1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Всякий такой элемевт должен валяться границей двух смеяаых Ую причем, как граница одного илн другого иэ этих объемов, он имеет внешние нормали и' и в. — в' прямо противоположного направления, а потому — ю+ и о Увеличнвав л до бесконечности, а гь уменьшая до пуля, получим: ф а„сэу — ~ б1т а Н~ ~ < эу в г э так как э мы можем выбирать сколь угодно малым, то непременно а„аЮ ~ б)т а Ы~ В аналитической форме теорема Гаусса — Остроградского имеет вид (аэ соа (и, х) + аэ(соэ в.
у) + а, соэ (в, э)! по' = $ * а~За, а„а,~ (Щ Ввиду фундаментального свечения формулы Гаусса — Остроградскогое мы дадим еще непосредственный вывод этой формулы, Пусть имеем эамкнутую поверхность 8, котораа прямымв, параллелькымя координатным осям, пересекается в конечном числе точек, и пусть р (я, у, э) — функция, имеющая непрерывные проааводвме Тогда имеют место формулы ) — Ф' = ~~р соэ (и, х) аБ г — Пг = $ ф соэ (и, у) п8 дт — Ю $п~~((, ) ээээ поток Ввктогэ чвгвэ поввгхвссть которая происходит от части объема, вырезаемой цилиндром, равна, оче- ввдно, 5~ е 8х+~ с 8х) ~(Е ('р (М) — Ф(М) +'р(М) р (Ме)) йЕ Но, как было объяснено еьппе, е точках М, и Ме ЫХ вЂ” соэ(в, 3)!И а точках же Ме и Ме — ИХ сое(в, г) Й8 Поэтому та часть объемного интеграла, которая происходиг ог части объема, выреэаемой цилиндром с основанием с#, равна той чаоти поверхностного интеграла $<р сов (и, з) сИ которая провсходит ст элемептов поверхности, вырезаеммх этим цплввд- ром вэ поверхности 8 и находящихся у точек М„М„Мю Ме Проиэводя сумикроеавпе по всем элементам площади 8, мы получим, что э эх $т У э Применяя формулы (14) к й г ф8( фйу фупкцвяы в, а, а„мы получим ~ а, соэ (в, я) ~(8 8 а„соа (в, у) 88 = $ е, осе (в, э) Й8 Докажем последнюю вэ вих.
Метод докаэательстэа будет тот яю, которым мы пользовались прн вычислении интегралов в п. 3. Если мы спроектируем объем г' (фвг. 51) на плоскость Ояу, то в проекции получим некоторую площадь Е. Восьмом элемент НВ этой площади с ребрами, параллельными осям х и р, в построим на атом элементе цилиндр с абраэующвми, параллельными оси а. Этот цплвндр вырежет иэ нашего объема г' некоторую часть; пусть, например, это будет, как иэображеио на фиг. 5х, часть объема г', заключенная между элемэвтами поверхности 8, иаходжцимиса э точках Мг и М„и часть объема г', ааключенная между элементами поверх~ости 8, ваходящимиси в точках М, и Мо Та часть объемного интеграла ввктогныв *налив Га.
Н Сложение этих трех формул вновь приводит к формуле Гаусса — Остроградского (13). Получив тем влв другим способом формулу Гаусса— Остроградского (13), мы сможем теперь доказать существование предела (10) для объема г' любой формы, стягивающегося к точке Р. В самом деле, по теореме о среднем где евачевве суммы в правой части берегся в некоторой орелвей точке (3 объема Р.
На основании формулы Гаусса — Остроградского мы имеем поэтому, что а Вудам теперь стягивать объем У к точке Р, тогда и <~ непременно в пределе перейдет в точку Р и тая как. производные а ад ~ да, дт д по предположенщо непрерывны, то кы получим, что ( 1 $ )у) да даа да и, следовательно, б)т а = — *+~-1- — * д„д, д,, дт да 'Ганны образом формулы (11) и (13) могут быть получены одна из другой. 7. Чтобы уяснить себе, как ва графическом представления пола сказываетсв то илв другов распределение б!т а, проведем ливии векгсра а и рассмотрим трубку зтвх лввпй, пересекающих какую-нибудь олошядку Ю, проходящую через некоторую точку Р и перпендикулярную к ливии вектора, проходящей через точку Р.
Эта трубка состоит, очевидно, из аЮ лияпй, если мы условимся проводить векторные ливан так густо, чтобы чвсло векторных линий, нормально пересекающих площадку единичной площади, было бы пропорционально величине вектора. На небольшом расстоянии й, считая по векторной ливии, проведем другое сечение трубки аБ', тоже перпендикулярное к векторным ливиям. Через пего проходит уже о' а(у' линяй.
Вычислнм поток через всю поверхность трубки. Через боковую поверхность трубки, состоящую иа линий вектора, поток, очевидно, отсутствует, пбо ва ней а = О. Потоки же через основания трубки равны — ос'у к а' ЙЮ'. поток ввктогэ чкэвз поввгхвость 1 14 141 Поэтому полный поток будет а' сИ' — ай~У, а так как рассматриваемый объем имеет величвку а Ус(1, то расхождевве будет е' Ест — в ЕГ Еслв а'ао' > асьУ, то расхождевве иоложвтелькое; череа сечевие Ы' выходят больше векторвых ливий, чем вошло через сечевле о5У, значит, в рассматриваемом объеме о(У Ж возникло а' Ю' — а сАУ зекторвмх ливий, в едиквце же объема зоаввкает б1т а зекторкых ливий; таким образом б1т а служит мерой возквкковеквя вли уквчтожеввя (прв отрицательвом д(та) лшпей, Если мы обратимся к ввтерпретацвв иола прк помошк фиктаэяой жидкости, то мы должны будем сказать, что б1т а слуя<вт мерой зоавиквовевкя влв уввчтожеквв ясвдкостк, так как, вакркмер, прв а' еч8' ) а1ЬУ больше вытекает жвдкоств, чем втекает.
Таким обрааом в каждой точке аростравства мы имеем как бы зсточвкк (положительный илк отрицательный возввквовевкя жидкости, а б1ч а служит мерой обильвостя этого асточввка Рассмотрвм псле скоростей дейстзвтельвой весжвмазмой жвдкоств. В этом случае объем жидкости, зыходящея через какую-нибудь поверхность, всегда раввяется объему входящей, полный поток равен кулю к потому с(1т а О Ото уразкевве каяыеается э гвцродавамике уровнениая неравркт ности неслкииааной жидкости. Векторные паля, у которых б1ч а = О, имеют еажкое эвачевие в вазываются свободвымз от асточва нов или солевовд а л ь вы и в, т.
е. трубчатыми. Последнее ваэзавве связано с тем обстоятельством, что з солзвовдальком поле векторкые лвввв ве мо- "% гут ввгде кк начинаться, вв кок- у ш чаться; окв могут уходить з бесковечность вли быть замквутыма. Чтобы показать это, докажем следуюпсее освоввое свойство солеяо- Фяг 52 вдалькых зектороз: длл соленоидального векпчора потоп ееятора черве любое поперечное сечение векторной трубки ииеет одну и ту нее величину. Лля доказательства рассмотрим векторную трубку, огравичеккую боковой поверхностью Х' (фяг. 52).
Пересечем эту трубку двумя паперечвымв сзчеввямв Е в В, в рассмотрим замкнутую повзрхвость о", обраэоваввую сечеввямв Х, Х, и частью боковой поверхвостк трубки Л'> заключзввой между Е и Ем эиктогпыв АнАлиз Гл. Н Обозначая через 'г' объем, ленющий внутри позерхвоств 8, и применяя и етому объему теорему Гаусса — Остроградского, найдем, что а„ао' ~ бы айу \ 61т а = 0 Но во условию Следовательно, объемный интеграл обращается з О, а значит в ~ „йд-О влв, что то же самое „гд+ ~ „дд+~ „дд =О З изменит свой зван, поэтому окончательно получаем что п доказывает высказанное выше свойство соленоидального вектора.
'Гак как ~~~он дает число эекторвьгх линий, проходящих через сечение Е, и так как мы получили, что это число вдаль векторной трубки ве меняется, то отсюда и вытекает, что з соленовдальвом поле векторные линии нигде ве могут ви вачвваться, нв кончаться. Очень близко к только гго доказанному свойству солевоидальвого вектора еще другое его свойство. А именно, возьмем какой-нибудь контур Ь, и пусть дзе поверхности Я и 8ь опираются ва этот контур. Докажем, что потоки соленоидавьного сектора а мрев вти две поеерхносзьи равны лезсду собой, если ыверхность Я, лазсеж бмжь нелрерменай деформацией переведена в поверхность 8 и если после воюй деформации направления нормаеей к поеерхнсстлн 8 и Яь совпадут.
Доказательство опять основывается на првмевенпи формулы Гаусса — Остроградского к объе- Но на поверхности Е' мы имеем и„= О, нбо вектор а з точке поверхности Е' направлен по касательной к векторной линии, лежащей ва втой поверхности и, следовательно, соотазляет с нормалью в к этой поверхности Е' угол з 90'. На поверхностях Е н Е, направление внешней нормали различиьй квмевим поэтому направление поркала у поверхности Е яа ярямо протпзоположвое, тогда и значение патока вектора поток Ввктога чзэзи позвэхпость муу, ограниченному новерхпостямв Я в Юб если, например, нормаль к по.
верхности 8, является дзя объема внешней, а аормаль к Б — внутренней, то мм будем нметь й ч а с(Г = ~ ач с)о — ~ а„с)д и так как в нашем случае зевая часть равна нулю, то в праваа часть равна нулю, что и требовалось доказать. Доказаввав теорема аналогична теореме о неваввсимоств криволинейного интеграла потенциального вектора от пути интегрирования, потому что ова.может быть высказана еща в такой формт Ес.пс вектор а сояеноидаяьнмй,, шо ноток мвоео вектора черве яюбую поверхность Л, натянутую на вабанный контур Ь, не вависит ош вида втой новерх- сг~ ности, а то.высо от.
контура (.. Однако теорема о том, что Фиг. 53 криволинейкый интеграл от потенциального вектора по замкнутому контуру разов нулю, справедлива только дзн случая одвосвяэного пространства. Авазогнчно етому доказанная только что теорема свраведлива только для случая таких обяастей, в которых всякая повсрхноссзь шила сферической поверхности корсет быть стянута е топчу, не выходя ие предеяов обяаппа. Рассмотрим два првмера. Пространство, заключенное между двумя сферамв Я, в 8з, не принадлежит к атому классу областей, ибо, если взять сферическую поверхность, расположенную менщу Яч и бз, то ее нельзя стянуть непрерывной деформацией в нашей области в точку. Однако, это пространство будет одвосзяэньпв, ибо всякая замкнутая кривая в этой области может быть стянута в точку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
