1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Проводя опять дваговалькые кривые, мы получим ливни уровня 6 = сопзс. В каждой точке бгай ц направлен по нормали к линии уровня. Прв построевнн нужно брать Н большим, например, раекым )т = 10АВ, чтобы сетка кривых получилась достаточно густая. Но представляет болыпой интерес отыскать векторные лпвнн вектора а = йгай и. В только что рассмотренном случае зто будут силовые лавин, провсход~пцве ст двух одинаковых зарядов, находяшнхся е точках А в В. Укажем способ построевкя атвх свлозых лвввй, который моя<ет быть применен в.
к целому ряду других случаев. Для этого вам нредзарнтельво надо найти граднгвт еше одной фувкцнн, а именно, рассматрнвая е алоскоста полярные координаты 6 в г точки М (фнг. 47), мы можем рассматривать 6 как фувкцвю Ю точки М. Лнннямн уровня этой функцнз 6 Фиг 47 являются, очевидно, полупряыые, выходящие на полюса О полярной системы. Поэтому бгаб 9 направлен по перпендикуляру н ОМ. Чтобы найти его велкчнву, достаточно ааметвть, что бесконечно палому прврашенню угла А9 соответствует расстояние между двумя бесконечно блвзквми лкааямн уровня, разное Ая гА9, поэтому мы имеем: )йгаА 6 ( лб 1 ка г Итак, вектор йгад 6 направлен по перпендикуляру к ОМ (конечно 1 в сторону возрасгання 6) в по численной величине равен —.
Сравним г его с вектором бгаб г †; последний направлен по ОМ и по чксленной г велнчвне равен 1. Отсюда мы можем вывести заключенна, что вели мы, повернем вектор йгаб г ва 90' е направлевнп возрастающих углов 6, то получим вектор г йтад 6. Прнмеввм этот результат к калев аадаче. Мы имеем 1 а = бгаб~р = — — „лгал ~; — —,, йтад г, г ер Повернем шпарь е каждой точке этот вектор на 90' прогна часовой стрелки.
Вводя углы 9з в бз (фнг. 48), мы аолучнм новый сектор Ь, для которого, согласно предыдущему, будем иметь выражение 1 1 Ь = — — бгаб 6з — — йтад 9з ы Вккторныи АВАлиз гл. ы Но если расстояние точки Р до прямой АВ обоапачнть через дд, то, очевидно, гд з)п 6, = )д, . г шп 6д = )д в, следовательно, предыдущее выражение можно переписать, польвулсь формуламв (20) и (18), так: Ь вЂ” — (зщ 6, ягай 9, + зш 6д лгай 9д) -ад-бхай (сов 6д + соз ед) ! 1 Ясно теперь, что если мьд рассмотрим функцию точки ф = сдм бд + соз бд а то вектор Ь будет всюду направлен по нормалям к линиям уровяв функции ф, в слег довательио, вектор а, перпендикулярный д к вектору Ь, будет направлен всюду по касательной к линии уровни фупквик * Л зто ло самому определению векторных ливий оаиачает, что линна уровня функции др являются векторными линиями вектора Фвг.
48 а = йгай ~р, т. е. искомымн силовыхдн линиямк. Для нх графвческого построения нужно, согласно предыдукдему, начертить хотя бы систему ярямых соз6, =О, +0,1, ~02,..., 1.1 ватам систему прямых ад — .1-— т гд г» других прнмеров. бу. Вычислить йгай (с-г), где с — постоянный вектор. Так а целый рвд 3 а дд а ч а как др = с.г = с„х + с„у + с,з то йгай (с.г) = д —, + 3 — + Ь вЂ” = с„) + ст) + с,й =- с. де ° се дч Другов способ вычисления, более короткий, основывается на том, что если йдр = ддг.а, то а = йтай ~р.
В нашем случае йр = й (с.г) = с.йг, следовательно, ягай (с.г) = е соз 6д = О, ~ 0,1, +. 0,2, .... + 1 к ватем произвести графическое сложение. Совершенно аиалогипю можно рассмотреть случай влектростатического поля, происходящего от двух пропзвонькых зарядов одинакового вли равного вкала. чему соответствует фуикцяя ггздпикт. кто свойства Ой 3 а д а ч а 88. Вычислить араб ! е х г [*, где с — постоянный вектор, Вычисляем Ы(ехг) ° (ехг) = 2(ехг) ° (ехаг).
Положим ка время схг = Ь, тогда в векторно-скалярном произведении Ь-(ехЫг) можно прокзвести циклическую перестаковку векторов Ь-(е х Аг) = Ыг- (Ъ х с) Ыг [(ох г) с! значит Ы [(схг)-(схг)! Аг.2 [(схг)хе! Это покавывает, что йтаб[ехг!з = 2(ехг)хе = 2г(е с) — 2с (г-с) 3 а д а ч а 89. Если ~р (в, е) есть сложная функция от г через посредство двух вспомогательнмх функций и и з, то доказать формулу йгаб м = -8 йгаб и + -8- йтаб з зе 3 а д а ч а 99. Воспользовавшись тем, что вллипе г, + гз = 2а есть лвния уровня для функция м = г, + гз, где г, н г, суть расстояния переменкой точки до двух фокусов (длины радиус-векторов), доказать, что нормаль к эллипсу делит пополам угол между радиусами-векторами.
3 а д а ч а 91. Решить задачу, аналогичную предыдущей, для гиперболы г, — гз = 2а, а также для параболы г — я = р с фокусом в начале коорднкат. 3 а д а за 93. Найти геометрический способ построения «асательной п овалам Васенки г,г, = а з где г, и гз суть расстояния переменной точки до цвух фокусов А я В, воспользовавшись тем, что зтя кривые суть линии уровня для функции г1 гь О т в е т. Соединив точку М кривой с фокусами А а В.
отложим иа продолжение АМ от точки М отрезок МК = ВМ а на продолжении ВМ отрезок Му. = АМ. Диагональ караллелограиа. построенного ка МК и М1., и будет нормалью к овалу Касании в точке М. 3 а д а ч а 98. Ра смотреть липин уровня н векторные линии для ноля а = дгад <р, где м )8 г, — (3 г„причем г, и г, — расстояния переменной тощи Р до двух фокусов А и В От в е т. Ливии уровня — окружности г,/гз = сопзц векторные линия — окруязиостп б, — Оз савва, проходящие через тсчик А и В.
3 а д а ч и 94. Имеется скаляржю иоле ф в плоскости. Зная производные по двум направлениям йр/дз,и др/дзз в некоторой точке М, найти геометрическим построением йгаб р в этой точке. О т в е т. Отложим ст точки М з направлении з, отрезок МК = йр/дз, [если др l дз, отрицательно, то откладываем отрезок МК = ! дф ( дз, ! в 8 н. в. почав г.п звктогнык АнАлиз направлении, противоположном направлению з,) в восставляем в точке К аерпендикулнр КР к МК; аналогично поступаем с направлением з,; если точка пересеченкя этих двух перпендикулнров есть Р, то вектор МР будет ао величине н направлению представлять ягаб и. 3 а д а ч а Ж Имеются трн заданные точки: М,. М„Мз. Требуется найти такую точку Р, чтобы сумма расстояний М,Р + М,Р + МзР была минимальной. Прежде всего ясно, что точка Р должна лежать в плоскости М,М,И .
Введем обозначения М,Р г„М Р г„М Р г. Есла рассмотреть фуивзнгю ф г~ + гз + гз то ясно, что в окрестноств той точки Р, где зта функция принимает минимальное значение, линию уровня должкы быть аамкнутымв кривыми, охватывающими точку Р, так что в самой точке Р необходимо должно быть бган ~р = О Это приводит к условию бгаб г, + бгаг) г, + бган г, = 0 — ч- — + — = 0 гз ц г~ ы Но если сумма трех векторов равна нулю, то пз этих векторов может быть составлен еамкнугмй треугольннк. Но а данком случае зсе трв вектора являэтгся единичными, следовательно, треугольник будет равносторонний, а потому зсе углы его равняются 60'. Повтому мы приходим к заключению, что искомая точка Р обладает тем свойством, что есе трн угла М,РМ„ИзРМз, М РМ, равны 120', т.
е. все этн отреаки И,Мз, МзМз, МзИ, видны нз точка Р под углом 120', что дает возможность простого геометрического построения точки Р. 3 а д е ч а 96. Имеются и заданных точек М, (г,) в пространстве. Требуется найти такую точку Р )г), чтобы сумма квадратов расстоящей ~ И;Р' ь г была минимальной. Ответ; г = — ~ гз 1 е 3 а д а ч а 97. Вывести закон преломлении света на границе КК раздела двух однородных сред, акая, что коэффициент преломления второй среды относительно, первой равен в. в что поэтому свет распространяется в первой среде со скоростью, в я раз большей.
чем во второй. Кроме ГРАЛИВПТ. ВГО СВОЙСТВА того взвество, что луч М,РМг должен иметь такую форму, чтобы время прохождения светом расстояния между точками М, я Мз было мииимальпым (фвг. 49). Если обозначить М,Р = г„ зу М,Р = г,. то задача сведется и иахождевию минимума фувкцви ф= г1+агз есле точка Р перемюцается по кривой ХХ; во извество, что в точке минвмума Р должка бмть Фвг. 49 если е есть яаправление касательной к ХХ е точке Р. постону в точке 1 вектор йгаб ф должен иметь направление нормали к ХХ; яо йтаб ф = йтаб г, + л йтаб г, = — + я г' Г1 Легко отсюда вывести, что если а — угол падепия луча, а 3 — угол преломления, то з1п а = я з1п 3 3 а дача 98.
Вычислить йтад (х у"). Ответ: хм 'у~1 (ту угад х4-ахдгзд В) 3 а д а ч а УУ. Дано семейство поверхностей урозпя ф (г) = совзз Написать векторное уразвение нормали к поверхности уровня, проходящей черве точку М„(г,), в уравнение касательной плоскости з атой точке. О т в е т. зграввеиие вормали (г ге) х угад ф О уразиевие касательной плоскости (г — 1 ) угад ф = О где значение угад ф берется в точке М .
3 а д а ч а 100. Показать, что йгаб ф есть полярвый вектор, 3. Вектор, являюп1ийся градиеитом некоторого скаляра ф, называется потенциальным вектором, а полетакого вектора называется по те к ц и а л ь в ы м. Величина же ф вааывается п о те и ц и ал о м. епктогнын апьлиэ г.ц ыс Потенциальные векторы обладают особымп, характерпауюшнми их снойстеамн, свяэаннымн с понятием линейного интеграла вектора вдоль некоторой кривой. Пусть нам аадано векторное поле вектора а: воэьмвм какую-нибудь кривую С, соединяющую две точки М (г„) и М, (гД, раэсбьем ее на бесконечно малые алемвнты, которые эаменпм хордамп Ыг, составим далее скалярные пропаведення а.Нг, где а есть вектор поля, отвечающий началу вектора Нг. Составим далее сумму всех таккх скалярных проиаавдеянй н перейдем к пределу, устремляя все алвмепты Ыг и нулю.
Полученный предел паэывастся л н не й н м м н нт е г р а я о и в в кт о р а а в д о л ь к р и в о й г. н обозначается череа ~ а.сг Этот интеграл часто пншут в двух других формах. Вспомпнэя прежде всего. что а.Ь = Ьам эамечая, что !Ыг( = Иг, где г(э — элемент длины кривой, н обоаначая черве а, — касательную составляющую вектора а, мы будем пметь, что я-Нг = а,г(э и, следовательно, мы можем вапнсать Воспольэовавшнсь же выраженвем а ег э проекциях па ссп координат а.Нг = а„дх + а,фу + а,оз мы будем иметь Для эычнсленяя атого последнего ннтеграла обычно выражают координаты точки крваой Е функцпямн какого-либо параметра и сводят дело к вычнолепню простого интеграла.
Например. вычнслим интеграл ~ (х Иу — у Пх) святый по контуру круга хе+ уэ Лэ Координаты точек этой окружности можно выраанть функцнямн одного параметра 9 х=Ясов9, у Я юп 9 причем, когда 9 меняется от 0 до 2н то точка опксывавт всю окружность. Мы имеем далее лх = — Н а(п 0 <!0, еу = Й сое 9 г(9 гглпивят.
вго своиотва ) тг н, слвдоватвльяо, хау — у их вз сое 8 Н сое 8 а8 + в) в)п 8 г( в!с 8 46 = Яг и8 г (хгйв — уйх) = ~ г)з а8 2вь(зг ь 6 Линейный интеграл вектора по замкнутой кривой наеывавтся ещв циркуляцией вектора по этак кривой. Если веять ва вектор а вектор силы Р, девстеующвй на матеряальяуто точку, а ва Ь вЂ” траекторию точки, то дает работу силы прв перемещении точки ив Мв в М,.
так как р в(г Л)аг) ) (р, г(г)) оаиачавт элементарную работу силы на первмещенвв г(г. Вообще говоря, линейный интеграл вектора аавнсит от того пути Е,, который соединяет крайние точка М„и М,. Иначе обстоит дало с потеящаальпымв ввкто рамн, Докажем следующую теорему: лингйнмй интеграл гватари йгаз) ф вдоль какой-.вибо кРивой Рв согдинжвщвй точка М, (гв) и М, (г,), Равен равности значений функнии ~р в точках М, а М„. В самом деле ягаб~р.йг $азу й(г,) — й(г) =ф(х„'у,, г,) — ф(х„, ум г,) (21) Отсюда, как непосредственное следствие, вытевавт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
