1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Докажем тенерь, что если тело имеет неподвижную точку, около которой опо вращается, то з юзждмя даинмя звмзевж скорость любой точкв тела может быть вычислена по формуле (46), Свяжем с твердым телом некоторую прямоугольную овстему коордннат Окуз, имеющую начало в неподвижной точке. Тогда радяус-вектор точки с координатами х, у, з будет г= х(+у)+з(с (47) Задать двяжеяне твердого тела значит задать движение координатного трведра Охуз. Это можно сделать разлпчнымв способами, например, можно аадеть векторы (, ) и )з, как фувкцнп времени К Каждый вектор нужно аадавать тремя чяслами; таким образом всего надо задать девять функций времеви д ко нз внл только тря можно задать по пропа- аактогпык Ак*лаэ Гэ. !с волу, потому что между векторами 1, 1 и Ь существует шесть эаавсимостей: с ° 1 = 1, Я = 1, (с.(с 1 (48) 1-) - О, 7 й - О.
5.1 = О Так как двиясевие твердого тела, аращааяцегоса около веподавгкиой точки, определяется тремя пеэаэисимымв функциямв времеви, то говорят, что имеэвпее неподвижную точку твердое тело обладает тремя степевяма свободы. Отметав, что между первой формулой (45) а (47), несмотря на ит аиежвее скодстао, сущестаусг огромное раэлвчие. В формуле (45) х, у.
с являются фуикцивмв времеви. в то ерема как 1, ), )с — постоянные орты, значат, в формуле (45) рассматривается движение тсчки, перемещающей. са относительно неподввжной системы коордапат. В формуле же (47) х, у, с постоянаы, а!, ~, й являются фуакцяямв времеви, поэтому здесь рассматряваетса движение точки, неиэмевио сааэанной с осями, перемещающимися в пространстве, т. е. рассматрвааетсв движение точка твердого тела, аращающегоса около качала координат. В следующем параграфе.при вэучевви сткосательпого движения мы рассмотрим общий случай, когда меняться будут п координаты х, у, э и орты с, ), (с. После этого отступления перейдем к вакождеквю скорости точки тала М с радиусом-вектором (47); кс к) ~пс хк7+ У ас+ тес Проекция на ось х будет е„г ° 1 х( —, 1) + у Я с) + с( —, ° (с) Но в силу (48) Поэтому ~~Ь,) + ~аЪ,) Циклической перестакоакой (ааменой х яа у, у па э, э ва х. 1 ва.).
) иа (с, (с на с) поаучимс э„— ф а)э+ Я 1) х с, — ф с) х+(Я.(с)у Поэтому, если обоэаачить к) Мс в„—. 1с, в„—. 1, йс кс и если авеста вектор (50) в(с) = в„)+в,„)+ в й ) э пвгвмаввыв вактоэы. аависщцив от си»лагкого агггмвитэ аэ то будет э» егз е»у с'э = е»х — е з э» е»у еэх (5() ялв з векторной форме т=ехг (46) Формулы (49) поаволвют вычислять проекции вектора угловой скорости ва ося х, у, з, связаввые с твердым телом. Выберем «сподвизспую систему координат Охуз а зададвм векторы °, ф й пх проакциями ва оси Охух, т. е.
девятью косинусами таблицы $4. Так например, проекцвя ) в й суть дь = соэ (у* х) йс, су с в (у, у) = бз, су соз (у, й) = б» Ц =ус )чс ум 4*=уз лй с» яб т с сс ' яс а Поэтому срс яй» яре е= — т+ — т+ — т» щ щ й г Ээ+ хс -.'- У)+ зй Прк дифферевцироваивя арябавится липсвий члея, вредставляющий скорость т точки Ос т=г= — +х „+у — -С- з— щ яс ссс щ Поэтому формула, дающая распределение скоростей рааяичвых точеи твердого тела, будет т т,+ехг (53) яли в координатах э„= е, -~- е„з — е,у ссг эе + е»х — е„з э* = ве + е»у — е'эх (54) Для вычисления ускорение рааличиыз точек твердого тела диффервпцвруем (55): е = — — -).— хг+ их — = е +ехг+ ех(ехг) (55) »т сьсэ»е Иг щ зс щ ас Циклввеская переставовка а, й, с дает е„в е,.
Общий случай движевия твердого тела приводятся к только что рассмотреввому; если обозначить радиус-вектор качала О подвижной системы коордиват отвосптельво зачала О веподвкжной системы координат через Рэ, а радиус-веятор точки тела через г а созраввть обоаяачеиис г для радиуса-вектора точки тела относительно О, то г.п ввктогнып ьпалвз Таким обрааом, ускоренна точек твердого тела состоит из трез частей: ускорения точка О, вращательного усвореввя мхг и осестремительиого ускорения юх(юхг).
Вектор последнего, е одной стороны, перпендвкулярен к м, с другой стороны, лежит в плоскости векторов м в г, откуда и можно заключить о его осестремктевьности. 9. Рассмотрим простейшие вопросы динамики материальной точки. Веитор жт, где и — масса материальной точки, называется количссжссп девзссквл точки.
Запои )тьюжокв говорит, что производная по времени количества движения точки равна действующей на эту точку сале р: влв (56) 'Умножим обе части уравнения (56) векторно на г: гхэы гх Р Преобразуем левую часть этого уравнения, воспольаоваюпись тождеством —,(гХ вп') = гх жг + гх эп = гх шг первый член пропадает в силу коллпнеарпостп г и юг. Поэтому — (г х жг) г х Г е ж (57) Справа стоит момент силы относительно начала координат, слева же производная ст момента количества движения гх жт.
Получили закон комевтов колиюств движения: производная по зрсменв момента количества движения точки относительно точки О равна моменту действующей на точку силы относительно той же точки О. Если сила центральная, т. е. проходит через ностояпвую точку, которую мы возьмем за начало координат, то г будет направлена по г в ту вли другую сторону, тав что г = Ат, поэтому гх р для цеитральвой силы равно 0 и из (57) мы выводим (58) гХг = сопвз = о Найдем геометрическое значение этого равенства.
Прежде всего, умвожая (58) скалпрво ка г, найдем, что с.г = 0 Следователько. движение провсзодит в плоскости, перпендикулярной к вектору о и проходящей через лептр силы, Величина гхй представ- ) з пнРвникпыв ВвптО«ы. ялепспвгпн От скьляРпсгс АРгтнвптл Э( лает паожадь параллелограмма, построенного аа г а аг, т, е. удвоенную пдожадь треугольного' сектора, оаисаниого радиусом-сектором г эа ерема ~й.
Поэтому — ! г х г( нредстаеляет ееличнву ввк«зорка юной скорости, а $ 2 уравнение (58) говорит, что точка авпжется е постонпной алоскоста с иостоипноа секториальпой скоростью, тап ч'го релиус-зектор точка описывает з равные времена равные плошади, почему аатеграл (56) называют тпе иатегрелом сохранения алопшдей. Умвожам, с другой егоровы, основное уравнение (56) скалярпо аа та) = ак тч-ч ш = р аг но т ав в(ч, следовательао т(ч.йт) р.йг замечая далее, что йе - я( ° ) = 2( .ач), получим «ч" а' — „р. в(г (50) Выражение — ' ншв пазмеается живой силой точка.
скалярное же провзеедение. р-аг предстаелаот ашлшн«шрную работу силн р ва перемешеиаа йг. Формула (59) выражает тая называемый ванов ивиной силы е дифференциальной . форме. Приращение живой вили материальной «шеки ва гш вронелгуток времени а2 равно ьвгменашрной рабств еилм, действовавшей ни точку, но «лремвщвнив точки ет ва тот жв нромвттток времени Перепашем, вакоиеп, запои Ньютоне е следуюшев Фее 42 форне: ПРОВНтЕГРИРУЕН ТЕПЕРЬ Обо ЧаСтИ Зтоео РаВЕВСтаа В ПРЕДЕЛаХ От МОМЕВта Вв до момента д тогда получим: Интеграл от силы р по времена, т. е. называг"гся амвульсом силы Г еа промежуток времена г — см Формула (60) выражает закон колячества дважонаа.
геометрнческбе прирашение количества движении точка аа неноторыв промежуток времена равно импульсу силы, действовавшей на говну, за тот же промежуток времени. Фиг. 42 дает геометрическое выражение формулы (60). Ввктогкыи хихлив Гх. Д 3 а д а ч а 71. Докааать, что есле криввзиа равна нулю, то кривая есть прямая.
По услоюпо а О. Ив формулы (37) выводим $ ас — 0 Ь Следовательно, интегрируя, имеем Интегрируя еще раа, получим г аз + с. с соваь А это есть уравнение прямых ланей. 3 с д а та 73. Доканать, что если кручение равно нулю, то кривая есть плоская. По условию — О, Ив формулы (37) выводам г Т вЂ” 'Ь = О Следовательно, Ъ а=секес, а=( Но так как Ь перпендикулярно к е, т.
е. Ь.а = О, то а о=а.— 0 Ф Й Отсюда, интегрируя а.г= ж (г — пб Ь 0 или, так как Ъ аХп, (г — гс) (ох в) О Это можно ааписать в координатах в форме определителя х — с, ж Б ~Рз лгэ =0 А вто есть уравнение плоскости,.в которой в должна лежать кривая. 3 а д а ч а 73. Написать уравнение соприкасающейся плоскости в точке И (ге). Обовначим переменный радиус-вектор точки каоскоств через г; так как соярикасаюжаяся плоскость перпендикулярна к бинормали, то ее уравнение есть 1 е па! вмвнныя вкктогы. аввксюиик от ак»ля! ного ьггъмкнт» ээ 3 е д а ч а 7е. Определить криваэну я кручение винтовой ливии.
Найдем сначала уравнение винтовой ливии. Пусть еннтоваа ливия нанесена на цилиндр радвуса а с осью г в пусть высота каждого витка винта равна 2 ~Й, тогда можно ваять эа уравнеиве винтовой линии г = а соэ 1 ! + а э)н 1 1 + йг )в эелячима яве ее =г»' + ~ ! . - !' ' т!' в ' '; «- где ж = р' ав-)- Лэ Отсюда э = т1 + совэь Мы выберем постоянную равной вулю: в=ли, Теверь вводим вместо ! параметр э: г= асов — 1+сэйл — 5+ — )в в Эв щ !» У» Вычисляем Кв а . в — — в! в! Кв т' т а * .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
