1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Раэьяскнм таперь, почему нам нужно в втой формуле считать ч постоянным. Двяо в том, что символический вектор >7 является до(бфе" ренцпояъным оператором, так как ок содержат в себе прокэводкыв пс коордннвтам. Между тем, в выражвнкк (ч ° ~~) а вектор ч стоит переб оператором >7, к поэтому этот оператор ~7 не может действом>ть на», почему па>> н приходится считать вектор ч постояккыы. 1!б ОПВРАТОР ГАМИЛЬТОНА 2. Трк рассматреввых крамера аозволяют аам дать общее правкло для определения вкачеиия выражения е (1,Г), где е (а) есть линейное однородное выражение откосвтвльао вектора а, т.
е. выражение, удовлетворяющее двум условкам: Б (а + Ь) = 1,(а) + 7 (Ь), 7, (Ха) = »,В. (а) где а в Ь вЂ” какие-ввбудь векторы, Х вЂ” какое-кибудь число. Если в Ртам выражеяая мы рассматриваем 17 как оаератор д . д д 1 де + ) )Ь +~ б' то мы делжвы в вырвжевив 7 (»7) проиввестк с втим оператором все требуемые действия. прячем мы услоеамсл, что оператор 17 дедсты7ет на еее векторы, которые стол»я посади него, и не действует на те векторы, РОРЗОР»ы еяВО»Вт левад нам.
Ырамеры» «« ' — +3 — +ив . РЕ .РЕ дв д РР д» (14) дк» де де» '7'=-+р'+ —: (15) 1,7 Х а = 1(~ — — «) + ) ( — * — — *) + Ь ( —" — — *) (16) (т ° (7) а Р„-»,— + Є— + Р,.рва да де д(«„а) д(е«ВВ) д Веге) (17 ° «)а = — "+ — „+ —, д д„д» (18) Чтобы дать другое представлевив 7 (В',7), докажем следуюп1ую общую Формулу Гаусса — Остроградского: Е (17) Ы)» = $1. (Н) ВИ (19) Е самом деле, в силу лвквйкости Ь (1„7) ыы имеем прежде всего, чта 17,(В7)()»=11,(1 д)н/+1Ь(Э д) Лр+17.()В д)аl д) д в, следоватвлько, ~7.(Ь,')а =~ д,у.
(Ь)й(7 Рассмотрим паследяий из втих интегралов; так как векторы, стоящие перед ~7, мы условялись считать постаяккыма, то мы амеем право ааписать в силу лиаейкоств й (а) Вантсенмя АнАлиз рж и Выражение г'. [Ы) является либо сналяром у, либо вектором а; в первом случае мы можем применить формулу —,г()' ~~р сое (а, з) с(8 де Во втором случае формулу — ЫР ~)~ соа (н, ) гБ Я З В обоих случаях мы будем иметь -у-Ь (й) ЫР = $ сое (в„с) В ()г) Ж~ в, следовательно, еще рав, пользуясь свойством линейности, 7- ()г — ) с5' ~А (сов (в, з) )с) гИ Точно таи же получим С() ~-~ г)г' = $Е, (соз (н, х) !] аБ ~ е,() — )~()7 $А (сое (и, у) )) оВ В результате сложения зтих трех формуа, найдем требуемое равенство Допустим теперь, что г' есть бесконечно малый объем, стягивающийся к точно М, а что Е (~7) есть непрерывнаа фуннння точки ат'.
Тогда в точках объема (7 значения Е (~7) мало отличаются от значения етой величины в точке М: ( (~7) = (Е (з7им + е где з — бесконечно малая величина. Поатому ((~7)(Р-$((~(7)) + )ИР-(7 (Л).Р+ чу где т) тоже беснонечно малая величина. Итак, мы получаем, что $ у-(е>ат 1у-Л7>яу у г = (1-((7))м +ч опатзтов гакильтокь Переходя к пределу, когда объем Р стягвзается е точку М, получим ф с <шву С(т7) Иш (20) Это второе определевие Е (17) созершеиво эквивалентно с первокачальвым определекием С (~7), одвеко око гораздо удобиез аервовачальвого опредеаевия. так как ве содержит ви малейшего замела на прямоугольную систему координат; з частиости. только что получеввое наив равенство с удобством может быть примевепо длв вычислепвя Л (~7) з любой системе криволинейных коордииат, 3.
В дальаейшем мы будем весьма широко пользоваться символическим методом вычислений, связаввым с применением оператора Рамиль- тока (7. сейчас же ка двух простых примерах покажем сущность етого символического метода. Пусть мы имеем скалярвую функцию точкв ~р (г) = ф (х, у, з) в еекторвую фувкцвю точки а (г) = а (я, у, з), в требуется зычвслить гПт (фа). В задаче (06 уже было проделаво зто зычислевие обычным способом. Покажем теперь аримевевие символического метода. Мы имеем 6)т (~рв) ~7 (жа) Мы видим, что дифференциальный оператор зь ~ Уг зз д .
д д состоящий в существенном ва трех производных по координатам, примевяетсз к произведевшо двух фувкпий м а а. Но по правилу диффереяцвровавия провззедевия провзводвая от проиаведеаия вескольких функций составляется следующим обрааом: диффереидируем первый мвожитель, счвтая есе остальвыв постоявкыми, затем дифферевцируем только второй мвожитель, счвтап есе остальные постоямвымв в т. д., все полученные выражения складываем. В дальнейшем мы будем в тех случавх, когда это может еыааать сомнение, отмечать зсе векторы,которыемы ва время считаем постоявиыми, пвдексом с (сопят). Позтому, согласие только что высказанному правилу, мы должны написать ~7 ° (фа) — г7 ° ф,л + с7 ° фе, Рассматривая выражевие ~7 ° ~р,п, мы можем постояииый множитель ~р, вынести аа знак (7, в реаультате получим т7 ° р,л ~р,~;7 ° а = ~у~7 ° а где мы уню можем замеивтыр, ва <р, так как в стоит перед ~7 и, следова- тельво, ие подвергается действию ~7.
ввктогнын знзлнв Гл. и В выражении ~7 ° рз, оператор с7 действует только ва скаляр ф, поэтому мы можем написать, что В результате получаем формулу ~7 ° (~ра) - ~р~7 * а + а . ~7~р ялв прн обычных обозначениях б)ч ° (ра) = р гйч а -)- а-йтай ~р (»7.») а (с7.«ь) а ~- (~7.») а„ В выражения (~7 ° »,) мы должны, имея з виду востоа яство вектора чь, переставить с7 с «,; атак (С7 .ч.) а - (».
° ~7) а + (« ° ~7) а (раз ч стоит перед ~7, оператор (7 на ч не действует, в кеаачем писать значок с). Далее (~7 ° «) а, а, (17 . ч) = а (т7 ° т) в звачкт (С7 ° ч) а - (» . С7) а + а (~7 «) = (» * ~7) а + а 41» 1 (23) Если мы применим обобшеввую формулу Гаусса — Остроградского (19) в (с7 ° ч) а, мы позу шм ~ (~7 ° «) а с»' = $(в ° ч) а оЗ = ~ а з„а5 » 3 ь В силу предыдушей формулы, получаем важное соотношение ((ч ° '(7) в + а б(«ч) ву ~>а з„аБ з (24) В частности прн в = ч, получаем формулу ~ ((ч ° ~7) ч +» гйч ч) Л' <~ ц,ч НЯ (25) 4, Остановимся ешв ва одной дифференциальной операцвн второго порядка, а вмевво, составим расхождение потенциального вектора б)«йтад ~р.
Так как йтаб ~( = ( — + у — + )г— . зе . зе зв дз дт Зз В качестве второго примера возьмем операцию (т7 ° ч) а. Так как здесь ч в а стоят после ~7. то дейстзке днффереюхвальвого оператора ~7 мы должны считать распростравяюпжмся я на ч в ва а. Согласно вышеприведенному правилу двфферевцнрованвв мы должны написать ОпнРАТОР гамильтона ТО д ~з )+д ~ )+ т (д*) б1т йтаб ~р — + — + -дг. 4~О даг дг" (26) Выражение (27) назыаают оператором Лапласа, а уравнение ~1~Р = 0 уравнением Лапласа. В символической форме кы имеем (28) б1т ягаб <р ~7 ° ь <р (1у.
~7)Ч (29) Но скалярное произведение 17 ° 17, которое чаща обоаначают через ~7*, очввядно, равно как рав 1"1: д д д д д д Ф дз У ~Т 17- — + — — + —,—,= + . + — - (1 (ЗО) д дгдг д. д. = ~ д ° Заметим еще, что так как $ с„дд б)т а 1)ш ° > ~о~агля а = бгаб р, а„ = — „, У д» ,(1О = ~7~у 1)ш ъ-о н в соответствии с зтим (92) б.
Откладывая пока дальнейшее иэучение символического способе, обратимся к некоторым фявическнм применениям понятна расхождения Начнем с вывода уравнения теплопроводноста. Допустим, что мы рассматриваем некоторое тело н научаем тепловое состояние его. Последнее будет яавестяо, если для каждон точки тела ны будем акать температуру Т в любой момент; нныма словаки, тепловое состояние тела аараатеривуется скалярной функцией 7'(г, г) = Т (х, р, а, г).
Если функция Т нв еависят от времена, мы говорим о стационарной вадаче теплопроводностн. в противном случае о нвстацнонарной. Вэктогпый Анализ Гз. И Рассмотрим внутри тела некотории объем У, ограниченный поверхностью Л, и подсчитаем двумя способами изменение количеотва тепла, заключенного в объеме У (фиг. 55). Плотность тела обоэиачнм через р (если тело неоднородное, то р будет функцией точки р (г) = р(э, у, з)), а теплоемкость через с (в случае неоднородности тела а тоже есть функввя точки).
Рассмотрим элемент оУ объема; масса этого элемента раева р оУ; за время <Й этот элемент нагревается на — Н( градусое; на это требуется, по самому оиределевию теплоемкости, количество тепла, равное Щ срФ' — й дг интегрируя по всему объему. увидим, что аа Фег, ээ время Ш всему объему У необходимо было сообщить количество тепла, равное Д = ~ср — ЫУй а~ в, следовательно, Приравиивав два полученных выражения для Ч, ваходвм равенство сР эз й) = $ Чэ~йу ат э Яо по теореме Гаусса — Остроградского $9 Ю =16(тййУ ( со э э т + ( ч ) я О в, следовательно, Это же самое количество тепла можно подсчитать иным способом.
Мы принимаем, что тепло передастсв тольао процессом теплопроводкости. тогда в каждой точке тела будет су~цествовать такой вектор п~ь тока тепла а (г, ~), поток которого через некоторую поверхность 8 дает количество тепла, протекаюкюго через эту поверхность а единицу эремеви. Таким образом за орем ~(г через поверхность Я зытечет количество тепла, разное опкгьтог гемилътонь 157 Так как это равенство спраееднкво для .есбоес объема У, то подывтеграхьнав фуикпив должна тождественно равввтьсв нулю. В самом деле, возьмем какую-либо точку М в примем за объем Р бесконечно малый объем, ствгввающийсв к точке М, тогда мы будем по теореме о среднем иметь (ер д +МчЧ)м р 0 где М, — некоторая средняв точка объема Р.
Прв стягнванив объема У к точке М, точка М, тоже будет стремиться к точке М и е силу иепрерывности подывтегрального выражении в формуле (34) мы получим, переходе и пссхедием равенстве, поделенном па р, к пределу, что ер -3 — + 61ч Ч = 0 дT (35) а хюбой точке М внутри тела. Рассмотрим теперь. как заввсит Ч от Т. Так как поток тепла направаен, очевидно, от более нагретых частей тела к более холодным, а вектор йтаб Т паправхен, наоборот, от болев хоиодных час~ей к более теплым, то можно принять, по ирайпей мерв дхв иаотропных тел, что (36) ц — Абгаб Т где й — коаффпциеит тепхопроводиости, который в случае неоднородности твва будет иметь е раэвичных точках различные эиаченив.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
