1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 14
Текст из файла (страница 14)
а„а„а, Ы» дт дт Ь„ Ь„ Ь, с„ с„ с с» с» 1» 1» 1» а»д» + а,в[» + а,Ы, Ь»д»+ Ьтд„+ Ь,д, с»И + с„де+ с,д, ~ а„с + а„г + а,с, Ь„с, + Ь„с„+ Ь,с, с„е„+ с„с„+ с,с, (4() а„г'„+ а»1» + а,1, 6„1„+ 6»!„+ Ь,~, с„[„+ с ~т + с,[, Если в формуле (40) полозгить д = а, е Ь, ( = с, то получатся формула, деюпыя квадрат объема параллелепипеда, построевмого ва ребрах а, Ь, с: а' а. Ь а.с аЬ Ь' Ьс во Ьо с» (42) [а.(Ьхс)Р = = а»Ь»с' — а' (Ь о)» — Ь* (с а)» — с» (а Ь)» + 2 (а. Ь) (Ь с) (с а) = аЬгс*(1 — сли» (Ьс) — сос» [с, а) — сов'(аЬ) + 2 ем(аЬ) сов(Ьс) с<в (са)) Составам д ° (ех х). Прв перемкожевлв мы получим двадцать семь промяв»декой, ко только пгесть вв квх не обратятся в вуль, гав что мы получмьп ГЛАВА П ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ й 9.
Переменные векторы, завнсяпыю от скалярного аргумента. Годограф сектора. Днфферекцкревавке вектора во скалярному аргугвевту. Формулы днфферепмвровакнн. Интегрнровавне по скалврвпму аргументу 1 Посвятим настощцую главу научению вопросов, сзааавных с переменвымв векторами. Начнем с рассмотрения того случая, когда независимой переменной является.скалярный аргумент с. Например, з механике, чаще всего, таким скалярным аргументом яэлястса зремн. Итак, пусть аам задан вектор а (С), изменнющнвса авеста с С в кредставлиющий некоторую функцию с. Отметим, тго ззданве фуякцви а (с) эквивалентно заданию трех скалярных фуинпнй от с: а„(с), ав (с), а,(с), ибо а (с) = а„(с) г + а (с) ) + а, (с) й (1) (2) а (с) = Пш а (с + Ас) 5г а~ Будем откладьгвать значения вектора а (с), при различных значениях С, от общего начала О; азменяя с на некотором интервале, ны ааставим конец сектора а(с) описать некоторую непрерывную нряаую, которая аазыззется годографом вектора а(с).
Итак, гсдвзраф вектора ввть гвамвтрвчвсксв место венцов ввюнарсв а (С), откладываемых ст вбн(евв начала О. 2. Чтобы установить понятно о производной вектора а (с), будем поступать как обычно: возьмем два соседних значения аргумента с а з с + Ас, найдем соответствующие им значения вектора а (с) и а (с-)-дс), составим приращение вектора, т. е. равность Ьа а (г+Ас) — а (с) (вз фиг. 39 эта разность представляогсв вектором АА'). Мы будем всегда предполагать а (С) нвлрврмвнай функцией С, т.
е, будем считать, тго длв двух соседних значений аргумента с и с+ Ас рааность а (с+ сьс) — а (с) может быть сделана смоль угодно малой при достаточно малом Ьг. В этом случае говорят также, что а (С) есть предел а (с+Ас) пра Ас, стремвпсемся к нулю, и запвсывают зто следующим образом: Гэ. И эактогны и Анэлиэ Составам далее отношение ае а(! .~- А!) — а (!) а перейден я пределу при э> О.
Есле этот предел существует. то его ваэмвэмт и р о и э в о ц я о й век то р а а(!) в обоэвачаа>т — эла а' (Ю) лэ >и Имея э веду, что а ыеэаявяе время постоя~но употребляется е качестве ыееаеасимого скалярного перемввяого. выгодно проиэводиие е ао еремеев сбоэвачать сокращенно гнмэолом а (!), ставя вад вектором точку. То же арвменямо конечво н к скалярам> — Ф ле э! г! если ! — время, Итак, >>,ьм.—..в» (ЗЪ Так аапрвмер, если свить аа а радвус-веитор г некоторой движущейся точки М (г), а эа ! — время то Ьг г (! + »!) — г (!) будет вектором перемещения эа время ог, — будит вектором средней скоросте эа этот промежуток времеви ег в, наконец, Лг .т> г будет вектором скорости т (!) к моменту э, Гакам сбривая скоросгь движущейся точка есть проеэеодвая ее радиуса-вектора по э рамеыи: (4) т (И г(!) Если мм начертим годограф еентора а (фнг.
Ей) в отметив> копим >( н Л' венторое а (с) и а (! + ЬИ, то частное будет иметь то же направление, что в горда годографа А4'. Прв 6! 0 его направление будет отремнтьса совпасть е направлением касательной э годографу, поэтому ээ эаоравлэвве проеяэодвой — совпадает с на- >!! правлением касагельвой к годогрэфу вектора а(!)> пзРзмзнныз ВзктОРы.
эАзнсяшнв От скАляРного АРгтнзнтА Очевидно, что проиаводнав вектора а П) есть в свою очередь вектор, еввнсящнй от д поэтому от него можно ваять пронаводную; эта прона- водная называется второй пронэводной вектора в н обоаначается ега ур Так например, пронэводная вектора скорости наэывается в е к т ором ускорения п (!): и (г) = р (г) = г'(г) е[а())+Ь()8 па+ ВЬ . Аа . ВЪ е» еь Ф А~ в! А~ м А) в) ж й = [[ш — [[ш — + Пш — = — -[- — (6) Постоанвый мвожвтель можно выносить взпод анака производной: )[= и () (ж сове!) е8 е) Есля ю есть тоже функция от д то справедлива фо р м у л а дв фференпврования пронаведення: е (та) ее дт — =ю — + — а е) е) А( (8) Для докаэательства составляем: 4ю» !.
(ы .~- вю) (а т Ае) — та ! Аею+ юва + ААААО юа ка Ю А в( АА- й ж Точно так же доказываются формулы д и ф ф е ре вин р о в а н к я скалярного н векторного произведений: е(а Ь) еа ИЬ вЂ” = —,.Ь+ а —, е) ж ~й е(ехь) ка кь е) ж = — хЬ+ ах— й (10) Относительно последней формулы нужяо заметить. что в ней порядои множителей в каждом члене имеет строго определенное эначеняе н пе может быть переставляем. еяачит, вептор ускорения есть вторая проиэводная радиуса-вектора по времени. Отметим раа навсегда, что мы будем предполагать все пронэводные, е которых идет речь, сушествующимн и непрерыввымн.
3. Докажем, что все осяовиые свойства производных сохраяяются в для пронэводвых гекторов. Прозэводная суммы равна сумме пронэводн ы х. Пусть имеем два вектора а (г) и Ь (П, тогда ввгггогяыв лилина гл. и Если вектор а (Г) раэложен по постоянным ортам 1, ), Рл а (г) = а„(г) 1+от (г) ) + а„(г) )с то, по только что выведенным формулам, найдем: м. ее е Э)= гу)+ и")+у*" откудавыводвм,что компонеяты пр оиэводной вектора равны проиэводиым от компонентов данвоге вектора. 4. Введем в рассмотрение длину вектора а (г) к его орт аг (г), так что а(г) - ° ().
(П (13) Тогда будем иметь: ла(П ла Щ = у;а~ + о "д (14) Равличвм три случая. а) .Пусть вектор а (Г) меняется только оо величине, ве меняясь по па. правпепгпо; в атом случае аэ = сопзс а. следовательяо, Йп , =о а эвачпт Ыа еа и) жег (15) Таким обрааом проиаводная имеет то же направление (илв прямо противоположное), что и сам вектор. Это ясно геометрически, вбо в рассматриваемом случае годографом служит прямав, проходящая черве начало координат. б) Пусть вектор а (г) иеввется только по направлению, не меняясь по длияе.
В атом случае годографом служит кривая, лежащая на сфере радиуса а, и геометрически ясно, что проиэводная вектора, будучи касательна к этой кривой, а следовательно н к сфере, будет перпендикулярна к самому вектору. Докажем это векторно. Имеем а = сопес Следовательно, Поэтому а а = а' = сопэс на еа ла ж ж ж —, ° а + а. —, =2а. —, =0 (17) Правило дифференцирования сложных функц я й применяется и к веяторам, так что если г будет в свою очередь фунв.
Пней другого скалярного аргумента и, то Ле ее ж Лв жля ! э ПВРВнвнным ВвктОРы, ВАВисящим От скАляРнОГО АРГунмнтА з! вв а значит —, перпевлккулярев к а, что и требовалось доказать. В рассматриваемом случае ва Иа, -=в— (!8) вв Навлек Величину вектора -„. Отложим вг' для двух соседнвх значений ! в с + Ьг н обозначвм угол между вамп через Сор.
Величина пркращевкя Ьш. представляющего основание равнобедренного треугольника. равна 2 з!в байр, поэтому (о[>пг. 40) значения а, (г) е,йу 3 о!э 1 — ~ = 1!ш — = !пп — = !!ш — Р Н9) за,! . !зо„! . 2 . з Ы СО М- З' АО Обозначая предел отношения угла поворота вектора к приращению аргумента терев ю= !!ш-й А будем поатому иметь 1'т1=- 1Й=- (20) Из фкг. 40 вш!Но также вепосредственно, что — перпевдвкулярно Лво ш к аь пбо в силу раввобедрекностн треугольника ОАА' углм прв его освованвв оба стремятся к прямому, когда бг О.
в) Пусть, язконед, а (!) меняется как яо длине, так к яо напрзвленкю. В этом случае о[оормула за.з ь, щ ш — =" — а, + а— и .(2() дает разложение производной вектора а на две составлвющне. Нз котозо РЫХ ПЕРВаз НаПРазпсаа ПО ВЕКТОРУ а П КМЕЕт ЗпаЧЕНЯВ в), а ВтОРаЯ нзлразлена по перпевдвкулвру к а в ювеет велнчпну Н вЂ” го)" (! — г )в ! (ю) = [(го) + (с — го) у (юо) + [ (ю) 1- .. + [(~ ~(го) + з) (22) остается верной в вля 'векторов: ~ !о а (!) = а (Го) + (Š— го) а' [го) + а" (го) + ... .[- ( †' "! [Вов) (Ь,) + з) 3 в! (23) Н В. В.
Котов 5. Формула Тейлора, дающая разложение скалярной фувкпнв в ряд по еозрастэемцим степеням приращеннз аргумента: ввктогныв анализ Гл. В 82 Вывод формулы (23) созерюевно аналогвчен выводу формулы (22), почему мы на нем не останавливаемся. Можно доказать (23) еще иначе: написать ряды Тейлора для функций а (г), аэ(г), а,(з), умножить вх на Ь ), Ь к сложить. Дадим теперь яояятке об интеграле от вектора по скалярному аргументу. Если оа —,=Ь лт то а(г) называется неопределенным кятегрелом от Ь я обозначается Ф а (З) ~Ь (г) ~Ь + сооаь (24) Определенный янтеграл ') Ь Й =, а (г) — а (ге) (25) равный разяоств' зва юкпй вектора а для границ нвтегрвровавкя, можно еще рассматривать, как предел некоторой суммы векторов п 1 Ь Ю = Ию ~ Ь (ч) (з~+ — з ) (26) ! э ОФ где Ь вЂ” ряд значепвй аргумента Ь вставленных между ы к г = 1„+„ притом таким образом, что прп стремлеввн и к бесконечности зсе разности гььг — Ь стремятся к 'нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
