1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Коли радиус-вектор какой-либо другой точки плоскости есть г, то вектор г — г< должен быть перпендикулярен к ах Ь, т. е. должно оыть (г — г,).(а х Ь) = О В декартовых координатах уравнение плоскости оудст ! х — з, у — у, з — з, а„ а„ а, Ь„Ь„ (21) ~ Ь. Ь.а! (22) В частном случае прн <) = а, найдем (а х Ь)-(а х с) = аз (Ь с) — (а Ь) (а с) = (а„Ь, — а,ЬР) (х — з,) + (а,Ь„ — аеЬ,) (У вЂ” У<) + (а~Ь„ — аз[>„) (з — з,) =- <> 3 а д а ч а Ь7.
Вычвслить (а х Ь)-(ох <[). Обозначим иа время ох<[ = е; в векторно-скаляряом произведении (ах Ь).е произведем перестановку (а к Ь).(ох <[) = (а хЬ) е = а.(Ьхе) = а [Ьх(ох <()[ =а [о (Ь.й) — <((Ь с) [ = (а с) (Ь <[) — (а <[) (Ь.с) = пгоизвлдвниа тгкх ввктогов Нз этой формулы легко вывести основную формулу сферической тригонометрии, для чего рассмотрим иа сфере едиввчиого радиуса сферический треугольник АВС, радиусы-векторы верпжв которого относительио иачала координат пусть будут г„гэ, гэ (фиг. 38).
Из формулы (23) пРи а гм Ь = гэ, с г, полУчим: (г,хгз) (г,хг,) = г, гэ — (г,-г,)(г, гэ) (24) Но если обозначить етороиы треугольника черев а, 3, (, то г~'гэ = соз '( гэ'гэ = сое э, гэ'гг сов 3 г, э Вектор г, х гэ, по величиве равиый зйэ ), перпеидикулярев к плоскости ОАВ, точно так же вектор г, хге, по величине равиый ып 9, перпеидвкуляреи к плоскости ОАС. Угол между векторами г, хг, в г,хгэ равен поэтому углу маящу плоскостямв ОАВ и ОАС, т.
е. равен двуграииому углу А, а поэтому (г,хсД (г, хге) з(п 3 юп ) соз А Подставляя все вайдевиые вмражеввя в формулу (24). найцем згп 3 з)в у соз А = сое а — соз 3 соэ у иви, как эту формулу обычно нвюут: соэ а = гам ]) соэ у + зш 3 юв у соз А (25) 3 о д а та Б8. Вычислить (ахЬ)х(схй).
Втот вектор должен лежать как в плоскости векторов а и Ь (вбо ои ~перпекдвкулврев к ахЬ), так и в плоскости векторов с в б; следовательио, ои направлен по ливии пересечевия плоскости векторов а и Ь с плоскостью векторов с в д. Чтобы вычислить его, заменам в формуле (ах Ь)х о Ь (а с) — а (Ь с) вектор с ва ох 4, тогда получим искомую формулу: (а х Ъ) х (с х А) = Ь (а (с х А) 1 — а (Ь (с х д) ! (26) Эта формула дает рааложевие провзоедеивя по векторам а и Ь; во его можио разложить также в по векторам с в ой (эхЬ)х(схй) = — (схб)х(ахЬ) — А(с-(ахЬ]]+ с(б (ахЬ)] (27) Если мы сравяим два пайдеииыл выражеиия для проиаведевия четырех векторов, то получим следующую связь между четырьмя произвольвымв векторами а, Ь, с в д; а(А (Ь х с) ] + Ъ(А (с х а) ! + с(й.
(а х Ь) ] — б (а. (Ь х с) 1 = 0 (28) Гл. ! ввктогная ьлгквг ь Есля а, Ь, с не комплаварвы, то можем решать это уравнение относительно сй 4 (ЬХе) + ! 4.(сХа) + 4 (аХЬ) (29) аЧЬХс) а (ЬХе) а (ЬХе) Эта формула дает з. явной форме рааложение вектора 4 по трем векомпланариым векторам а, Ь и с.
Особенно простой вкд принимает формула (26), если положить д = а (30) (ах Ь)м(ахе) = а [а (ЬхсП Что в этом случае провзседение четырех векторов коалнвеарно с а, кено из того соображения, что пвоскосп векторов а и Ь н векторов а в с'пересекаются очевидно яо а, 3 а д а ч а Ай. Вычислить (Ь х с) ° [(с х а) х (а м Ь)). Прежде всего вычисляем (с х а) х (а х Ь) = (а х Ь) х (а.х с) а [а. (Ь х с)! Поэтому (Ьхс) ° [(сха)х(ам Ь)) = [а.(Ьхс)[[(Ьхс).а[ [а (Ьхс))г (31) 8 а д а ч а 60.
Применить формулу (30) для вывода теоремы синусов сферической тригонометрии. Обрашаемся к обозначениям и чертежу задача 57. Полагая в формуле (30), а = гг. Ь = гм с = г„ найдем (г) М гг) х (гт х гз) г~ [гг ° (гг х гг)) Ь!ы уже выясняли, что величины векторов г, хгм г, хге суть зье у в з!и [), а угол между ними равен А, позтому величина произведения четырех векторов слева равна гбп 9 ыв у з(п А и мы получаем таким абрааом интересную зависимость з[п [) з1в 7 а!и и = [[г~ ° (гт х гз)) [ (32) выражающую объем параллелепвпеда, поотроениого на трех еднничныз векторах, произведением синусов двух сторон сферического треугольника и синуса угла между вами.
Так как зсе равно, какие стороны брать за [), т, мы можем вапвсать мяе две формулы е)п Т з!и а зш В = [ г~ ° (гг х гг) [ з[п а ып р ып С [ г, (г,х г,)[ Сравнивая вти три формулы. найдем з1п йзш уып А з[птзше з1пВ зш аз[п ймпС откуда и выведем теорему синусов деяеиием на вш я з!и 3 зш т: МсА ~В в1вС (33) ею~а зж й ежт ввктотнын ттьзпвкия 6? 3 е д а ч а 6?. Выяснить, что векторно-скалярное проиаведевке трет полярных векторов есть псевдосваляр, а двойное векторное произведевие трез полярнмл векторов тоже есть полярный вектор. 3 а д а ч а 66. Каким вектором р изображается перпендикуляр, опущенный вз качала координат иа прямую (г — гг) ха = О? Ответ: ах(ггхе) р= — „-т— 3 о д а ч а 63.
Найти лвнмю пересечеввя двух плоскостей г.а = а в г.Ь )). Ответ: г х (а х Ь) = ба — еЬ 3 а д а ч а 66. Доказать формулы а х (Ь х (е х г)) 1 = ( Ь. 4) (в х с) — (Ь с) (а х 6) а х ! Ь х (е х д) 1 = 1в-(с х 4) 1Ь вЂ” (а. Ь) (е х й) 3 а д а ч е 66 Доказать формулу (а х Ь) !(с х 6) х (е х !) ) = Ца х Ь) е) 1 ? (е х 4) 1 — 1(а х Ь) ° И !е-(с х 6) ! И 8. Векторные уравнения 1. В силу двойственности понятия об умножение векторов нельзя поставить вопроса о действяи деления векторов в обычном смысле слова.
Приходится заменять зто действие режеввем разлячвых зекторяых уравнений, как например, га=ю вли гха=Ь где г еоть еевзвестный вектор. Рассмотрим з атом параграфе несколько вопросоя теория зекторвыт урвввевий. Мы уже равен при определении действия вмчитавва векторов рассмотрело уравнение г + а = Ь в показали, что его решением явлазтся г = Ь - а Уравнение г.а = яг имеет бесчисленное мяожаР,'гвс решений, так вак оно определяет только составляводую вектора 'г з направлении вектора а, величина которой будет г, иг/о; состнвлвющая же в нэпрввлевви, перпендикулярном к а, остается совершзаво произвольной. Таким образом, если рассматрввать г как радиус вентер некоторой точки М относительно начала каордвват О, то геометрм некое манго концов ввез вевтороз г, удовлетворяющих чт Вхктозн*я Алгвсгл уравневвю (3), будет паоскостью, перпепдакулярвов з вектору а в отстоящей'пт'качала коордяват ва раостоявпв лл/а.
Првчвяа такой' веопределевкоств решения эекторвого уравяевпя (3) заключается в том, что вектор поляоглъю определяется тремя состазляющвмв, а 'уравнение (3) дает только одну алгебраическую заввоямость между атвми тремя составл язопщмв аал + а„у -1- й,з = ш где л, у, з — -составляющие вектора г. 2. Полвостью сектор г может бмть опредзлсн вз системы двух секторных уравнений, дающих скалярное я зектсрпое провзведепве г ва в: та= т, гха Ь (5) г з 1 г = --; а+ —, а х (г ха) Подставляя сюда данные аыражепвн г.а э гха, найдем едяпствеявое решение системы (5), в виде лае зХ Ь г ч-+— а л" (проверка показывает, что это г действительно удовлетворяет свстеме).
Такая определенность решеппя получилась благодаря тому, что система (5] равносильна трам алгебраическпм уразневиям, служащим для определспвя трех ссставляюплих вектора г: а„к + а„у + а,з = сз ау — с з=Ь, — а„х -ь а„з = Ь„ (7) а х — аау =Ь, (Из трех последних уразвйввй этой скстеыы одно является слздст- зясы двух других, в чем легко убедвтьсв, умножал вх соответстнсвяо яа а„, а„, а„ складыэая результаты к првввмая но внимание соотяо- жепяг з Ь а„Ь» + й Ьз + а,Ь, = 0.) Таким образом решевио трех ляяе(шых уравяеввй смстсмы (7) вать айл л„э — а Ь„ йй" + йл + йлл йй + й й + йлз а܄— а Ь + лла (8) й. +й +й ай+ й„* 1- а л лла, «„Ь„ — а„Ь„ а +л„л+л,з а " + а„» + а где, ковечво, Ь должка быть перпевдякуляряс к а. Для решения зтоя системы пркмевям формулу (18) $7.
дающую разложение вектора г па две составляэяаве, вз которых одва параллельна, э другая перпэвдккуларва и а: впктогыыв углвпвиия Если мы хотим найти общее решение уравпевия (3) га=т (3) то дошкпы считать Ь провавольиым (мы можем в деппом случае отбросить условие Ь.а = О, так как в Ьха параллельиав а составляющая вектора Ь асс равво пропадает), так что общее решевее уравнения (3) можно вапвсать в епде «»е г = — -)- вхВ «» (9) где  — произвольный вектор. Если же мы ищем решеиие ураввевия гхв= Ь (Ь а=О) (10) то должны считать ж ароиавольвым, так гго, вводя вместо г провееольпый параметр р, будем иметь «ха г= —, -)- ра «» Очевидно, сто еоть уравневпе прямой, параллельной вектору а. 3. Поставим теперь аадачу решить систему уравпеиаи: та=« г.Ь= 3 (12) гс.=- г где а, Ь и с обраэуют систему трех векомплаиарвых векторов, необхо- димым и достаточным условием чего является а.(Ьхс)+ О (13) г.а 1 г Ь=О гс=б (14) Дса последвих уравнения укаеыеают ие перпепдвкулврпость г как к Ь, так и к с, следовательио, ва параллельность г вектору Ьхс.
так г — т (Ьхс) где»к — подлежащий определению скаляр, который мох«во найти вэ первого уравиеввя системы (14) ж(в.(Ьхс)) 1 Геометрическое звачеиие решсиия этой системы легко выпевать, если считать г радиусом-вектором пекоторой точки отвосвтельио начала коордипат. Тогда кодек г должев лежать в трех плоскостях, определяемых кап»дым ие уравнений системы. так что аадача сеодитоя к вахождеввю точка пересечения трех плоскостей Мы качкам с решения более простой системы, а вмеино ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Го. < Отсюда 1 о (Ьхо) Такам образом решение свстемы (14) ость Ьхо а*(Ьхо) Обоавачвм зтот сектор через ао. Точно так вш можно вайтв рошевве двух другах састем, а именно: го=О, та=О г.Ь 1, г.Ь= О го=О, гс 1 (16) и зкдо векторое Ь* в со оха о ахь о <Ьхо) ' о <Ь хо) Трв вектора а', Ь' в с" Ьхо а о (Ьхо) Ь вЂ” — -Ь вЂ” —, со =— сха охЬ а*<йхо) ' о <Ьхо) лазывамтся взаимными с а, Ь и с векторами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
