1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 21
Текст из файла (страница 21)
что если р— о дно е на ч не я ф у в к ц и я (дальпзе мы дадим првмор многогвачвой функцвв), т о а н а ч в н и в л я н е й в о г о я н т е г р а л а ягабв нв хаписат от путв кнтвгркрованяя, а только от кояечных точек пути. В частности, интегралл по вамквутой пряной будет равен нулю, ибо конечная в начальная точки пути здесь совпадают. Последнее свойство характерно для потенциального еезггора. ибо справедлива в обратяав теорема: Если ликвйнмй инкикрал вектора а вдоль всякой ва.ккнугкой кривой равен нуво, вектор а вать градиент некоторого гкаллра вз, Сначала докажем, что линейный интеграл вектора а, ввятый по некоторому пути от неподвижной точки Мв (г ) до какой-нибудь точки М (з), яе вависит от выбора пути. В самом деле.
пусть г, в Ь' — двв пути, соединяющие М с М. Обраауем вамкнутый контур, состоящий ив кривой г. н кривой (', пробвгавмой от точкв М к точке М; в силу условия имеем а г(г+~ а ах=О пз вь) ввктогяыв АнАлиз Гэ, П Но очевидно, что а.й = — ~ в.ог у або прн перемене ваправленвя на кривой Е' все элементы аЪ меняют свой знак. Поэтому с с а.й'= ~ а Ыг , по юо (22) Раэ ннтеграл не вавнсвт ог кривой, его значение есть функция г (ведь ге иы считаем постоянным); обозначим ее через р (г); ~ а.Ыг = ~р (г) (23) Возьмем соседнюю с М точку М' (г + ог) в пусть Ьг — длина ММ', в — едвнвчпый вектор, идущей в направления ММ'. Рассмотрим путь М,ММ', проходящий через точку М. Тогда мы будем иметь р (М') — <р (М) = ~ а г(г — ~ а-й. = ~ а Ыг й'= вви, в-й = а,(Р) г(п Следовательно, а Нг = ') а, (Р) я'а мм.
е По теореме о среднем зто выраженно будет равно а аг = а, (Р') оз где Р' — некоторая точка отрезка ММ', Итак, е (вг') 9 (хг) (р ) Ьг Переходя к пределу прп оз О, получки — = о,(М) де Вектор а, как всегда, предполагаем непрерывной функцией точки). Полученное условяе, по самому определению бгаб й, выражает, что а = йгаб (г что я требовалось доказать.
Но сслн путь ММ' взять прямолинейным, переменную точку етого пути обозначить через Р, а расстояние этой точки до точки М обозначать через и, то мы будем иметь ва ММ' ГРАПИВНТ. ВГО СВОЙСТВА $ ээ Более просто то же самое можно получить, беря элементарное приращение обеих частей равенства (23) ва бесконечно малом перемещении*: а.дг Йр Отсюда, согласно ($2), следует, что а = ягаб в 4. Примером потенциального вектора является к О н с е р а а т а в- и а я с и л а, которая характервэуется тем, что работа, совершаемая ею при переходе материальной частицы, ва которую она действует, нэ одного положевиа в другое, эависит только от начальной и конечной точек пути перахода.
Поатому консервативная сила Г является градиентом некоторой фуякпив 11; Г = йгад Ю 1( яаэыаается с в л о в о й ф у в к п и е й, — 0 — п о т е н ц и а л ьяой энергией, али потенциалом. Совершенная на веко- тором путя, соединяющем точки Ме (гэ) а М, (г,), рабата А определяезся формулой А = ~ Г.6г = 0 (ТД вЂ” б (гэ) (24) т, е. работа, совершенная консервативной силой, равна уаеличещпо силовой функции или, что то же, уменьшешпо потеипяала.
В частяости рабата консервативной силы ва эамннутом пути всегда равна нулю Пусть материальная точка двинвтси под действием колсерэатяэной силы. Иэ авиона живых сил (формула (39) т 9) имеем Ы вЂ”,~ = Г.с(г В этом случае найдем Следовательно, Г = — ~г т р) 'Таким обраэом, сумма кииетичесной энергив фтээ и потенциальной энергии — П во все время движении сохраняет свое значение. 3 а д а ч а 101. Покааать, что если сила à — центральная, т. е, направлена к неподвижной точке О и зависит только от расстояния г до этой точки, то ова имеет потенциал. По условию Ввнтоэныв анализ Гз. 11 Составам работу этой свлм вдоль крввой Ь, соедмкяющей точка .(.) ° йу() ~ ~ — г Иг Но, как узза упомвналось ранее, г.аг г Йт Поэтому длв работы свлы Р получаем зыражевве ~ ф (г) аг = Ф (г) — Ф (т~ Следовательно, здесь Р = ягад— э г ф(г) = — —, Ф(г) = —, а $ м г 3 а д а ч а 102.
Показать, что если сила Р з каждой точке направлена по нерпендвкуляру к некоторой прямой (например осв з) в заввсвт только от расстоянвя р до этой прямой, то она имеет потевцнал; найти последвнй. Ответ. Еслв Р = — ~р, где р = х(+у) т(И з то Р = — йтаб Ф, где Ф = — (ф (о) Ыр Полезным прнменеввем полученных результатов является также отысканке функцпк ф по ее полному двфференцвзлу. Допусткм, что мы внаем, что зыражзвве йр = а„(з:, у, г) ах + а„(х, у, ф бу + а, (х, у, г) аз является полным двфференцвааом. Тогда для отыскання функции ф мы можем воспользоватьск тем, что путь внтегрнрованвя можно брать ло лрояззову.
Чаще всего удобным оказывается такой путь ннтегрврованвн. Сначала вдем вз точкв М„(х„уе, з„) параллельно осв х до точки М1 (х, уе зе), на этом пути Ыу = бз = 0 в поэтому а Ыг=~а„(х,уе зе)бх м, и если Ф' (г) = ф (г); так как это выраженве ве ааввсвт от пути внтегрвроваввя, а только от конечных точек пути внтегрвроваввн, то скла Р вмеет потенцнал, н првтом равный — Ф (г). Напрнмер, вели везть цевтрагп,вую силу Р, обратно пропорциональную квадрату расставляя до точки О, то будем вметь ГРАПКВНТ.
ВГО СВОЙСТВА $12 121 Ватам вдем из точки М, (х, у„з ) параллеаьно оси д до точки Мз (х, у, зэ), на этом пути Ых = Из = О, и поэтому м~ а ° яг ~ а„(х,у, з)Ыу Наконец, из точки М, (х, у, з,) идем параллельно оси з до гочки М (х, у, з); на этом пути з(х = Иу = О, и поэтому я А ~ а ° 1(г ~ аз(х, у, з) ~(з В результате, ндн по пути М М,МАМ, мы приходим к следуюшлму вьгражению для Фуз'кзпзв йт т(х у з) т(х у гч)+ +~ а„(х,у, з,)з(х+)аз(х,у, з)1(у+~ а,(х,у, з)~(з (25) В качвствэ првмера найдем р по полному дифференциалу 1йр (2ху + з') 1(х + (2уз + х') з(у + (2 зх + у') 1(з Полагая х, у, з * О, сразу найдем ~р(х, у, з) = )хзЫу+ )(2зх+ уз) й+ С = хзу+ ззх+ у'з+ С е з Поэтому дв дэ АА + вЗ' з' дт э дт — =О ав= +т" а.= Заставим точку обойти ось з, двигаясь все время е положитэльном направлении, В вэрнуться в иеходнов положение; угол ~р будэт аепрзрывно увелвчнватьсв в при полном обходе увеличится ва 2и; таким образом, лияейный интзграл вектора ягаб р по всякой замкнутой кривой, обходящей ось з один раз В пОЛожвтюльноМ Нанравлевив, Равен 2я, а не нулю.
Причина этого заключаэтся в многоанвчноств фувкцив р, причзм ось з являетсв особенной линивй дпя функции 1р, так как прв приблв- 5. Теорема о том, что линвйвый интеграл градиента ~р по замкнутому контуру равен нулю, была нами выведена в предположении, что скаляр ~р аадан Однозначным образом. Если ~р будет многозначной функцией, этз теорема перестает быть всрной, Разъясним на примере, в чем тут дело. Зададим <р следузвцнм обрааом: во всякой нолуплоскости, проходящей через ось з, наш скаляр вмсзт постоянное значение, равное углу, составленному рассматриваемой полуплоскостью с яолуплоскостью ВОВ.
Определяя р, как фувкзщю х, у, з, получим1 <р = агс зй— У з Ввктогнын лиелнз женив точки к оси з значение функции >р остаетсз веопределеиным. Чтобы сделать поле фуякпии >р непрерывным, мы должны выделить ось з, окружив ее цилиндром малого радвуса. Но получающееся таким образом пространство уже не будет о д я о с в я з в ы и; ово будет д з усзяаяым. Односвязвым нааывается такое простраяство, в котором любая замкнутая лвяия может быть стянута в точку иепрерывяым сбрааом, не аадевая грашщ области. В нашем случае этого сделать нельзя, ибо коятур, окружаю>ций ось з, таким образом стянуть в точку нельзя.
Чтобы превратвть яаше простраястзо в односвязное, мы можем воспользоваться следующим приемом: проведем полуплоскость >Оз и будем считать обе ее стороны также грашщами области. Этим ковтуры, окружаюппзе ось з, запрещаются, все же остальные контуры могут быть стянуты в точну.
Поэтому область делается односвязиой; так как нам понадобилось присоединить одну грашщу, то первоначальное пространство яазывается дзусзязным. Если бы вам надо было провести две границы, чтобы сделать область односвязной, то мы яазвалв бы область трехсвязяой к т. д. Укажем еще ряд одяосвявных в многосвязных пространств: пространство внутри илв вне сферы очевидно односвязно; пространство между двумя кояцеитрическими сферами тоже односзязно; напротив, внутренность кольца дакг, очеввдно, двусвяаное пространство, ибо после того как мы проведем меридиопальное сечение, оно делается односвявным. Если з доске сделать два отверстия, то получится трехсзязное пространство, ибо надо сделать два сечения, чтобы сделать его односзяаиым и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
