1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Доказательство формулы (26) соверюевно такое же, как для скалярных функций, почему мы ва нем не остаяавлнваемся. Впрочем, можно сразу доказать формулу (26), напвсав ее дла Ь, Ь,„Ь„умяожкв яа Ь ), Ь н сложив. 6. Дадим теперь несколько прнложеквй дифференциального ксчнсленпя векторов. Пусть точка М с радиусом-вектором г описывает яекоторую кривую в пространстве (фнг. 41). Будем определять положепве на кривой всякой точкк М длвной дуги з, отсчитмваемой от некоторой определенной точки А до точки М н счвтаемой половогзчльяой в одну сторону от точки А и отрицательной в другую. Также образом г рассматривается нанн как функция скалярного аргумента 3. Й лч Выясним геометрическое значевве — к — г. лэ ю Рассматрвваемав кривая является, очеввлио, годографом радиуса- Ыг вектора г поэтому направленно — совпадает с направленном касатель! ж ег ной к кривой а сторону возрастания дуги а Велпчпна вю — равна едя- лэ кипе, потому что 2,-.
есть предел отпошеиия — жаяичкне же ) — ~, ка Ьа 1 Ьг Ва ! Ва раввая отиошевию малой хорды в соопвтстауюшей дуге. прибяшкается к едвиппе при стремкеивв Ьа к вуяю. Итак.,— есть едивичаый вектор. ш ш ваправиевиый по касательной к кривой в точке М в сторону воарастаюшего аргумента а в(ы будем обоаначать едивичвый каоатеаьиый вектор чарва с: (27) Компонентами единичного вектора о, очеввдио являются косинусы углов, лбраауемхах ям с осямя координат: с сов (о, я) — . е„ сос (а. В) яа ат с, сое (о, х) а- яа (аа)а + (яв)а + ( ла )' (23) Вычислим я'а ао ааа '2а Так как с есть едипвчвый вектор, то к иену полностью прямевямо рассуиохевве пуиктэ В-б, в котором мы доякавхл положять а а, а, = а. Поатому, — есть вектор перпеицакупяриыв к с в по величие равный !)ш —, яс ВЕ аа Аа ' где Фр оавачает угон между двумя соседиими едвпичвымя яасательиыми векторами а и с + Ье, яааываемый углом смежности.
Предел отпопюпия угла смежности к элементу дуга Ьа вааывается к рп в в е в о й к р к в о й в давкой точке в обовиачается так: !(ш— ьт 1 л, аа и (29) Дяя прямой авпвп. очевпдво, криеяапа равна нулю так что крввялва есть пекоторая мера откяоаепмя кривой от прямой. Дия окружкоста радиуса Й. очевадио Ьа ггбп в крввааиа постоянва в раеаа — . Ю Величава ах, обратвая кривизне правой, казываатоя р а д а у с о м к р я в в я и ы к р в в о й е рассматриваемой точке Разберемся е вопросе о направление век~ора 2- ПредеаькоепояожеЫс виа пкоскостя. проходяшей черве касательную в оарадледьаой сосаапей касательной, иаеываетсн со п р я к а с в ю ш е й с я о я ос к о от ь ю. Так как вектор бс равный раепостя векторов с + 6с а с лежит как рав в плоскости, проходяшей червя касательную а оараяаеаьвой соседней касательной, то со ш !ип — =— Ла Са будет аежать в соприкасаюшейся паосаоста.
Ва р в пкгвмкпныв винтоты. алвиоишив от окллягного атгтмкита Вс Гл. и зкнтогпып Аиллкз С другой стороны, мы виделв, что вектор — перпеядикулярен к каее щ сательной з точке Вз. Прямые, проходящие через точку М з перпендикулярвь»е к касательной в етой точке, называются н о р и а л я м и к к р в с о й, а плоскость, вх содеря»ащая и, очевидно, перпендикулярная к касательной, называется во р к алькой плоскостью к кривой з точке М. Та нормаль к кривой, которая лежит в соприкасающейся плоскости, называется г л аз но й но р м ал ь ю.
Из сказаня»г 4е 1 ного выше следует, что вектор — = — имеет величину — и направлен 4$ Й\ я по главной нормали, очевидно, в сторону вогнутости кривой. Введем, аналогично едияюпюму касательному вектору е, единичный вектор в, каправлевныв по главной поркала в ту же сторону, как и —, ле 4» ' тогда 1 лч»»г я» л»» ' л»» (30) я=1, Последняя формула, даяяпая»т, получается скалярным умноженвем обоих членов формулы (30) самих на себя. В компонентах мы будем иметь; (31) Та нормаль к кривой, которая перпевдиктлярна к соприкасающейся плоскости, называется б в в о р м а л ь ю.
Введем третий единичный вектор Ь, направленный по бинормали в такую сторону, чтобы с, з в Ь образовали систему того же рода, какая обрааована осями х, у, х. Тогда Ь= , Ь=1 Найдем компоненты единичного бинормального вектора: (33) ь, =л( — —,„; — — „—,„) лз л»в ыт л»» Изученве изменения направления едиюгчиого касательного вектора привело нас к понятию кривизны кривой.
Рассмотрение кзмеиевия направления соприкасающейся плоскости илн, что то же, бинормалв приве водит к понятию к р у ч е я и я кривой. Итак, авалогвчно — составим ю зв Ы» — Так как Ь вЂ” единичный вектор, т. е. Ь Ь = 1, то Ь вЂ” = О, твк »ь щ Э 9 ПВРВНВННЫВ ВВК'ГОРЫ. ЯАВИСЯШНВ ОЧ' СКАЛЯРНОГО *РГУМПНГА ЭЭ АЬ что — перпеядякулярио к Ь: с другой стороны, непосредотвеипое еыяй чвсление дает: АЬ и(ехе) ие ие яй ия ая хп -(-ех— ия Но первая скобка пропадает, так как — — в векторное пропэведеие е ия и яве двух коллппеарных венторов равно нулю, поэтому: иЬ ла ия дя — = ех— (34) Отс$ода следует. что — перпеидякулярно танже п к е.
Поэтому АЬ Ля ия ия коллинеарио с п, так что мы можем написать иЬ а ея Т (35) 1 Величина Т вааывается радиусам Вручения кривой э точке М. и)ЛТмиием «ривой яак как Ь вЂ” едпнвчпый вектор, то по пункту 4-5 где бф есть угол между двумя соседнима бянормалями Если кривая нлоскае, то бкпормаль пе меняет своего направлеюэя, так что для пляь сков кривой кручекпе равно вулю; аиачпт, кручение нвлястсн мерой отклопеппя крввой ст плоской крпвой. Выведем, наконеп, в дополнение к формулам (30) и (35). характереауеяпям вэмеяепие е в Ъ, еще апалогячвую формулу для и, лля чего ЭЫЧВСЛВМ ив и(Ь х е) я(Ь йя ля ия = — хс -е Ьх — = — — хэ + Ьх — = — — — (36) ие э, а Ь о ия Т Я Т Н при п(яеобрааовапки пришлось аоспольаоваться формулами Ьхп = — е ВХВ = — Ь, ив о Ь вЂ” = — — +— й и т' (37) эти формулы паэываются формулами Фрэне. вытекающими яэ того, что е и я Ь представляют систему трех единичных, вэаимно перпендикулярных секторов, идущих е том же порядке, как осп в.
у, э. Соберем вместе формулы (30), (35) в (36): йг а яй В г. и ва~говиык Аиализ 86 Вылепим еюе вопрос о еычвслепиа Г в сто злаке. Сравалвая фориулы (34) и (35), вайдам е Лс — = — хс T ю Умножив скалярно аа в я вереставим в аолучивюемся векторио.скалярном проквведеввв яоридов яровзведеиий — а.) — хе) е (ах — 1 Но е = —, далее по формуле (30) а = (7-~, следовательяо ю лт Ие ' лгг Ыя ач () И + 3Г 3Р ах — = г)~и х (г)-Р Ч- — ф = Н")9-., х —,е) Зивчвт, получаем оиокчательиую формулу ю.
16' х Ф'е~ (33) Эта формула покааывает, что Т является ссендоскаляром, т. е, мвиявт свой зяак ири переходе от левай саствмм в правой. Это получаеюя потому, чге н выражеаве дла Т входит векторяое произведение двуз аоляриыл векторов, т. е. аксиальпый вектор, который восле сквляраого умножение иа поляриый вектор даат псседоскаляр.
Ниже, в задаче 74, будет показаио, что лееыа вивт имеет в левой систеью положительное кручение, а правые — отрвдатеаьвое. Это оправдывает выбор сивка в формуле (35). 7. Рассмотрвм теперь двв:каппе материальной точна, заданное укаааавем ев радиуса-вектора для всякого момеита врвмеяа и (39) г = г(Г) Годограф радиуса-вектора т арвдставляет. очевидно.
траекторию точки. Мм уню определили выюе скорость т в ускореаие е точки: т г, и г=т (40) ю ч = г = — т = та гв кт (41) Мы можем опредвлять движекя~ точки, задавая пройдевяую точной дугу э в фуикпия времене Тогда г будет сложной фувяпией г через посредство а поэтому 4 э пвзвмвпныв звктозы, аависяшив от ск*лягного аггтмввта бт Таким образом, вектор скорости направлен по касательной к траектория. а величина скоростн э=в — 3 щ (42) равна производной пути по времеви. Точно так же вычисляем ко н = т — 2 — —— ее+ зе = эе +з — з = зе + и — з = за б )) в Х (зе) з) щ я Полученная формула е = за -Ф- я в (48) предотавляет раэложенве ускорения на два слагаеммз: касательное ускорение, направленное по касательной к траевторяп в численно равное о, зз я нормальное ускоренна велячивы —, направленное по глазной нор- В' наля.
Поэтому величина полного ускоренна есть (е( ю р' аз+в Ф Л" Если г (г) аадано свокмв коордянатамв х (з), у (г), з (с), то ны будем иметь: г х!+у)+ай т = з = х( + у) + з)с е г х(+у) + з)г 8. В $6 мы рассмотрели вращевке твердого тела около осв п показали, что скорость любой точки твердого тела может быть предетавлепа формулой т=ехг (46) где е — вектор угловой скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
