1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Пе разделения ва е и переходе к пределу, мы получим требуемую формулу з = соэ (е э) + — соэ (э у) + ~сОБ(э 3) дф дф з =дз - ' В„' а Заметим, что ату же самую формулу мы получили бы, если бы прв определевии производной — мы брали соседнюю с М точку М' эе ва дф дз луче, проходящим через точку М в паправлепкв е, а ва какой-либо кривой МЬ, касательвая к которой в точке М имеет направление з.
Обозначая через з длину дуги, отсчктываемой по втой кривой от точкв М, мы будем иметь, что фупкпия ф (ж у, з) будет сложной функцией от з через посредство з, у, з; па пралилу дифферевцвровавия сложных функций мы получим дф Вф Ыг аф Ыв дф Ы вЂ” = — — + — — + —— дв д» Ыз дв Ыз д> Ыз '.л так как — = соз (е, у), Ыэ — = соз (э, х).
Ых Ыг — = соэ (з, з) Ыз >р (г+ сз) — >а (г) = ф (э+ с сое (э, х», у+ з сов (з, у), з + е соз (е, з))— — ф (з у. ') Эту резкость можно рассматривать, как сложвую функцию з. Разложим ее в рвд Тейлора по возрастающим степеням з, причем ограпвчвмся членом, содержащим первую степень з> ггелнвнт. кго свовствэ $12 то опять получается соотношение -щ- - р. соэ (в, х) -~- " — соз (Б, у) + -у — соа (В, 3) дф дф дф дф Но вспомним правило преобразования составляющих вектора а (формула (1) $4): а, а„сое(в, х) + а соз(в,у) + а,сов(в.
з) (4) Отсюда видно, что если мы определвм вектор, составляющие которого по основным ортам суть —, —, -5-, то его составляющая по любому дф дф дф де' дт' За ' направлению в будет —. дф де Назовем этот вектор г р а д не н т о м ф в точке М в обозначим символом вгай ф. Его составляющне йтай„ф = —, йтай„ф —, атай,ф -д —, ягай, ф -у- (5) дф дф де дф Таким образом утай ф 1 — + ) — +)г— ° дф .
дф дф до дг дс Этот вектор, конечно, не ааввснт от выбора системы коордвнат х, у, з, тан кан его составляющие по любому ваправленкю были нами определены непосредственно. Величина огай ф, очеввдно, равна ! бтай ф ( = Провзводвая ао любому направлению з равна проекция йтай ф ва это направленве, следовательно — = э.бгай ф ( утай ф 1 сое (втай ф. з) дф Иэ атой формулм видно, что -о — достигает наибольшего значения для направления э, совпадающего вак раз с направлением йтай ф, врв. чем это вавбольшее значение равно велвчвне йгай ф. Поэтому ны можем дать другое определение градиента: Градитняан ф иаеыеается вектор, иннои~лй направление бмстрейюсао уеелвченил р в яо величине расный нронееоднол но этаку направлению.
Из других обоэваченвй граднентз ф укажем, как наиболее употребляемое, ггф, где знак ~7 читается свабла». Прв атом обоэначеввв мы будем пмезь де ) -~оу + дз Ввктовныи Аиллвэ Га. 1! Ив этой формулы видво, что 17 можво рассматривать, как дид)фереиКкальнма оларатор ''дв + л +)г д* .д .а д (10) который, будучв примеиев в скаляру ф, дает йгаб ф. Этот оператор, который можио рассматривать также как свмволичесюзй вектор, будет нами в дальпейшем рассмотрев более подробво.
Его вазываю1 иногда олераторак ! алгвлмяоиа. Проведем через точку М позерхвость уровня функции ф и докажем, что вектор градиента ф иаправлев по кармаля к этой поверхиости уроввя в точке М. В самом деле, так как ва поверхк ности уроввя ф совез. то производная по всякому направлению з, леясащему э касательвой плоскости к поверхности уровня е точке М, равна нулю, следовательио, для всякого такого иаправлеивя по (8) соз (йгаб р, в) = 0 что может быть только, есле йгабф карасина дикуллре н к ковер киоста уравнл а точке М.
Фвг 45 Далее очеввдво, что йгаб ф навраелеи е ту сторону коралла, куда ф воврастоа1я. Связь между градиентом фувкции ф и производвой от ф во различным яаправлевиям имеет очеиь простое геометрическое истолиоваиие. Проведем через точку М (фиг. 45) поверхвость уровня ф сопзс, к этой яоверхвости уровня восставим в точке М нормаль М)г' и отло)ким ко втой каркали вектор М)У = агаб ф. Построим далее иа М)г', как ва диаметре, сферу а рассмотрим какой-нибудь луч Мг, проходящий через точку М и вмеютвй вапраалеяие з. Пусть этот луч пересечет сферу в точке К. Так как угол при К з,5 М!гК есть прямой (по известному свойству окружвоств), то МХ является проекпией М)г' ва ваправлевие Мт во проекпия йгаа ф ва какое-либо направление есть провзводиая ф по атому вапрзвлевию, следовательно, иы получаем, что МК =д г д Если бы луч Мг' ве аересекал сферу, то, продолжив его в другую егорову, мы вашли бы точку К' и получили бы, что дф —, = — МК' дг Отметим еще, что если единичный вектор вориали к поверхности уровня обозначить череа в, а производную от функции ф по иаправлеявю этом порвали через — , то, очевидво, будет дф де ' 8 бф=д фв ггьднвнт.
вго сВОйстВА Иа формулы — е.стайн де д» вытекает, если черве от= вй» обозначить бесконечно малый вектор. идущий из точки М в направлении а, следумвще соотношение: йр=-~-йд ай» бгайе йг йгайе де Иначе это соотношение можно получить следующим обраеом. Надишем выражекне полного дифференциала функции н »бр= йх+ ~-ау+ йх де д де д» дт д» Но, с другов стороны, мы имеем йгай~р =! + у — +Ив де де д» дт О» йг= (йв+ йф -~- яс» Составляя по пэвестпому праввлу скалярное проивведение зтнх двух векторов, мы легко получим йр = йг йгай и (И) Это соотношение характерно для ягай р.
Если мы найдем такой вектор а, что для пронавольного йг будет (12) то можем утверждать, что а = йтай~р, ибо йр = йг.а йг.пгай мприводит к соотношению йг.(а — бгай (») = О; откуда юцшо, что а — я»ай <р перпендикулярно к любому направлению, что может быть только, если а = йгайф. 2.
Рааберем несколько примеров вычксленив градиента. Самым важным случаем является тот, когда в заввсит только от расстояния точки до некоторой определенной точки, которую ыы выберем еа начало координат. Итак, пусть »р= р(г) Поверхностями уровня служат концентрические сферы с центром в начале координат. Нормаль н поверхиостя уровня совпадает с радиусом-веятором, постону во величине бхай <р равен — ~ = (в'(г) ) а нюхравлен бгай н в ту сторону, куда ~р возрастает, т. е. при положи-, » теяьном ~р' (г) ортом ягай ~р служит —, а при отрицательном |р' (г) ортом йтай ~р является » вкктогиыи скалив гл. н Таким обравом, всегда будет бгаб ф (г) = ф' (г)— (14) Š— Ф, ддг г дг бгабф ) ~ -г ) ~+'и де дв дз г +жар дф г сг и ° Наконец, мн можем вычислить бтаб ф (г) я третьим способом, опираясь аа формулу (12).
Для атого составляем (ф(г) =ф (г) й. Но, с другой стороин, валетки, что, так каи г.г = гг 4 (г г) 2 (г.Ыг) 2г Ыг Следователько, Ыг = — (г.Ыг) Поэтому с6р (г) — ' г аг Отсюда, в салу скаааииого о формуле (12), ораву можем написать ягай ф (г) = — г ф' (г> Принимая, иапркмер ф(г) г, 1 г ' легко докажем, что игаб г г 1 бгаб — = —— Р" ягаб г" = аг' гг (17) Этот же ревультат иожио вывести я иепосредстеепиым внчислеаием, рассматривая ф, как сложную фуикцию л, р, з, задакиую чврев аосредство гт ар дф Ю а д д Но д 2 е г +у + де а р'~а+ти.) гг ггопивп'г, вгс овоиства Прежде чем переходить к другим примерам, яокажеи осиоввые в тео.
рия градиента Формулы (18) йтад (р + ор) дгао) ~р + игам ~р угад (~р~) (о бган ор + ф бгаб ~р йтаб Р (ф) = г" (р) йгаб ~р Этн Формулы являются почти очевидвыии, вбо, проектируя, например, обе части равенства (18) ва каное-либо направление а, кы получаем а(е+ И аг ер до Ео до что, очевидно, представляет собой тождество — провааодвая суммы равна сунне производных. Однако, несмотря ва свой простой характер. формула (18) ивляется очень важной, потому что на ней освоааво сооэкаяооо веюяоркмл яо.оси.
Если мы имеем даа вектора а я Ь, являющихся граднеитами дауа функций а = бгаг) <р, Ь = бгаб ф то вектор с=а+Ь будет градиентом функции х = Ф + 'р Пусть теперь мы имеем поверхности уроевя функция р, построенные длл раввоотстояпнхх аначепвй йс Ф=,ро — За, Фа — 2а,ра — а, Ч>о, (ь+а, ро+2а, Ус+За,.
и поверхвоста уроаив йувкгнги ор, построенные для равноотстоящих авачеввй ор, с той же равностью а между дауна смежвмии авачевияик ор - - Фо — За Фо — За Ч'о — а о)о оро+ а оро+ ха Фо+ За . Тогда ва поверхности уровня ~р + 1р = |р + оро будут. лежать внииа пересечения поверхностей Точно так же поаеРхиости УРоввк ~Р + Ф = Ро + о)о + а брдУт принадлежать линии пересечения поверхностей в Ф-$о 'р то+ а Ф Фо Ф = %о+а % =%о ор то и Ч~ =оро — а в ор=$о+а ввктотпын анализ Ге. В 1!О Отсюда вытенает приближенный способ построения лоеерхностей уровня функции й, который мы поясним фиг. 46. На атом чертеже нанесены лиана уровня двух семейств и = сопэс, ф = совах Дввщи уровня й = совах получаются, есла провести диагональные кривые для получившейся серии криэолвнейеых четырехугольников: легко сообразить, что диагональные кривые другой системы (пунктирнгщ) являются ливаями уровня фувпщви р — Ф Фег. 4Е В качестве примера воаьмем в плоскости два фокуса А и В; расстоявве переменной точка Р до фокуса А обозначим через гь а расстояние той же точнп до фокуса В обоеначим череа г,.
Если теперь веятыр = гд, то линиями уровнв функции вр будут служить коацентрическве окружноств с центром в точпе А; точно так же для ф гв линиями уровня будут концентрические окружноста с центром в точке В. Если теперь, по предыдущему правилу,построить ливии уровня функцюв д р + ф = г, + г„ то мы, очевидно, получим эллипсы с фокусами А н В; в качестве яю лнипп уровня функпин д = р — ф = гв — гв пояучатся, очевидно. гиперболы с теми же фокусавщ.
В качестве второго примера рассмотрим векторное поле а = яга6 р, где 1 1 ~р = — +— "в причем г, и г, опять расстояния переиеннов точки Р до двух фокусов А в В. В элеитростатике такое поле получается в том случае, еслп в точках А и В находятся отрпцательвые электрические ааряды одинаковой велвчаны. Чтобы построить графнчесни поле потенцпала р, мы строим в плоскоств чертежа, которой пркнадлежат точка А я В, семейство ок- а и я ружвостей с цевтраип в точках А и В п с радиусами В, -~, ~, 4,." ггьдпкнт вго овопствь (так как поле снмметрнчво относительно прямой АВ, достаточно рассмотреть пояс только е етой плоскостп).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
