1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Продиффереицируем формулу (4) Ф~~ жзг~ И~1 Яз) Оза1 и о ( + и + у + ) + ж (ж ж ж* ж) Язм ао1 оз1 жа зг = — +х — +у~+з— ыв иы ж яи (14) Выражение для и, дается формулой (1): и„= и + в х г + в х (в х т) Последние трв члена формулы (13) представляют, очевидно, относительное ускоревве точки М, которое обычно обозначается череа в,: в, = я1 + у1 + зя Наконец, чтоби истолковать три средних члена формулы (13), вспомним. что имеем формулу рд о1 Ыа х — -(- у — + з — = в х г ю ыз яз значвт, заменяя г на т вектор с компонентамв —, —,, —,, получаем: Гяоо1 ятя1 ж яа1 2 ( — — -(- — — + — — ) = 2в х т„ (жа ж а жж) Если х, у.
з постоявны, то их первые и вторые производные равны нулю. Поэтому первые четыре члена правой части дают ускорение точки, неиэмеюю связанной с подвижной системой координат, поэтому эта часть абсолютного ускорения кааывается не реп о сини у с к о р е ни е и и обоаначается через и,: аупкпив От ВектОРБОГО Аггуквкт* зто Выра>кепка пазмваетсз ускорением Коряаляса а обозпачается через ч,. Таким обрааом получаем теорему> вектор абсалютлово ускорении тачки яал>ытсх суввиоя трех ввтяаров: вектора нврвнссиово Очаорвнил, ввлтора отнаситслънаво услорвиия и вектора усиорсних Кориалиса: чва >чв + чв + >вв (18) й 11.
Фуквцкв ат векторного аргумепта. Сиаяярвое в зекторвое поле. Поверхпсетв уроввя. Веяторвые лввян х. До сих пор мы рассматривали векторы вли постоянные клв измеызююиеея з зависимости ат скалярного аргумента (времеви). Теперь мы рассмотрим более сложкый случай, когда с каждой точкой простравстеа (яли части пространства) связывается звачевие некоторого скаляра вли вектора. Рассматриваемая часть простраястеа яазызается тогда полем, скалярным вли векторвмм, смотрнпотому,какая фувкцвя, скалярная влв векторная, изучается.
Так, например, иы имеем з атмосфере скалярное поле давления, ябо каждой точке атмосферы отвечает некоторое авачекве давлепвя. В реке мы вмеем векторное поле скорости частиц воды и т. д. Так как каждую точку повя можно определять ее радиусом-вектором, то задать окалярвое яли еекторвое поле значит првваств е соответствие каждому радиусу-вектору г зваченве некоторой скалярной функция ч> (г) влв пекоторой секторной фувкция а (г). таким образом, з рассматриваемом случае независимой переменкой является радвус-Вектор Акалвтическв задввпе скалярвой фуикцвв р (г) снодктся к задавкю фувкцпк >р (х, у, в), от трех коорпиват гочки, задавве векторной фупкцвв в (г) развосвльво заданию трех скалярных фуккцвй а„(х, у. в), а„(х, у, в), а,(х, у, з), дающих компонептм вектора а. Очень часто приходятся рассматривать скалнрвые влп векторные фупкцвк, вамевяющвеся с течением времеви: й (г, В), а (г.
В). Саотаотстзующие ноля пааываются тогда перемевлымв вли вестац поп а р я ы и к; поля же, ве меняющиеся с течепием времеви, пазываютсз постояннымк илв стацвоваркымв. Мы всегда будем предполагать, если только ве сделаво особой оговорив, функппк ееаторвого аргумавта вепрернввымв, т. е. будем считать, что разности ф (г + Ьг) — >у (г) илв в (г + бг) — в(г) могут быть сделаны по модулю сколь угодна калыме при достаточна малом бц 2. Для наглядности представлевпя имеет большое значение графическое взабражевпе полей. Пусть мы имеем дело со скалярным полем, так что пам задава функция ф (г) кли чта то же, функция ф (х, у, в). Если вам задано вестацвоварвое поле, то мм рассматриваем его з определеввый момент времеви.
Пусть в некоторое точке Мв (гв) функция ~р (г) прививает Впачепве у = р (г„). Отметим есе точки, е которых зваченве ВВКТОРНЫН АНАЛИЗ Га. и функции равно фэ. Этв точки, вообще говоря, заполнят некоторую поверхность илп несколько раздельньи поверхностей, которые называются поверхностями уровня или изоповерхностя ми (фиг. 43). Их уравнение в декартовых координатах, очевидно, имеет вид: Ф (х, у, з) = совэь Например, па синоптических мартах таким образом наносятся изобары. т. е. линии уровня для скалярного поля давления (линии, потому что адесь рассматривается двумерное пространство — поверхность земли), При этоз» изобары наносятся обычно череа каждые 5 миллибаров (единицы давления), так что ряд по- ~З с) следовательно идущих иэобар отвечает значевням 1000, 1003, 1010, 1013 и т. д.
миллибаров. Ясли аналогичным образом провести поверхноств уровня функпии Ф (г), отвечающие равноотстояшвм значениям функции, то получится картина, указывающая уже ряд свойств изучаемой функции. Фзг. 43 Так, например, места сближения двух последова- тельных изоповерхноотей указывают на быстрое иииенепие здесь фупвции, причем очевзщно, что это изменение происходит в направлении, перпендикулярном к изововерхности, в то время кав при перемещении вдоль самой поверхности значение функции совсем не меняется.
3. Рассмотрим теперь векторное поле. Введем для наглядного изображения его в енто р и ы е л пик и, т. е. такие ликии, во всякой точке которых вектор ивгеет паправлениекасательной к ливии. Приближенно мы можем построить эти а ликии следующим образом. Выберем какую-нибудь точку пола и отложим вдоль отвечающего атой Р Р цом этого отрезка поступим совершенно таким же способом п будем продолжать таким обрааом даль- Фиг. 44 ше; в результате получится помакав линия, которая тем ближе будет представлять нашу векторную ливию, чем меныпе взято с, и при бесконечно малом е, т.
е. в пределе, перейдет в саму векторную ливию (фиг. 44). Возьмем на векторной ливии какую-нибудь точку М (г), единичный эг вектор касательной к векторной линии есть —, ко по условию вектор в ж' з точке йу тоже должен касаться векторной линии, следовательно, два вектора а и — коллинварны, а значит щ ОА -г ха =0 ихн, умножая на 4(э, вгха = 0 ГРАдвапт.
Вго сВОйстВА Это есть дифференциальное уравненве векторных ливий э векторной форме. Если составляющие вептора а (г) суть а„(я, у, э), а„(х, у, э) и а,(я, у, э), то условие (2) параллельвоств касательнай к векторной ливии и самого вектора приводит к дифференциальным уравнениям векторных линий: оа Р1г АР а„ат а Интегрирование этих уравнений введет две проиавольные постоянные, так что мы получим двупараметрениую совокупность векторяых ливий. Однако ааданве Векторных линий и ориентировка пх дает нам только направление вектора во всякой точке поля, величину же вектора мы должны графически иэобраэвть каким-лабо другим способом.
Можно, имея в виду, что величина вектора есть скаляр, рассматривать наше Р " "Р " Р " *Р Р~ Р* Р' .РАР.. Н ступить пвым способом, а именно, характериаовать величвну вектора густотой проводимых линий. При этом густоту ливий мы должны намерять, проводя черен каждую точку маленькую ортогональную к ливии площадку, отсчвтмвая на кей числа пересечений ее векторными линиями а относя это число к единице площади. Нужно отметать, что, вообще говоря, придется часть ливий эакавчивать внутри поля, а часть начинать внутри его.
МъР впоследствии укюкем то условие, при котором атого явления ае будет. Задачо85. Найти векторные липин для векторного поля а = —, . РР О т в е т, Прямые линии, проходящие череэ начало координат. 3 а д а ч с 86. Найтв векторные лкввв для случая векторного поля а = ех г, где с — постоянный вектор. О т в е т, Окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к прямой, проходящей череэ начало координат к имеющей направление вектора с; певтры этих окружностей лежат на атой прямой. й 12.
Градиепт. Его своиетва. Линейный интеграл. Пот свивав 1. Мы рассмотрели выше вопрос о дифферендировавии вектора по скалярному аргументу. Вопрос о дифференцировании по векторному аргументу гораэдо более сложен, особенно в случае Векторного поля. Рассмотрим скалярное поле функции р (г) ф (я, у, э). Выберем некоторую точку поля М (г): проведем череа нее какую-либо прямую и обоэначим череа э единичный вектор, направленный по этой прямой. Возьмем на этой прямой соседнюю с Р)г точку М' (г + аэ), где а = яРМ'— бесконечно малая величина; при переходе от М к М' функция ф приобретает приращение Ьф = Рр (М') — Рр (РРг) = ф (г + еа) — Рр (г).
Составим, ввв"гогпыи Анализ Гз. П как зто естествепио сделать, отпошекве — и перейдем к пределу. гстреЬф мвв з к О, получевлый предел паэовем в р о и в в о д и о в ф и о в ап р а в л е п и ю э а точке М и обозначим через — : дф. дз ф (а>'» — ф >а>» ) >р (г + зз» вЂ” ф (г» а. = мймш маг. з Звавие производной — для любого направления э повволяет еычкдф дз слить эо всех тачках, соседвих с точкой М, екачевие фуикция ф с точностью до членов второго порядка малости. Для вычпслеввя у- введем систему координат х, у, з и заметим. что дф едипичвый вектор з имеет составляэвцпмв з„ = соз (э, я), зз = соз (е, у), з, = соз (е, з) (2) Поэтому >р (г+ сэ) — >р (г) з ( — соэ(з, з) + сов (э, у)+ — соз (э, з) + >»] где >» — бесконечно малая величина (как мы условились уже раньше, мы будем всегда считать все вводимые проязводиме существующими и вепрерыввымв).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
