1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 22
Текст из файла (страница 22)
д. Итак, на првмер мы убедвлись в том, что в случае многосвязного пространства потенциал может быть многозяачным и потому линейный интеграл вектора градиента может заввсеть от путв интегрирования, в частности интеграл по замкнутому контуру может не равняться нулю. Многозначность потенциала сказывается ва графическом представлевяи поля градиента векторнымв линиями.
Если патеюп>ал одяоаначеп, векторные линив его градиента ве могут быть замкнутыми, потому что линейный интеграл вдоль такой лапин состоял бы иа элементов одного знака (ведь не таком ковтуре а имеет то же направление, что >1г вли как раа протявоволожное) в пе мог бы равяяться нулю. В случае же многоаначного потенциала такие аамкнутые зекторнме лияии становятся возмол>ными. Пока>кем зто нз только что рассмотренном примере. Составим уравнение векторных ливий к>ад>р> ,>* кв ер Зр вз дв т. е. в яашем случае ггадпвпт. вго свойства или Отсюда Ыз=О, вНз+уа(у-0 (26) т йгаб ф Функция ф называется при этом часто п о те в ив а л о м си ор о с т п. Наконец, в электростатике напряжение злектрического поля, т.
е. сила, действующая па единичный заряд положвтельпого электричества, тоже ввлвется, как установлено пэ опытвых дапяых. вектором оотея- циальиым Š— бгаб й (27) гдето называется потенциалом электростатического п о л я. Если в рассматриваемой точке находится заряд ео то действующая иа него сила Р будет пропорцвояальиа этому заряду, как яайдено вэ оцытиых данных: Г= е,Е (28) В простейшем случае поля, происходящего ст каходащегося в начале координат заряда е положительного электричества, по закову Кулона мы будем иметь (29) Отсюда следует, что (301 з связь, х' + уз сопз$ Таким образом, векторпымв ливиями йгаб агс эйли являются круги, лежащве в плоскостях, параллельных плоскости зОу, е имеюпще евой центр на оси з; таким образом, как и следовало ожидать, все замкнутые линии окружают ось з.
6. Поклепе потевцвальиого вектора находит себе мпогочислевиейшие првмеиевия з самых раавообразвых отделах физики. Так, например, рассматривая авлевие теплопроводноста, рассматривают попе температуры Т. Если в теле, дввжевве тепла в котором изучается, провести малую площадку ~йу, ваправлепие вормалв к которой есть п, то привимают, что через зту площадку проходит каждую единицу времени поли ыстэо теплоты, равное где й — коэффициент теплопроводности, который н рэзличиых точках тела может иметь разное аначевие, т.
е. является фувкцией точки, ио не зависит (в случае изотропиого тела) от ориентацви площадки Ы8. Отсюда видно, что поток тепла зиутрв тела характеризуется вектором йгаб Т. Точно так же в гвдромехаввке большую роль играют так называемые потенциальные течеипя. в которых вектор скорости является вектором, потевциальяым еяктогнын энэлкз гл.
ц Заметим, что во всех нрименениях векторного анализа к теорви электричества и магнетизма, которые мы будем делать, мы будем нредполагать, что электрические в магнктпые явления происходят в пустом пространстве, т. е. что тая называемая диэлектрическая постоянная э и магнитная проницаемость )э равны единвце, Если мы имеем в точках М„Мэ, ., М„заряды с„е„., э„и если расстоания точка Р до точек М„Мэ., М„обозначить через г„гэ.,г„, то мы получям для потенпнала поля, происходящего от этих зарядов, выражение и еь Вп тз ез ф= — + — +' +— 1 (31) и 13.
Производная вектора по направлению. Градиент одного вектора по другому 1. Будем теперь изучать векторное поле некоторого вектора а(г) а(л,р, э) э (ыб — а (ы) Иными словаэщ, будем предполагать, что а каждой точке рассматриваемой вами областв пространства задан вектор а. Нашей задачей является рассмотрение различного рода днфференциальяых операций с полем вентора в.
Мы видели, рассматривая скалярное поле функции и, что изменение функции в в окрестности некоторой точки М характеризуется вектором йтад сь Зтот вектор йтаб и играет по отношению к функции м (г) ту же роль, как обыкновенная производная )' (в) некоторой функции ) (я) играет по отношению к атон самой функции. С втой точка ареипя и по отношению к вектору а казалось бы естественным ввести такую зелвчиву, которая играла бы роль производной, однако такой подход вывел бы пас эа рамки векторного анализа. Дело в том, что в то время, как (з является скаляром.
йтад ~р валяется уже вектором; подобяо атому величина, которая могла бы нграть роль производной для вектора а, оказывается уже тенаором. Не желая уже сейчас вводить а рассмотрение тенэоры, мы должны поэтому несколько ограничить себя. Так, мы подошли к понятию бган м, рассматривая сначала проиаводную р по направлению. Сейчас нам првдется ограничиться исключительно только рассмотрением провзводных ст вектора а (г) по какому-либо направлению э.
Как н е предыдущем параграфе, возьмем какую-либо точку М в проведем чарва нее прямую, имеющую направление единвчного вектора з, или кривую, касательная к которои в точке М имеет направление э. На атой прямое или кривой возьмем соседнюю с М точку М', причем пусть длияа дуга ММ' равна Ьг. Составим теперь отношение разности значевкв вектора а в точках М' в М к Ьв: 4 Гз пгоизкоднвя зкктогв по нвпгвюгкнню предел этого отношенкв прн бв О (еслн таковон существует) называется пронзводпой вектора а по направлению з в рассматриваемой точке М а обозначается черве дз в Гдв') — в Гдг) йв св (1) Есин ка кашей дуге, начинающейся в точке М, мы будем отсчктывать давку дуги от точки М а обозначим ее через в, то а (х, у, з) будет сложной функцней от в через посредство х, у, з в потому по обычному правилу дифференцирования сложныз функций мы будем иметь да дад дева дегв — =-,,— + — — + —— дв Вв дв дд дв дв дв Бо «Ь д» вЂ” соз (з.
х), — = соз (в, у), — ссе (в, г) Фу И» Ь ' ' дв Поэтому мы получаем соотношение дв де да да — = сви (я, х) ш + сое (з, р) — + соз (е, з)— д дд дв совершенно аваяогкчное формуле (3) предыдушего параграфа дая дв ' В предыдущем параграфе мы имели формулу (8) По аналогии с этим мы введем обозначение (з-Т7) а (3) Рациональность такого обозначения может быть обоснована следующим образом. Составим скалярное произведение сектора е= Гсоз(я,х)+)соз(я,у) + йсов(е,з) к символического сектора .д .д д ~7 (ш + ) — + )в— ду дв В результате мы подучим новый дафференцнальный оператор д д в е-т7 = соз (я, х) — + сое (в, у) — + сов (а, з) ш (4) применеане которого к сектору а даст яо формула (3) как раз —, пода д» ' этому обозначение (3) яваяется созершеаао естественным.
Рассмотрим теперь несколько бсиее общую операдвю, а аиенно, сведем покатав врадиввияа вектора а ао ввкшору ш который обозначаетса символом (т т7) а. Чтобы определять этот вектор, мы можем поступить, например, такам образом: составим формааьао скалярное проазведенае вкктоэпып ьпьлпэ Гн и вектора )г» + »э» + (св» Поэтому под вектором (ч.~7) а мм будем понимать вектор (ч.~7) а ⻠— + в — + э— да да да «д» «ду * д» (6) Если вектор ч амеет то же пвправлекпе, что вдккпчпый вектор э, так что где в ( ч ( есть модуль вектора ч, то мы будем иметь э, = асов (а, х). э„= гсов (в, у), в, = гсов (в. в) Поэтому (ч ~7)а = э(сов (э, х) — +.
сов (в, у) — +сов (в, э) — ) да де «в! д дэ влп, что те же, (ч.с7) а = в— дв д« ('7) Итак (ч.»7) в есть лровнмдваа ввлжора а по направленою всюнора ч, унноженнаа на жлвчлну ввжнора в. Беря в формуле (6) эа вектор т бескопечпо малый вектор с(г = 3 йт ~- ) Ыу + )с Нэ (бг'Г7) а Нх — +Ну — + Нэ— 'В» ' дв»» а так как справа стоит ба, то получаем весьма важпую формулу (Иг т7) а Фа очеввдпо, аквлогачкую формуле с»р = с(г»7~р (9) Проеатпрув обе часта формулы (6) ка осп координат, получим составляюпже градиента одного вектора по другому: ((ч.~7) а)„э„— ' + г — ' + а,— д»„ д»„ д „ дэ * д« ((ч*»7)а)т - в„—" + э„— + э,—" ((«.с7)а), г — *+ г е*+э,— * (10) в символического вектора ~7; в результате получим дифферепппалькый оператор т ~7 = е — + г„— + о,— д д д (б) пгоизводиая звктогь по папгьзлвнию 1 Рй Между прочим из этих формул следует, что ((т ~7) а)„т.~го„ п авалогячяые формулы дла осей у и з.
Рассмотрим следуюпшй привар. Пусть з прострапстзе задана система впаяй так, что через каждую точку пространства проходит одва в только одна лпвиа системы. Пусть е есть едивпчяый вектор касательной к линни, проходящей через расоматрпваемую точку. Выковав геометрвческое эяачевие (а ~)е.
По самому определению да (с.с7) е =— Йэ гяе провзводвап беретсп по направлению касательной к ливия; во з п. 6 $ 9 было эыисвеяо (формула (37)1, что где а — единпчвый вектор главной нормали, а  — радиус призпэвы для липея, проходпщей через рассматриваемую точку. Итак, (с.~7) е =— л 8 а д а ч а 108. Найти, чему равно (с ~7) г, где г есть радиус-вектор Ответ: с. 2. Ррадисвт одного лектора по другому часто встречается з зычвслевкях.
Мы здесь осгавозвмсв па одвом аажиом применении этого повития. Допустим, что мы имеем дввжеяие некоторой сплошной среды, вапример жидкости, п пусть поле скоростев з этом дзпжевия дается фуввцпей т (г, г), так что г есть вектор скорости частицы жидкости, проходящей з момеят времеви з через точку М (г). Рассмотрим векоторую скалпрвую фующпю поля ф (г, 4), например, температуру рааавчиых частиц жпакостя, причем мы предполагаем, что эта фуякпия зависит п от времеви к Если пы желаем иаучать иамевеппе фуикдии ~р аа некоторый промежуток времеви, то мы можем поступать двояким способом, а пмевио, мы можем рассматривать пэмеяевие и в д а я я о м м е с т е, или же мы можем рассматривать его дл я да я я о й ч а с т и цы. Разпицу между этими двуми иэмевевппми можно уясвпть яа следующем примере.
Если мы измеряем вэмакевие температурм ва позархяости замлп, то мы получаем, очевидно, иэмевевие температуры з данном месте. Если же мы яаходимся яа воздушном шаре, который уравновесился з заздухе и дзвжется вместе с эоздупшым потоком, то изменение температуры, измеряемое яа этом шаре, может, очезидво, быть рассматриваемо как пзмеяевпе тем пературы для частиц воздушного потока.
Ввктотпый Апзлпз гл. и Измевевие срв даевом месте характеризуется ч а с т в о й пли м е с ю яой илв локальвой проиээодвой ср по и ар . р(м, с-рьс) — р(м, с) (12) дс м с ьс при зычислевпв которой радиус-вектор точки М рассматривается как постовввый. Чтобы охарактеризовать измеиеиие ср для давкой частицы эз промежуток времеви АС, мы должвы аа приращевие ср взять развость между акачевием фувкппп ср в момевт с + сэс в том положевпв частицы М', в котором оиа заходится з этот момент, а звачевием фуппцив з момевт С в вачальвом положевии ее М. Предел отвошевиа этого првращевив к ьс прв ЬС О вазывается подвой кли пвдизидуаль вой или с у б с т а п ц и о п а л ьв о й производной ср по с я обозкачается е ! гса' ы 4В.—..сяс,с и ьь~с ьс Чтобы устапозить связь между часткой п лолвой производными, проще всего заметить, что когда мы,состазлвем полвую проиаводвую от фувюпсв ср (х, у, з, с), то мы должны считать х, у, э фувкциямв от С, пбо частица, имеющая коордвваты х, у, з, перемещается со скоростью «, причем аэ др ссх щ «сп' (14) Но рассматрввая ср (х, у, з, с) как сложвую функцию от С, мы получим Фр дч де дэ дч др д(с Нс дср др дч др си дс дэ дс дрсл дс ес дс дэ * «р + + + е + Ээ+«э + эс или — = — + «.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
