1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Онв получвлвоь у вас как решение трех систем уравнений: а" а-1, Ьо а=О, со.а=О ао Ь=О, Ьо.Ь=1, оо Ь=О асс=О, Ь" О=О, сов=.1 (19) Теперь легко убедиться, что вектор (2О) г аа + рьо +1со волвотси решением давкой системы уронвеаий та=а г.Ь =9 го= В самом деле, проверим, например, первое уравксаве г.а (аао + рйо -~- тсо) а а (ао.а) +р (Ьо-а) -<- т (оо.а) = о (г' — г")-а = О (г' — ') Ь О (г' — г').с О Это рмпевве едвнотвеввое.
В оамом доло. есле бы имелось две решеввв г' в г' предложенной системы, то разность г' — г' была бы ревгеввем сметем ы ввктоги)еи ттлвнвяия 71 т, е. вектор г' — г" был бы перпекдикулярек сразу к трем иекомплаваринм векторам а, Ь в с, что невозможно. Особевпо просто определить систему ззаимиых векторов для системы ертогоиальиыз ортов Ь ) и Ь. В самом деле, вычислим: !е= 3 )ХЬ=$, 3е ь Ъе=й )ха ' —,.Охи). (21) Таким образом, в этом случае взаимные векторы совпадают с исходвыми секторамк.
С. Докажем теперь. что в обратна: векторы а, Ь, с являютсе взавмвмми для системы векторов ае, Ье и се. Отметим, прежде всего, что векторы ае, Ь» к се кекомплакарпн. Если бы ае, Ъе в ее били комплаиарвы то одии из вил можно бмло бы выразить через два другиз по формуле вида с" тат -)- яЬе Но тогда, по скалярном умкожевии иа с. мм получилв бн противоречие 1 = ее-е т (ае.с) + я(Ь"-с) О Докажем векомплакеркость векторов а. Ь, е еще другим способом, а ямевио, вепосредствеппым вычислением ае-(Ьехсе) ((Ьхе) ° [(сха)х(ах Ь)И (а ° (Ьхс))' Но в задаче 59 бмло найдено, что (Ьхс) ° [(сха)х(ахЬЦ = [а.(Ъхе))е Поетому а" ° (Ье хсе) = — е— е.( Хс) (22) Рвз ае.(Ьехсе) чьО векторы, ае, Ье, се ке могут быть комплаваркымв, Попутио мм получили, что объем параллелепипеда, построенного из векторах ае, Ье, се, обратен объему параллелепипеде с ребрами а, Ь в с и что векторы а*, Ь"', се образуют систему коордииет того же вида (правую вли левую), что в а, Ъ, с.
Теперь доказательство взаимности векторов а, Ь, с с зектораме ае, Ь*, с" ве представит викакиз затрудиеивй. Доататочио сгруппировать уравиевия системы (19) в трв системы, относя в каждую три ураевсвия, стояшие з одвой к той же с~роке, чтобы сразу увидать, что вевторм а. Ь, с взаимны с векторамв ае, Ь» и се. 5. Еще в самом начале нурса мм видели, что всякий вектор б может бить разложен по трем кекомплаиаримм векторам а, Ь и с: (23) б= + вЬ+рс При поможи взаимных векторов очень легке кейта нозффяцвевты этого расзожекиа.
Гл.[ 72 Виктогвля Алгввга В самом деле, умножим обе части ураввепвя свалврпо на а», тогда, так как а а» = 1, Ь а» = О, с.а» = О мы сразу получим [24) Точно так же найдем =б Ь. р=б с» (25) Значит г[ (г[.а») а + (И.Ь») Ь + (г[.с») е [а [ЬХ»[[а+ [» [»Хай Ь+ [а [»ХЬВ» (26) а [Ьх») Эта формула другим путем была нами получена в аадаче 58. Получили пример определения трех сиаляров ие одного векторного уравненвя. Прием рещенвя состоит, как видим, в скалярном умножении на три векомпианарвых вектора.
Разлагая И по векторам а", Ь», с», мы точно так же'получили. бы б = (7[.а) а» + (4 Ь) Ь» + (й с) с» (27) Полученные формулы имеют тасвую свяаь с решением енот»мы трех уравнений с тремя иеиавествымв. В самом деле, уравнение (23) равносвлъно трем алгебраическим уравнениям: г[» = вм„+ лд„+ рс [= + ~»+р ° *=та, +яб +рс (28) с тремя веиавестными ж, я и р. Мы нашли рещевве в виде с[» «т А ь„ь„ь, » и, ь ъ а.[ хс) .
(26) а„а„а, Ь„Ь» Ь, с» сг К= Г,+Г,+...+У„ = г, х Р, + г»х Р, +... + г„х Р„ в аве аналогичные формулы для в и р. Таким образом мы восстановили рещение системы трех уравнений с тремя неизвеотнымв прв помощи определителей, 6. В т 6 мы ввели понятие о главком векторе К в о сивином моменте Еа отиосвтелъио точки О системы син, приложонвых к твердому телу: звктогпыв ггьэквиия где гг — радиус-вектор точки С. Геометрическое место талих точек С, для которых главный момент вараллелек главному вектору, иазываетсв Зсятральлся асмо свешали.
Поставим задачу отыскать ее. По условию, для точек центральной оси ЬхК= О 1„, х К вЂ” (г, х К) х К = О Хех К вЂ” В (г; К) + г, (К В) = О т. е. Отсюда Предположим, что (г, К) = р, тогда можем решить уравпеиие откоеятельло г, ПК-ГсХК (Зо) Величина р остаогся веопределеииой, поэтому конец радиуса-вектора г, лежит иа прямой лвяви, параллельвой главкому вектору. Зяачвт, центральная ось есть прямая, параллельная главному вектору.
Формулы ихой ге =— лз дает возможиость построить одну ее точку, зная К и (ч. Нужно отложить по перпевдикуляру к плоскости, содержащей К и (ч, в ту сторону, откуда врашеиие от К я (ч кажется совершающимся по часовой стрелке (для левой системы коордииат), отреаок дливы Гез1е(ге, И) и Получеивая точка будет одной из точек центральной оси. Так как для точек цеитральиой оси главный момевт лараллевеи главному вектору, то для атил точек главный момент достигает своего минимума.
В самом деле, в 1 б была доказана иввариавтиость (ч.К Е В соз (Ь„В) а следовательио, веизмеииость проекции главного момента па главный вектор. Поэтому величипа главного момеита Сс обратно пропорцвоиальиа соз ($;, К) и, следовательно, достигает своего мииимума тогда, когда соз (Т з, К) достигает своего максимума 1, т. е. когда Вс параллельво К. Разберем еще иесколько задач.
3 а д а ч а бб. Найтв точку лересечевия плоскости (31) и показатели, что главвый момент относительно всякой точки С может быть зычислеи по формуле 1;= 1.,— г,хВ ввктогнъя ллгввгъ Гя. ! п прямой гХЬ В (В Ь= О) (32) вреллелъпой плоскости. Тек квк плоскость перпаядикулярна вектору а„а прямая пареллелъие вектору Ь, то условие параллельности плоскости л прямой есть е. Ь = О, еиечнт у иас а.
Ь ~ О. Состевим двойное векторное проиаведенне ах(гхЬ) = вхВ г (а.Ь) — Ь (г а) = ахВ Раскроек его Решаем относительно г, воспользоввешись давным выражением для та: е«Ь ахн ° — -)-— »Ь аЬ (33) Можно проверить, что это действительно есть решение в притом единственное. но геометрически ато совершенно ясно. 3 а да »а бу.
Найти условие, при котором три плоскоотв г.а = а, ° Ь )), г.с = у а.(Ь хе) = О (35) 3 е д а ч а 68. Нейтв уревпенне плоскости. проводящей черее трв заданные точки М, (г«), М, (г,), М» (г»), предполегая трп вектора г«, г«, т некомпланарными. Допустим, что искомое уравнение еоть е-г = т Тогда, реа точки М, М„ М, лежат в плоскости, мы имеем следующие три уревнепвя! а г« = т, а.г = т, в.г« = т Если векторы г„г«, г«не комплевервы, то эти уревнешгя можно решить по формуле (20): е = я«г» + тг» тг» = т «х ««+ «» х ««+ пх «« г«-(г«х «П параллельны одной прямой. Чтобы плоскость г а = е была параллельна вектору й, необдодкмо в достаточно, чтобы а было перпендикулярно я й.
Если все трв вектора а, Ь и е перпендикулярны к й, то они яомсленарвы, вбо овв есе перепл»льны плоскости, перпекдвкулярной к й. Обретпо, если а, Ь, с комплвкарвы и если плоскость, которой все онв параллельны, перпендикулярна вектору й, то и а, Ь, с перпендикулярны к й, следовательно, плоскости (34) пераллелънм «(.
По»тому искомое условие совладает о условием компленеркости векторов а, Ь, с, т. е. звктоеиыв зъьвививя таи чго искомое ураепевие будет (г,хг, + г„хг, + г,хгз) г г,.(г,хгз) 3 а д а ч а 69. Найтв кратчайшее расстояние мшкду двумя иепараллельвымв прямымв гха А (А а 0) (37) гх Ь В (В.Ь О) Возьмем какую-нибудь точку М, па первов прямой. и пусть ее радиус-вектор есть г„другую точку Мз с радиусом-вектором гз возьмем ва второй првмой.
Тогда гтха А, г хЬ В Умпожим первое уразвевие скалярво ва Ь, второе уразвевие скалярво ва а: (г,ха) ° Ь А*Ь еле г,.(ахЬ) А.Ь (гзх Ь)*а В.а еле гз.(Ьха) В.а Свожим атв ураввсввя (г, — гз). (в х Ь) А- Ь + В.а Обозначим ва ереме ах Ь = с, тогда (г, — г,) с А.Ь + В-а — а.е+ в.а М,М, воз(М,М,, с) = с Следозательво, проекция МзМд ва вапразлевие векторе с постоявва, А значит М,М, будет иметь ваимевьшую длвку тогда, когда М,М, будет совпадать по напразлевию о с вх Ь, т. е. будет общим перпеидикуляром к обеим прямым.
Величина же етого кратчайшего расстояввя есть 1л.ь+ п.а1 И вЂ” -' — й-'— Отсюда сразу получается условие того, чтобы две прямыа (37) пересекалистя А Ь+В.а=О так как тогда кратчайшее расстониие должно развиться вулю. 3 ад е те 70. Возьмем шесть векторов а, Ь. с. й, е, ( и докажем следующее тождество: .а Ьй .й (а (Ьхс)1(о (сх ()1 = а-е Ь.е с.е а.( Ь.( с.( Ввктовнья Алггвввх Гв. 1 Предположим длв простоты векторы а, Ь, с векомплавармыма, тогда можем разложить векторы д, е, г по а», Ь», с» д = (д.а)а» + (д Ь) Ь» + (д с)с» е = (е а)а' + (е Ь) Ь» + (е о)с» Е = ((.а)а» + (х Ь) Ь» + ([.с)о» д а д Ь д.с д (ех $) = е.а е Ь е-с [а».(Ь» х с»)[ ( а (.Ь (*с Но мы докаэалв [формула (22)), что а» (Ь'хс') = — —— 1 е'%х с) Следовательно, ад Ьд од [а (Ьхо)! [д ° (ех $)) = а е Ь.е с е а( ЬГ с[ Если выразить вто тождество через состввлявмцме векторов, то получатся теорема об умножении определителей 3-го порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
