1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 17
Текст из файла (страница 17)
в 1+ — соэ — 1 + — й а в . а . в — — сев — ! — — ма — ! тв т г»в т а . в . а в — э! а — ! — Сов — 1 «ав»! щв щ Наконец, определаем 77 в Т: 1 К~в И~в Фв Г в в в в т ав дв квв' кв щв 1 щ»в) щв 1 !в а В щв »в+ Ь* Кв Квв эв в в! Ы к«в' к «! ~ !» — х = -ъ1ссев — + э)в — 1)в = — й »в1 тв К вЂ” '11!в Х Я,в) э«э тв Ь т' Квв К ° ав — щч ов+Ьв !ьв км В свмом деле, е 11 соэ 1 + 1 э1п С) Представлает вектор длины а, лея!ажвй а плоскости хр п составляюжпй с осью х угол 8,' вектор же /П К параллелен осн с и тоже пропорционален с, поэтому прп раэвертываянн боковой поверхности цилпцяра в плоскость каждой абсцассе ог будет отвечать ордяната )н, так что мы получим прямую ливию с углом наь клона эхо Ьп —.
Это есть утоп подъема авета. Прежде всего мм должны ввести в качестве яеэааясямой переменной длину дуги з. Еслв мм будем рассматривать параметр 1, как время, то скорость точка будет г = — а юв 6 + э соэ 1) 4- Ив евктогныв *н»лвэ Таким обраеом, арпвпана в кручение вантовой ливан постоянны. Кроме того. при полакительвои Ь у вас получилась положитаяьвое круювие.
Но пра положительном Ь в лавой системе координат иы вмеем левую винтовую ливню. Такам обраеои, при левой системе координат левее винтовая линия имеет полоящтельксе вручение, е правой же светике координат положвтельвым кручевием будет обладать правее винтовки линка. 3 е ба ч а 76 )(овевать, что если ваять блнекую в точке М» точку кривой М, отстоящую от М» на бесконечно малом расстояияе Ьк то расстояния точка М от нормальной,спрамляющей в сопрккасающейся плоскооп»й к кривой в то»пю М» будут соответственно порядпа Ье, Ьзс, Ьз». Пра етом спрамлкюшей плоскостью вавывается плоскость, перпендикулярная в главной поркала, т. е. проводящая черен а а Ь.
))ля докааетапьства рааложвм радиус-вектор точка в ряд Тейлора» Е»» ) яе 1 ея ~ ~ о ь) ) ен (пс формул~ (37) для ~-)) следовательно, як г — г = е Ьа + ~в Ь ' + — ( — и- -» я-р, — в ~ Ь»я 4- 1 »» Заметим теперь, что расстоянае точка М до аормальаой плоскоств равно проекпив»д»Р = г — щ ве касательную, т. е. равно (г — г») е» = (а» а»)Ьз +... Ье + .. расстоявие ко спрямляющей пвоскоств равно проекпкв М»М ва главную вориаль: (г ге) в»=~~(п»ое)Ье +... у — Ь»+ ° ! 1 д» Нак кая чаев (е».а,) Ь» = О пропадает(. Наковец, расстояние до сопракасающейсв плоскости равно проекпвв ест»Ми' аа бивормаль (г — » ).Ь» — Ье' +, . яя т, так кав остальные члены раеложевиа, е салу равенств е».
ое О в е,.Ь» О, пропадают. Задаче Уб. Найтв выраяюнвя для т-,!а.(Ьхс)). Отвею — (Ь х с) т а. (~~ х е) т а-(Ь х З~) ь Э пкгкмвннык вввтогы, аьвпсяшив от скьпкгного ьвгтивнть эа 3 а д а ч а 77. Найти выражение для — [а х (Ъ хе)!. И Ответ: —, х (Ъ хо) + а х ( —, х с) + а х (Ь х т() 3 а д а ч а 78. Точка движется по вантовой пикин с постоянной скороотью э, найти ее ускорение. Так как э сопаы то касательное ускорение равно нулю; остается ьь одно нормальное ускорение —, и так как по эадаче 74 В ' 1 с л о~-~- га то 3 а д а ч а 79.
Точка кассы ж движется под действием притягивающей сиам — аг. Найти движение. Составляем уравнение движеэия еч ж — — аг, или юг+ иг 0 шв Это линейное однородное уравнение можно решать шм же приемом, как к скалярное. А именно, чтобы кэбежать мнимостей, ищем решение в тркгонометрвчес кой форме: г= Аягв йг, — М сдм/а, — г= — АэАя1п И ьг лм ш ш Получаем для определения й уравнение: ( — жАэ + а) А вш ьГ = О, — «йэ + е 0 Отсюда Таким обраэом Ая!и (1/ — г) есть решение уравнения. Так же найдем, что и В (К вЂ” г) является решением уравнения, где А и  — произвольные постоянные векторы.
Поэтому общее решение уравнения будет г = А ып (~г' —" г) + В соа ~1/ — г) Ввктагвын аналиэ Гл. !1 Векторы А в В нужно опредсяить иэ вачальпых условий, для чего вычвслвм сначала т: т = г А )>/ — соэ ()/ — с) — В 6>/ — ыв (~с/ — с) Положвм теперь с = О> ,=в та=А)/ —, А=ус/ — тв Сяедовательно, г = т)с/ — „т„а!в ()/ — С) + г саэ(~/ — "С) (61) В общем случае, когда г, е т, ве коллвкеарны, это есть уравнение энлвпса, потому что, если авеста косоугольные координаты, ось я которых направлена по направлению га, а ась у по направлению т,, то уравнение траектарвв в декартовых координатах найдется есключенвем С ва уравнений> Векторы г в т дают эо всякий момент времена направления сопря>конных диаметров эллипса (61), вбо вектор т параллелен касатехьвой к энввпсу в конов радиуса-вектора г, а дааметр, сопряженный с г, как раэ параллелен этой касательной.
Чтобы найти аелвчвну сопряженного о г диаметра, эаметвм, что моменту отвечает раднус-вектор п=г( + — ", ~/") = Ае)в()Г' — "с+ф ~ В. ()/„-" +,,")- = Аваев/а С) — Вэ!в(~с/ —" С) (62) Поэтому =~'- ( -~'-) так что раднус-вектор (62) имеет кав раэ накравлевне т, а значит, это в есть сопряженный а г полудваметр как во величине, так в во ваправлевв>о. Докавюм два свойства сопряженных диаметров. 1.
Сумма квадратов двух сопряженных волудваметров вать эевнчнна оостояввая, т. е. ве зависит от того, какую нмеяно пару сопряженных волуднаметров мы вэяян. ! 9 ПКРвнвппыв ВкктОРы. ВАВисвжкк От скАляРЯОГО Аггумвкть Ф7 В самом деле гз г.г (А А) зСО'~)/à — С) + 2 (А,В) е(д ~ ф/ — С) соз ~ $/ — С) + (В- В) сов* (ф/ — С) Г г = г, г = (А.А) сам~ ( $7 —, С)— 2(А.В)зСО (~/à — С) сев(~/ — С) + (В В! зСО ф — С) Складывая, получим гз + Г,з = А-А + В В = соса! 2. Плопхадь параллелограмма, построенного на двух сопряженных диаметрах, есть велнчкна постовнная. Эта теорема является следствием ПОСтОЯНСтВа ГХГхС гхгс = =[Аз(п ~~Г~ с) + Всоз~ф — с)(х[А сов( 1/ — с) — ВЯСО ~1/ — с)(= = (В х А) (соз' ~ фг — с) + з! и' ~ ~ с )) = В х А = сопзс 3 а д а ч а 80. Показать, что если а(с) х — = О, то а,= совем оо сл 3 а д а ч а 81.
Дано, что радиус-вектор точки есть г (с) = Г (соз Ф! + + Мп Фр, где Г н Ф ОУть функЦии времени С; найти проЕКцпп С, и с„ скорости г на направление радиуса в направление, перпендикулярное к нему. Найтв проекции и:,и ю„ ускоровия ю на те же направления. Ответ: с'г= ' оо = "Р. вг=' — 'Ф во= 'Ф+ 2'"Ф 3 а д а ч а 82. Точка движется равномерно со скоростью г по кругу радиуса Г с центром в начале коордккат; показать, что ускорение точки есть ггг 3 а д а ч а 88. Показать, что формулы Френе (37) могут быть получены вз обпсей формулы ло — = вха ог если в последней последовательно заменять а на в, и, Ь. Найти вектор в. Ответ: о Ь м= — +— Т И 7 Н.
К. Коса звктогпыв ьпзлнз Гз. !1 3 а д а ч а 84. Пусть твердое тело вращается около неподвижной точки О, так что единичные векторы 1, ~, )г, направленные по осям координатного триздра Охуз, связанного неизменно с твердым телом, язляютсв функциями времеви а Доказать равенство ф 1О. Дифференцирование вектора, отвесевнего в подвижной ввозима ююрдиват 1. В мехавике, особенно в двнампке твердого тела, часто приходится встречаться с дифференцированием вектора, заданного по отношению к подвижной системе коордяиат, чаще всего сввааниой неиамевио с движущимся твердым телом. Правила такого дифференцирование мы сейчас и рассмотрим.
В предыдущем параграфе мы рассмотрели движение точки, в е и змеино связанной с подвижной системой, и нашли, что ее скорость в ускорение выражаются формуламп ч тс+мкг, зг = м +мхг+ мХ(мхг) Теперь мы предположим, что точка М движется относительно подвижной координатной системы так, что, если едипвчные орты подвижной свстемы координат обозначить через 1, ь )г.
ее начало — через О, то вектор дМ г будет иметь в подвижной системе коордвнаты х(!), р (Г), з (Г), являющиеся фулкциями времени: (2) г х( + у) -~- з)г г — го+ г ге+ х)+У)+ з)г вбо в треугольнике ООМ сторона ОМ есть вектор г, стороны ОО и ОМ— векторы ге и г. А б с о л ю т в а я с к о р о с т ь точки М, которую мы будем обозначать через т„получается, кая обычно, дифференцированием радиуса- вектора г относительно неподвижной точки д по времени: т, — = — +х — +у — + з — + — 1+ — 1+ — (г лгг ш г) гз гз . зг ° й ю ж ж ж ж ж й (4) Но так как система подвижная, то единичные орты 1, 1, Ы сами будут функциями времени, как бмло выяснено з $ 9. Введем еще неподвижную точку О и обоаначпм через ге — радиус вектор точка О относительно О и через г — радиус-вектор точки М относительно точки О.
Тогда, очевидно, будет диФФвгвнцвгсплинз ВектОРА Если бы к, у, з были постоянными, мы получили бы скорость ч, = а)-+ к е, + у-Д-+ с —, вив вд я' еа тачки, неизменна свяазвной с подвижной системой координат, почему ага часть абсолютной скорости называется и е р е н о с н о й с н ар о с т ь ю движения точки и обозначается через ч,. В предыдушелв параграфе мы наюли для нее следующее выражение: ч, ча+ мхг где ч — абсолютная скорость начала 0 подвижной сястомы, м — вектор мгвааеннай угловой скороств подвижной системы координат.
Вызовам теперь значение трех последних членов формулы (4). Рассмотрим полажевве подвижной системы в момент д Отыетнм, кроме точки М, аще ту точку М', сзвааниую с подвижной светской, в которой будет находвться точка М а момент с -1- Ы, тогда вектор ЯвМ' представит, очевидно, вектор относительного перемещения точна М, а ММ' 11ю— ав а ал будет. вектором относительной скорости точи и М.
Мм будем его обоавачать чарва ч„. Так кап ММ' Дк) + иув + бзк то Постону формула (4) приводит в теореме: вектор обсоаотноб скорости точки равен суемве векторов переноской и опвноснталлноя скорости (8) Ча ввв + лв Если начало подвижной системы координат 0 совпадает о О, то г=г, ч =О, 'ав = их г и мы получаем формулу ч,= г = ч„+ мхг Отсюда (40) ч„= г — ихг 2. Возьмем теперь любой вектор а (г). Отложим его ат начала 0 подвижной системы координат, которое мы предположим совпадающим с О, и будем рассматривать конец аеятора а кав движущуюся точку. Тогда относительную скорость конца вектора а можно назвать относительной производной вектора а; обозначая ее в отличие от абсолютной Вввгсгныи Акэлиэ Га. 11 производной — через — найдем кмеющую очень сажное значение оо жо ж ж формулу я'а яа Ыо жо а1 Ы1 =- — — вха или — = — + вха Ы1 ж (11) Если проекции вектора а на подвижные орты 1, 2 я обозначить через а„, а, а„то относительная производная будет яметь компоненты Нв а„, о„, поэтому мы получаем следующую систему трех скалярных уравнений: ()- * Ыэ1 — ) = я, + в а, — в,о„ М ()- ОО1 — = аз+в,а — в„а, Яз l ( ).— оа1 — ) =я,+в„о„— ва Яз/, о (12) Выведем, наконец, формулу, дающую связь между абсолютимм в относительным ускоревием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
