям в настоящем параграфе вопрос о яоверхвоствмх ввтегрэлэх, о расхождении вектора в о его свойствах. 2. Воэьмек в яростраястве некоторую поверхность Я, эамкнутую яля незамкнутую. Определим теперь п о ее р х ко с т н ы й в н те г р а л вектора а по аоверхностя8, влв, кав егочаще называют, поток вектора я черве поверхность б, следующяя образом. В каждой точке поверхности проведем едннвчвмй вектор нормали в; мы условкмся прв этом в том случае, когда поверхность 8— эамкнутая, брать всегда ваправленве внешней нормали; в том же случае когда поверхность о" веэамкпутая, мы будем брать по провэволу одно яэ двух ваправлевнй нормали (оговарввая, конечно, какое яв этих двух направлений ми выбираем), однако, так, чтобм направление нормали пвмевялось непрермвпо, когда мы переходим от какой-либо тонка поверхности в соседним.
Если а — эначевне вектора в некоторой точке М поверхности Ю, а в — единичный вектор нормали к поверхности в той же точке, то, как всегда, через а, в п = а„соэ (в, в) + а„соэ (в, у) + в, ссэ (в, з) мы обоэввчаем проекцию вектора а ва направление нормали, т. е. нормальную составляющую вектора а. Раэделвм теперь поверхность Ю ва большое число малых элементов. каждмй кэ последнкх изображается, как вто было выяснено в 3 6, вевтором ЬЯ. Например, если вы впишем в поверхность 8 многогранную поверхность, каждая грань ее будет изображаться вектором, ваправлевнмм ао нормали к втой граня а равным по величине площада этой грани.
Составим для каждого элемента скалярное произведение а.ЬЯ в образуем сумму ~ а.яЯ, распространенную по всем элементам поверхности. Эта сумма стремвтся к пределу, когда все элементм поверхности стремятся к нулю, если только сделать предположение (которое мм всегда будем счвтать выполненным), что поверхность'может быть раэделена па конечное чясло кусков, каждый вз которых обладает непрерывной крианэпой я на каждом из которых вектор а меняется вепрерывным обраэом. Получаеммй предел обоэначается череэ ~ а.НЯ 11ш ~а.ЬЯ к ввэмвается поверхпостныв интегралом вектора а по поверхности 8 алв потоком вектора в через п о в е р х в о с т ь 8. Есэк численную величину элемента поверхности НЯ мы обозначим через ЫЮ, то ми, оювкдно, будем иметь ИЯ=яЮ в поэтому а.Ж = (а.в) НЛ а„~бУ Ввктогныи АИАлиз Гл Б Поток вектора а через поверхность о может быть поэтому зализам также в одной пз следующих форм: а.ю(8 ~а„юю ~а.в ююУ = ~ (а„соз (и, х) + а„соэ (и, у) + а, соз (и, з)) ю4У з, Накокец, вводят следуюшие обоэиачевия: соз (и, х) юБ = ю(у Ыз соз (в, у) юБ = ю(з ю(з соз (и, з) й5 = ю(х ю(у палимая, например, под Иу ю(з проекцию влемепта Ы8 ка плоскость уз, взятую с падлежаппюм зпаком (положителькым, если кармаль к поверхности в той точке, в которой рассматривается элемепт, образует с осью в острие угол, и отрицательным, если угол нормали с осью — тупой).
Тогда поверхностный интеграл принимает следуюший вид: ~ а ю(8 = ~ (а, ю(у ю(з + аю ю(г юЬ + а, ю(х ю(у) е е Вычисление поверхностных иптегралов производится по обычным правилам вычислепия двойиых интегралов. 3. Рассмотрим сейчас з пачестве примеров песколько поверхпюствгюх иптегралов, которые понадобятся пам в дальпейжем. 1) Пусть вектор а есть постоянный вектор аю. Тогда, если о замккутая поверхность, то (4) В самом деле, в силу постоянства вектора а, его можпо еыиести кзпод впала пытеграле, так что можно написать $ а,.Н8 = а, ю~ ю(8 Но, как было устаковлепо в $6, п. 4, вектор эамквутой поверхкости разек пулю, т.
е. Ы8 = О (6) ю Иными словами $соз(в, х) ю4У = О, $ соз(в, у) юБ = О, васою(п, з ) дЮ = О (6) з Поэтому, действителько, получаем формулу (4). поток ввктогь чвгва позвгхвость 2) Пусть теперь а = г — радвусу-вектору точи~.ь(окажем, что в этом случае где Р— объем, ограниченный замкнутой поверхностью о. В самом деле, рассмотрям какой-лкбо бесконечно малый телесный угол, змходжцвй из начала коордвнат, в пусть ов вырезает из поверхности несколько элемевтов. У / Рассмотрим для определенности случай, л "Г ваобреженяый на фнг. 30, когда такой 4$ телесный угол вырезает ва позерхнолз з ств трв ' элемента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
