1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В результате получаются две велвчины а (Ьхс) и ах(Ьхс), первая из которых есть скаляр н может быть названа ееэвюряо-скаэарязьз яроизюсдемиав; вторая же величина есть вектор в вазываетсв двойным аэяшорлыл произведенная эвзшороз а, Ь и с. 2. Начнем с выяснения геометрического ьзс значения векторно-скалярного проиаведення а-(Ьхс).
Выберем основную систему координат определенного ввдэ, например левую. Применим формулу (4) $ 5, по которой скалярное проиазеденне двух векторов равно произведению из величины одного вектора ва проекцию другого векторе на напраз- Фзг 36 ление первого. В нашем случае величина вектора Ьх с равна площади параллелограмма, построенного на векторах Ь и с. Чтобы найти, чему равна проекция вектора а на направление Ьхс, построим на векторал а, Ь, а параллелепипед (фиг. 36).
Направление Ьхс есть направление перпевдинуляра к грани с реб,« рамн Ь н с, поэтому проекция а на это направление равна высоте Ь парал лелепнпсда, опушенной на грань Ь, с н взятой со знаком плюс, если ребра а, Ь и с образуютлевую систему(потому что в этомслучаеуголмежду аи направлением Ьхс острыв), и со знаком минус, если а, Ь н с образуют правую систему (в этом случае угол между а я Ьхе тупой).
Так как произведение площади грани с ребрами Ь н с на высоту, опущенную на зту грань, разно объему параллелепипеда э, то мы получаем замечательную формулу: а (Ьхс) = ~э где нужно брать знак влюс, если векторы а, Ь н с образуют левую систему, н знак минус, если векторы а, Ь в с дают правую систему. Если бы мы веяли эа основную — правую систему координат, то совершенно авалогичнмми рассуждениями мы пришли бы к заключению, гэ' 1 ВЕКТОРНАЯ АЛГВВРА что в формуле (() надо брать анак плюс, если векторы а, Ь и с образуют правую систему.
и энак минус в нротивном шгучае. Поэтому яолучаогся общее эаключенне: если векторы а, Ь в с обраэуют систему, одноименную с основной, то в формуле (т) надо брать знак плюс; если же система векторов а, Ь и с рааноименва с основной, то в формуле (1) кадо брать ввак минус. Ив втой формулы сраау вытекает следующее следствие: а.(Ьхо) = Ь (сха) с (ахЬ) т. е, при циклической перестановке оекто(юо (самона а на Ь, Ь ка с, с ио а) ооюяорно-скалярное проиэосдонио но ионлоочсп.
В самом деле, осли а, Ь, о образуют, например, левую систему, то, как легко видеть, векторы Ь. с, в тоже будуг обрааовывать левую систему. При перестановке только двух векторов нв числа трех левая система переходит в правую вли наоборот; поатому векторно-скалярное нроиэведение меняет знак: а-(охЬ) = Ь (ахс) = с (Ьха) = — а(Ь хо) (3) При комвланарности трех векторов а, Ь, с объем иараллелеиилсда обращаогся в куль, поэтому в (Ьхс) = О (4) (а комнланарно с Ь в с). В частности, еслк два нэ векторов а, Ь, с равны между собой, векторно- скалярное произведение обращается в нуль. Обратно, нри выполнении равенства (4) объем лараллелепииеда равен нулю, а поэтому илв одни иэ векторов равен кулю, вли два иэ янх коллинеарвы вли же они комнлаварны.
3. Чтобы найти выражение в (Ьх с) череа составляющие векторов а„ Ь, с, Наметим, что ив свойств скалярного и векторного аронвведений вытекает дистрибутквность векторно-скалярного ироивведения, выражающаяся формулами: (а, + а,]-(Ьхс) = а, ° (Ьхс) + а, ° (Ьхс) а (Ь х (сг + сэП = а (Ь хо,) + а (Ьх со) Поэтому а. (Ь х с) = (а„! + ао) + аг)г) ° ((Ь„з + Ьо) + 6,(г) х (с„! ио с„) -)- с„й)) может быть представлено в виде суммы двадкати свив членов, однако только шесть иэ иих отличны от нуля, именно те, в которых комбинируются 1, ) в )г. так как все члены вада ( (ух )), ) () х () в которые входят два одинаковых орта, обращаются в нуль. Повтому а (Ь хо) =- а„йэс, — а„б,с„+ а,р,с» — а„о„,с, + а,б„со — с,б„с„(5) пгоичвапвнкя тгвх эвктсгов ! а„а„а, Ь„ с„с„с, Правило дяя раскрытия определителя 3-го порядка состоит в том, что мы должны приписать справа и слева от определителя цо одной колоние (соглас во схемы.
приведенной здесь справа), сос- "» в» сг гт»» тавить произведения иэ трех элементов вал<дай иэ шеста получающихся диагоиалев в ваять со знаком плюс проиэведепия, отвечающие диагоналям, идущим сверху га '» сэ с» с» слева вправо ввиэ, к со эпаком минус трв остальиме проивведепяя. Укажем еще, что определитель 2-го порядке рэскрываетсв по формуле ~ = а,Ь» — а„Ь„ Итак а» аэ а а.(Ь х с) = ~ Ь. с с„с,) (8) Эта бюрмула, указывающая тесяую свяэь векторио-скалярных произведений н определителей 3-го порядка, дает, таким обраэом, также выражение объема параллелепипеда, построевиого иа векторах а, Ь и с.
Как важноо применение атой формулм, выведем соотношение между девятью косинусами углов, составляемых осями двух координатных триэдров (фиг. 20). Вмбкрая эа векторы а, Ь, е соответственво вевторы Ь ) и Ь, мы получим, что а» р» Т~ о, 8» г» где нужно ваять скак плюс яли минус, смотря по тому, имеют лв оба трвэдра одинаковую ориентацию вли равиую.
Мы ваяли со ливком плюс трк коэффициента при ( ° (ухЬ), 3-(Ьх(), )с ((хЯ (вбо эти ироиэведевки равкы объему куба с ребрами длины едияицм) я со знаком минус три коэффициента при 1 ° ()сх)) = — 1, ) ° ()хЬ) — 1, Ь ()х)) = — 1 Выражение в правой части формулы (5) наэывается определителем третьего порядка ив составляющих векторов а, Ь в си обоэиачается следующим символом: Ввктогняя Алгввгз Гэ '1 Попутно отметав, что векторное пропвведевве двуз векторов а а Ь также можно представить и форме определнтелв. а именно: 1 1 Ь ахЬ = е„а„а, Ь бэ (10) Для доказательства достаточно раскрыть определитель правой чзсзи етой формулы.
получится формула (17) $6, 4. Перейдем к рассмотрению двойного векторного провзведенвя ах(Ьхс); этот вектор, с одной стороны, перпендвкулярев к а, с другой стороны, будучи перпевднкуллрвым к Ь х с, т. е. к перпендикуляру к плоскоств, определяемой векторамв Ь а с, он должен быть компланарен векторам Ь н с. Итак, вектор ах(Ъ хо) направлен по линии пересечения влоскостн, перпендикулярной к а, с плоскостью, компланарной векторам Ь в с. Вектор ах(Ьхо), компланарный зектораи Ь в с, можно разложить по этнм векторам, тэк что ах(Ьхс) = тЬ+ яс где и в я — подлежащие определению скаляры.
Примем, чго основная система координат есть левая система. Для определения ж мы всключим л, для чего умножив обе часта уравнения скалярно нэ вектор с', лежащий в плоскости векторов Ь н с,перпсндвкулярный к е Ф в направленный так, чтобы с', с к Ьхс образоь вали левую свстему. Фиг. 37, выполненная в плоскости векторов Ьв с, покааывает, что вектор с' нужно направлять в сторону вектора Ь (вектор Ьхс направлен от чертежа вперед). В результазе умнажеввя получается а ~Ь с~ Фаг. З7 [ах(Ьх с)[ с' = гв(Ь.с') (12) Преобразуем векторно-скалярное пропаведеппе левой частв по формуле (2): [а х (Ь х с) [ с' = [(Ь х с') х с' ). а (Ьх с) хо' = с (Ь с') [ах(Ьхс)) с' = (а.с) (Ь.с') Но двойное векторное произведение (Ьхс) хс' можно вычислить непосредственно.
Вектор Ьхс имеет величину Ъс з[п (Ь, с) и направлен по перпендикуляру к чертежу (фвг. 37), вперед от чертежа. Поатому вектор (Ьхс)хс' пмеет длину сс з[п (Ь, с) с' = сбс' э1п (Ь, с) = сбс' соз (Ь, с ) = с (Ь с') в направлен по вектору с, а значит пговзввдвння 'ггвх Вяктогов Подставлвя ото выражение в уравяевие (12) в сокращая нв Ь.с' величину, не ровную вулю, если только Ъ ве параллельно с, найдем т=ас Чтобы найти и, переяишем формулу (11) о евде а х (с х Ъ) = — тЬ вЂ” яс Применяя только что вайденимй рееультат, сразу найдем — и = а-Ь (14) так что окончательная формула будет ах (Ьхс) = Ь (а с) — с (а.Ъ) (15) Эта формула остается справедливой в при поллвнеарвоств Ь и с, так яив тогда обе частя равенства обращаются в нуль.
Отметин, что в двойном секторном правоведении очень важно подчеркивать порядок перемножения. Так, напрвмер, вычисляя (ахЬ)хс, иы получим совершенно другой вектор: (а х Ь) х с = — с х (в х Ъ) = с х (Ь х а) =- Ь (а.с) — а (с Ъ) (16) ' Сопоставляя формулы (15) и (16), можно вывеств следуюшее правило для вапомвнаввя раоложевия двойного векторного проивведевин: Скалярное произведение крайних векторов надо взято каиЯициентак при среднеи векторе и еычесявь ив полученново вектора проиыедение друвоео векввора, заключенпоео во внутренние скобки, на сна.серное произведение двух остальных векторов.
Формулу (15) очень легко вмвести другим путем, вели вайтв составляюшне вектора ах(Ьхс): (а х (Ъ хо)! = а„(Ь хе), — а, (Ь хо)„= ав (д с„— Ь с„) — а, (д,с — Ь„с,) = д„(а с„+ а,с,) — с (авд» + а,д,) прибавим в вычтем по а„д,с„. тогда получим: [а х (Ь х с) ), = е (а,с + а„с„+ а,с,) — се (а Ьв + оооо + а,д,) = Ь„ (а с) — с„ (а Ь) Так как совершенно аналогичные формулы получаются для двух других составлвюших, то имеем право иаппсать векторное равенство а х (Ь х с) == Ъ (а.
с) — с (а Ь) восстанавливающее формулу (15). 5. Прн цнклаческой перестановке векторов а, Ь, с формула (15) приводит к трем равным векторам: [а х(Ьхс)! Ь (а.с) — о (а. Ъ) (Ьх(ох а)! = с (Ь.а) — а (Ь.с) [с х (а х Ь) ! = а (с Ь) — Ь (с. а) Взктогиья ьтгвВРА < з. Складывая зги три равенства вместе, получаем тождество а х (Ь х с) + Ь х (с х а) ->- с х (а х Ь) = 0 (17) Наконец, важное применение формулы (15) состоит в выводе рез»овсе><ия данного гектора Ь на дее состае»я>о>яие, иг которых одна нара»- »е»ьна, а другая аерлендику»ярка к заданному сектору а, А именно, положив в формуле (15) с = а, найдем а х (Ьх а) = Ь (а-а) — а (а. Ь) = Ьаз — а (а.
Ь) решаем вто уравнение относительно Ь: Ь = —,а+ —, а х(Ьха) з ь 1 (13) Первый из слагаемых зектороз правой части, очевидно параллелен а, з второй перпендикулярен. Формула длл разложения упрощается, если а будет еднничяый сектор: Ь = (а.Ь) а + ах(Ьх а) а = 1 Разобранные паки случаи произведений трех векторов играют большую роль з векторной алгебре. Произведения четырех и болыпего числа векторов могут быть сведены к низшим произведениям; мы нх рассмотрим з качестве примеров. 3 а д а ч а Ьд. Через точку М, (гД провести плоскость, параллельную ъенторан а и Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
