1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Другам примером является кольцо (фиг. 53); мы уже внаем, что эта область двусвязна, однако,легко сообрааить, что эта область будет принадлежать к эмшеуказаввомч классу областей. 8. До сих пор мы предполагалв расхождеиве вектора непрерывной ковечной функцвей поля. Во многих случаях приходится, однако, иметь дело с таким распределением вектора а, что объем г, в котором происходит ввтевсвввое образование (илв уничтожение) жидкости (прв интерпретации поля жидкостью), имеет очень малую толщину, так чсо математически ны можем заменить его поверхностью. В других случаях оп сводится даже к лвпиям в точкам.
Такие точки называются п с т о чн и к а м и изи с т о к а м и, смотря по тому, образуется в вич, иидкость вли уничтожается. Разберем в качестве типичного примера, каково будет пеле потенциального вектора, расхождение которого всюду, кроме качала Ввптогвып Анализ Гл В (17) По условию вектор а потенциальный а йтаб ~р и естественно по симметрии считать у фупкцяей только расстояния г. По тогда а = йгаб ~р = в'(г)— г Возьмем в формуле (1?) аа поверхность Я поверхность сферы радиуса г с центром в начале координат, тогда г и = —, а„=в'(г) г и потоп вектора будет 4ягЖр' (г); значит 4яггр' (г) = е е г т (г) = — ° В(г) = —— 4яЯ' 4яг Итак, гь м г а=пгаб( — — ) — д, с= — з 4ягг' 4я ' 4 Исучим пола полученного вектора а несколько подробнее.
Проверим, прежде всего, что этот вектор лвляетса соленоидальиым. В самом деле дла проекции его мы имеем, очевидно, выражения Постону да д» г Зге дг г Зев е г (гг — Зье) 4яЯ де г (г* — Зр'] даг координат, равно нулю; в начале же координат пусть находится источник с обнльностъю с, гак что в каждую едвннцу времени из етого источника вытекает е единиц жидкости. Таким абрахом поток вектора а перес бесконечно малую замкнутую поверхность ге, окружающую начало координат, равен с.
Покажем, что поток черве любую поверхность 8, окружающую начало координат, равен д. В самом деле, применим теорему Гаусса— Остроградского (12) к объему, ааключепному между поверхностями м и Я. Так как б(т а О, то объемный интеграл пропадает. Поверхностный же интеграл черев поверхность ге равен. очевидно, — с, потому что теперь еа ваправяевие евежней нормана к соеерхвоств ге надо прккимать то, которое смотрит внутрь объема, ограниченного поверхностью г, и содержащего начало координат. Поатому поток звкгогл чвгвз позагхкссть ! 14 Отсюда а (Згз — Зез — Ззз — Ззз) 4 Получеквый вектор имеет особевкосзь е качала координат, поетому областью его задавая мы должвы считать есе аростравстес с еыключеввым качелом координат. Но такое простравстео пе прввадлежкт к укезаввсму в кокце предыдущего пункта классу областей.
Этим объясвяется, что е то время как поток вектора а через замккутую поверхность, ве ааключающую евутрв себя зачала координат, будет но теореме Гаусса обращаться з кулю а„а(У ~ д(е в <(Р 0 Ф поток через позерхкость, содержащую снутра себя качало коордивзт, будет отличен от куля к будет разек с. Общий характер поля, достав- ~, 4 Г паевого веточка- -м — з ~ — ~- з- -е— ~ Ю' ком в стоком, ясен вз фвг.
54. ! Векторкымк лк- ,Г гг яиямв сяужат прямыс, проходящие Лиг Лсзгежз через всточввк влв сток, причем Фег 54 величава вектора взмевяется обратно пропорцвовальво квадрату расстояпвя точки ло источника вня стока. Зваченве потока секторе через бесковечво малую поверхность, охватывающую всточкик алв сток, будем вазывать обпзьностмо, лозулесжмо илк интснсазнсстмо асточввка. Еслв мы имеем свстему и точек М„М„..., И„с обкльвостяме с„сз,..., е„в еслв расстояввя точки М (г) от зтвх точек обоавачвть через г„гз,..., г„, то аотевпкальвое поле (г) = ((~ж(( — -к- — ~~ —...— — '" ) имеет расхождевве, всюду раввое нулю, за исключением указавпыз а асточввкоз.
Рассмотркм замкнутую позерхвость Ю и пусть часть точек М„ Мз,,, М„аежит внутри ее; тогда поток вектора а через Ю равен сумме обкльвостей тел источввкоа, которые лежат внутри 8: зб и. з. к Ввктогный Авьляв гл. п где сумма распростравяется по тем всточввкам, которме лежат ввутря Ю. В самом деле. окружим этя псточпккя малммв сферами з; в применим теорему Гаусса ()2) к объему, получающемуся выделеввем ве простравства ввутри 8 малых шариков.
ограввчевпых сферами аг Так как внутри етого объема сВ» а — О, то полный поток черве Л в черве вге поверхности г,. раеея кулю, во, как бмло выясвево вмше, поток вектоРа а чеРев гг Равен — еб поетомУ ~о„с5 — Яег = О е а ото п есть формула ($9). Сраввивая вгу формулу с формулой Гаусса $а„03=~0(» аФ' в мь1 можем скаеать, что в елемеяте объема Л' находится всточвпк иятеясиввоств 61» аИ'. Таким образом, мы приходим в выводу, что б)» а дает меру вптевсиввости всточввков, вепрерывво расвределеввьтх по п)о» стравству в отвесевяых к едпшще объема. 3 ад а ч а ЛЧ. Доказать, что гй» (а, + ае) = сИ» а, + й)» ае 3 а 0 а ча106.
Вмчвслвть сй» г. 01 г= — + — + — =3 де дк дг де дк ~г 3 а д а ч а 100. Вмчвслвть гй» Ора), где ~р — скалярная, а — векторная функция поля. Вр „дв „де, б(» бра) = —" + —" + — * де дв дг д„др до д(р до дв + е+ +, *+ дв де де дя дт дг дв г'д „д Ы,~ Вр д Вр в '( — "+ — г+ — *) + — а„+ — а»+ — а, =~рой» а + ягаб ~р ° а д 1 д дв д* 3 а 0 а ч а 107. Вычислить б)» (го) п б)» (г'с), где с постояпвый вектор. О т е е т. г))» (го) = — , б)» (гго) = 2с ° г.
3 адата 108. Вычислять сй» (аг), где а — постояввый скаляр. О т в е т. брт (ссг) = За. 3 а 0 а ч а 100. Вычислить б(» †. О т в е т. г р 1 3 г 3 сВ» — = — й)» г + г ° йтаб — — — г °- г г г г" г поток внктогл чатка поввгъвость 3 а д а ч а 110. Вычаслить 31» Ь(г ° а),с(1»г(г ° а), где а и Ь вЂ” лостояввые векторы. О т в е т. Зйч Ь (г ° а) = а ° Ь, сВч г (г ° а) = 4г.а. 3 а д а ч а 111. Вычислить расхождение в поле скоростеа и ускорений в движении твердого тела. О т в от.
По формулам (53) н (55) $9: ч чэ+мхг и = гче + и х г + их(их г) = чге + ф х г»- и (и ° г) — г (и . и) Вычислим оВч (а х г), где а — настоенный вектор, (а х.г) = а„г — а,р, (а х г)„а,а — а„г, (ахг), = а„р — а„л е д а 33 ч (а х г) = — (агг — агр) + д (агв — а„г) + -3- (а„У вЂ” ага) = 0 Поэтому 31» ч = Жч че + 33» (и х г) = О 41» и = дйч ч' + д)ч (их г) + аЗч м(м г) — г))» г (и-и) Но по вадачам 110 в 108 31» и (и ° г) = и и = вг, с0» г (и ° и) = Зм ° и Змг Поэтому с(1» гг = мг — Змг = — 2м' 3 а д а та 112. Прв каков функции ф (г) будет 31» ф 00 г = 01 О т ест.
По эадэче 106 31» ф (г) г = ф (г) <Нч г+ Згас(ф (г) г Зф (г) + ф' (г) г ° г 30»- гф' Поэтому нада решить уравнение — + — = О, 3)о3 г+!ойф =!ой С, фгг = С чь г ч и окончательно где С вЂ” вроиэвольная лостояинав. Задача 113. Найти сВч (ггг). Ответ. 7 гг„ 3 ада »а Пд. Навтв сВ» (г (ю х г)), где гч — постоянный вектор. Ответ, О. Задача 115.
Найти 31» (ах(г х Ь)), где а н Ь вЂ” аостояивые векторы. 0 т в е т. 2а ° Ь. 10 вввтоииыи лиллиз Гз. 11 б (б. Оператор з амильтова. Некоторые призмжеиив 1. Рассматризав вектор бгаб е мы указали, что этот вектор мошко получить формальвхам примеиеикем оператора Гамильтона свабла* д д д ~7 = ! — + 3 †.+ й— дз ди дх к скялярпой фувкдив р. Ыы зидвзи далее, что при помощи этого опе- ратора вырюкается также и градиент одиого вектора по другому (т ° 17) а = и р-+ и„— + и,— ди дз дп а = !а,. + уг„+ )са, В самом деле, производя зто перемвожевие по формуле скаляриого уь~кожекия двух векторов Ь а = Ь а„+ Ь„а„+ Ь,а, и полагая Ь, Ь - —, Ь,=-~;- д д д д ' ди' получим а „ дз„ дз, т? ° а — "+ — "+ — * 4!та д* ди д* ,'4) Покажем далее.
что вектору '~? можно дать другое толкование. С этой келью запишем ваше первовачальиое определение Й)т а следующим образом $ п ° пил' 6!т в !)щ Сравнивая зто выражеиие с предыдуппзм, получаем $п ° зад 1? ° а =1!щ ' и з Применение оператора г7 оказывается чрезвычайно удобимм зо мвогих вопросах векторного анализа Поэтому мы подробио оставовимся иа его свойствах.
Покажем прежде всего, что расхождение зектора а ложно д)идеально рассматривать иак ока.аарноз произоодзнио сизыолпчоскозо зеюкора Х7 на осктор а ОПВРАТОР ГАМИЛЬТОНА .Рассматрввав зто равенство, мы видим, что под знаком поверхностного интеграла стоят скалкрное пронзведевве кз едиввчного вектора нормали в вектораа в соответстввв с тем Обстоятельством, что слева стоит скалярное пронзведенве зз ~7 а вектора а. Покажем еже ка двух првмерах, что зто Обстоятельство неслучайное. Прнмем ео внимание три формулы (14) $14; умножвм первую аз етнх формул на 1, вторую на ), третью ва (г в сложим трв получевкых равенства.
Так как (сое(п,х)+ )сое(п,у) + асов(п, з) и ' — + ) — + й-у- = '(/и ав . дт до де ду $ то мы получаем формулу, авааогвчную формуле Гаусса — Остроградского $ ф и сЮ = ~ дгаб ф <б' (б) Пусть теперь 1" обозначает бесконечно чалый Объем. Отягисаюя/яйся к точне М; тогда мм имеем по теореме о среднем, что Следоеательво, ~йгабн /Р=( ~Щ) 1+(ф) )+(ф), З1 У где Мм Мт в М вЂ” какие-то средние точки объема г. Разделка прелыдущее равенство на р, перевдя к пределу прв у 0 в заметна, чти Орп етом точки М,, М, в М переходят е точку М, получим с предположении веярерывностк прокзводных йд / он, йр / Ыу, Йд / дз, что (7) Эта формула для тгаб ф совершенно аналогвчна формуле (5) для б)т а.
Прв атом опять под знаком нвтеграла стоит еыраженве Оф, построенное кз 17в путем замены 17 па единичный вектор нормали и. Гк, к ввктоэпыи АнАлиз Обращаясь теперь и операцаа (ч ° >7)а, мы должны ожидать, что для этаа еперадкн справедлива формула <» ° а> аоо (ч ° >7) в Вш (8) Покажем, что это действительно так, однако лишь с той сесьма существенно» оговоркой, нпо еек>пор ч считается постоянным. В самом деле, постараемся прв атом условна вычислить интеграл (» ° а)а>ь> = $[ч„а сов (и, х) + Р„а сов (и, у) -г Р,асов (п, з)[о[у (й) Мы имела ранее формулу ф сов (и, х) >13 = — 'Р Ю =У г аэ Очевндко, чта эта формула справедлива и для вектора $а сов (и, х) >(я ~ — >>у в » (10) (ибо ока справедлива для каждой составляющей этого вектора); точка так же мы имеем а'сов (и, у) с(> = '> — Ы(> ( оа а сов (н, е) с>о' ~ — Ю (12) Памножая этя три формулы по порядку ка постоянные чнсла Р„, и„, и, в окладываа, мы найдем [в„а сав (а, х) + о»в сов (п, у)+ в, а соз (и, е) [ >бу ~ (о, ф + в„ф + в, Оэ ~ Ю' $(» ° и) а с[о' = ~(ч * >7) а >()> откуда, повторяя то же россу>кдекке, что к для пгв>[ >Р, выведем формулу(8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
