1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 24
Текст из файла (страница 24)
я~ Если радиусы-векторы яз точки О, ведуппге к этпм элементам, обозначить l / через г„гз, гз, а едввнчные векторы нормалей к зткм элементам через вп Фяг. 50 пз, вм то очевидно, что гз. и, есть высота пирамиды с вершиной О и основанием М,Л~ = а.У„поэтому г -ЫЯ, г,.п1 д8, = 3 об. ОМ,Ж, Точно так же ге п, есть эзвтея со знаком минус высота пирамиды с веРшиной О в освованпем Ме)рз дЛз, поэтомУ (Я ° в,ю — 3 б.
ОМЯ, Точно тек же гз ВЯз 3 об ОМзФ, В результате получаем г1.<(Я, + гз.НЯе + гз.ИЯе = 3(об. ОМ,Ф, — об. ОМ,Ж, + об. ОМей,) 3 (об. МгМ~УеХ! + об. ОМзХз) т. е. как раз утроенный объем, вырезаемый яз объема, ограниченного поверхностью о', вашкм телесным углом. Повторяя это рассуждение по отношению ка всем телесным углам с вершиной з О, мы в получим в результате суммировании формулу ф Г.со ЗУ 3) Вычислим следующий поверхностный интеграл по замкнутой по. зерхвоств зсоз(в, з)с(у=Уз ЬИр з и докажем, что ов равен объему Р, ограниченному поверхностью о: ввкгогпып АнАлиз Гэ С! Рассуждение будет совершевво аналогично предыдущему, только рассечевве кадо производить прп помощи цилиндров с образующими, параллельвымв оси з.
Прв атом про поверхвость 8 мы предполагаем, что ярямые, параллельные осям координат, пересекают ее в колечком числе точек. Рассмотрим теперь какой-ввбудь цилввдр, построеввый ва прямоугольпом бесковечно малом осповавви Ы Е, лежащем в плоскости зу, в имеющпй ребра, параллельвые осв з (фвг. 51). Пусть этот цклввдр пересекает поверхвость Ю в четырех точках Мм Мз, М„, Ме Те элемевты соэ (в, з) Ю, которые вырезаются цвлпидром у точек М, в М„равны г(Х, вбо нормаль в к поверхности Я образует с осью з в точках М, в Мз острые углы; вапратвв, элемевты соэ (и, з) <бУ, вырезаемые цпливдром у точек Мз п Мы надо считать равными — ЫХ, так как нормаль в в этих точках образует с осью з тупые углы.
Обоэвачвм з-вые коордвнаты точек М, Мм Мз, М, соответственно через з„зз, зэ, аб легко видеть, что сУмма элементов' з соз (и, з) сИ рассматрвваемого поверхвостпого интеграла, соответствующих элемевтам з поверхвостп, вырезаемым цилиндром, построевкмм ва осповаввп Н Е, равна (з,— з, + зэ — з,)НЕ Фиг 51 т. е. равна как рээ той части объема Г, которая вырезается палиндром, построевкым ка с( Е. Повторяя это рассуждевве по отношению ко всем таким цилиндрам в провэводя суммпровавве по всем элементам и* Е, мы докэи!ем формулу (8). 4) Докажем, наконец, что для замкнутой поверхности 8 интегралы з соэ (п, з) НЯ = О, ~! у с<и (в.
з) !(Б = О обращаются в пуль. Точно такое же рассуждение, как только что проделаввое, приводит к выводу, что сумма элементов х сов (в, з) Ы первого поверхвоствого интеграла, соответствующих элементам поверхности, вырезаемым цплвпдром, построенным ва основания бЕ, раева (з — с+ з — з)ИЕ =О а евачвт и весь поверхностный интеграл равен нулю. 4. Рассматривая поле какого-либо вектора а, очень часто для большей ваглядвоств удобно говорвть об атом поле, как о поле скоростей векотс эой фвктпввой жидкости. С этой точки ереван легко уловить себе смысл поток взктога чпзпз позкгхность наазанвя поверхностного интеграла потоком вектора а; з свмом деле, пусть через некоторую площадку, представляемую вектором гБ, фиктивная жвдкость, полем скоростей которой служит ваше поле, вытекает так, что а направлено во зве: за малый промежуток времени бс через шппцадку сБ, очевидно, вытечет объем жидкости в виде цилиндра, основание которого представляется вектором с(Я, а ребра векторами абг; величина этого объема есть как раз або сБ = а Лгала, пбо это скалярное произведение равно величине вектора гБ, т.
е. площади основания гьт цилиндра, помноженной ва о Ьс, т. е. ва проекцию ребра абг па нормаль к этов площади, каковая проекция является высотой цилиндра. Отиесевный к единице времени поток через алемевт гБ будет а.аЯ, а через всю поверхность ~ь ас й)т а = Иш — р — —, (10) т. е. расхождение сектора а есть отнесенный к сдипипс объема потом сектора а чзрсэ нооерхность бесконечно малосо объема, окружакт(ссо расом атриоасмую точку.
Это определекие нужно оправдать з том смысле, что нужно покааать, что тот предел, которым определяется расхождение вектора а, дейстзитевьно существует в не зависит ст вида объема, который стягивается к точке Р. Мы покажем это, установив аналитическое выражение бгта через составляющие вектора а. Прп этом мы будем предполагать, что частные производные по х, у, з от составляющих вектора а, а а, Если 8 есть замкнутая поверхность, ограничивающая некоторый объем. то зытекающая жидкость дает положительную часть потока, зтекающая — отрицательную. Иначе говоря, еслн мы проведем ливия вектора а, то элементарные площадкв поверхности, где втп линии входят е объем, дают отрицательные элементы интеграла, а где выходят — положительные. Такам образом, поток вектора а указывает количество яшдкоспя, вьггекающее из данного объема в единицу времени (есяи в данный объем жидкость втекает.
будет получаться отрицательный поток). 5. Воаьмем теперь какую-либо точку поля Р, окружим ее малым объемом У в вычислим поток вектора а через поверхность Я, ограничивающую объем У; разделим его ва У, чтобы отвести к единице объема, и перейдем к прапелу, уотремляя к нулю зсе размеры У, гто ыы будем обозначать символом У О, стягивая при этом объем У к точке Р. В результате получится некоторое число, зависящее ст поведения а зблпаи точка Р и характеризующее степень истечения из области точки Р. Это чесли называется расхождением вектора а в точке Р и обозначается чаше всего символом д(та (от слова Жтегдеге — расходиться). Таким образом зактогиып авэлнэ г.д существуют и непрерывки, в что поверхнооть 8 стягивается к точке Р равномерно в том смысле, что навбольшее и наименьшее расстояния точек поверхиостк 8 до точки Р валяются бесконечно малыми величинами одного порядка, который мы примем эа первый, что еелвчина всей поверхвоств о есть бесконечно малая величина второго порядка, а величина объема У, ограниченного поверхностью 8,— бесконечно малая величина третьего порядка.
Переходя к вычислению 4)т а в точке Р, примем последюою ва время аа начало системы координат О; вам вада вычислить $ а„йу = ~ (а„соз (п, х) + а„ссз (в, у) + а, соа (и, з)! ЖУ 8 а, (х, у, з) соэ (в, з) ЫУ Так как поверхность о' стягиааетса к началу координат, то ва этой поверхности х, у, з — бесконечно малые величины. По формуле Тейлора, ограничиваясь первыми членами разложения, мы имеем а,(х, у, з) а,(0, О, О)+ + а ~(~) + зз]+ у (( — *) + за~+ а~(а ) +аз~ где индекс О указывает, что нужно брать значения проиаводных е начале координат и е,, а„э„оавачают бесконечно малые величины. Умножая обе части предыдущего равенства ва соа (п, з) зИ в интегрвруя по замкнутой поверхности о, получим, выноса еще постоянные мвожвтели эа знак интегралов, а, (х, у, з) сое (п, з) ~йу (а,)о ~соэ (п, з) сЮ+( — ') ~ х соэ (и, з) Ю+( — *) <~у сов (п, з) ~Ы+ +(д*) $ з сое (в, з) сну+ $(хз, + уа, + зза) соз (п, з) с(5 Но мы имели, что сое(в, з) Ю = $х сое(п, з)д8 = ~>у соа (в, з) с(8 = 0 зоям(п, з) Ю =у Наковед (хе, + уез + зз„) ссз (п, з) ~И = зу поток зввтога чвэвз позвгхность где э — бесконечно малая величина.
ибо х, у. э — бесконечно малые первого порядка, полная поверхность Я вЂ” бесконечно малая второго порядка и У вЂ” бесконечно малая третьего порядка. Итак, ~ а, (х, у, э) соз (в,,з) г('у (ф) у + еу э Точно так же вайдем ф а„(х, у, з) соэ (в, х) дУ (-ф) У + з'У ф о (х, у, з) соэ (в, у) дУ ( — ) У+ з"У э где э' и е" — бесконечно малые величавы. Следоватекьяо, у о„оалч . + .~ деля это равенство на )г в перехода к пределу при у О, сразу увидим, что в точке Р йт а э„а. а, Ое да (И) Эта имеющая основное значение формула доказывает существование предела (40), независимого от аида объема У, и дает величину этого предела (от наложенных ва объем У ограничений мм можем, как показано киже, освободиться).
Так как основное определение йт а совершенно яе зависит от вмбора оистемы координат, то выражение (4() для йт а и на а р в а п ты о по отношению ко всем переходам от одной прямолинейной прямоугольной координатной системы к другой, в чем можно убедиться, впрочем, а вепосредстзеввмм вычислением. 6.
Важнейшая теорема, связанная с понятием расхождения вектора, есть теорема Гаусса — Остроградского о преобрааовавии поверхностного интеграла з объемный: Поток вектора через зонкнугкую поверхность равен обэавнаш( интегралу ояь расхохгденая аектора: $ а аьу = ~ й г а ь(у э ((2) Чтобы показать справедливость этой формулы, мы поступим, как часто ето делается з математике, следующим образом: мы докажем, что формула (12) зерна сноль угодно прпблвжеиво. В самом деле, выберем малое число э; разобьем У на столь малые элементы Уь, з сумма соотавляющие У, что для каждого из впх имеет место неравенство Ввктогпын Аиьляз Гл. П где Я» — поверхность Рь и эвачевие 4(т а берется э некоторой точке Ую Сложим все эти неравенства, умвожвв их предварительно ва Кю тогда получим: $с сИ вЂ” ~й)эвУэ ~ < э ~ух эг е г ибо те часта поверхностных интегралов, ко~орые отвосятса к элементам поверхностей Яэ, ве входящим в Ю, попарно сократятся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
