1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 29
Текст из файла (страница 29)
В этом случае формула (56) должна быть заменена следующей (57) Сравнивая ее с формулой (53), мы видим, что кожно привять 6(т Е = 4 яр (58) где сумма правой части распространена на те ааряцы, которые находятся внутри поверхности. Представим себе теперь заряды, веярерыэво распределенные э пространстве, в пусть р означает плотность этих зарядов, тогда а элементе с(г' будет находиться р с(Р зарядов, а внутри поверхности с будет вметься оппгятое гьмнль'гонь т.
е. раехатдекие вектора вяектричеекод еаяы егозю трактовать каг уявнткенкую ка Фя лаотиость еарядов, лекрерьаио распределенных в пространстве. Так как Ыч Е = — е)1ч йгаа ~р = — Ьр то (59) гравневие такого типа наеывается ураекекиак 11уаееоиа. Там, где аарядов нет, т. е. где р О, оно преврашается в уравнение Лапласа Все тела делятся на проводники и непроводвикв. Проводники обкадают тем свойством, что внутри пвх еиектряческав сила обрашается в нуль: Е 0; следовательно, внутри проводников йтадй = О в, сяедовательво, потенциал и есть постоянная величина и совет кроме того, тан как внутри проводника 61г Е = О. то р О, н скедо ватекьно, внутри проводника пе ьюжет быть екектрнческвх аерпдов, поскедние докжиы сосредоточиваться па поверхности проводника.
3 а д а ч а 116. Чему равняется нвтеграя по аамкнутой поверхности 8 огранвчиваюпгев объем У $г (а-в) д3 л где г — радиус-вектор. а — постоянный вектор. а — вектор внешнее нормали к Б. Р е ш е н н е. По формуле (13) (а-в) гаЗ ~ (а ~) гв(У во по еадаче 103 мы имеем (а.17)г = а, сведояательно $(а а) гаЮ ( адУ ар 3 а д а ч а 111.
Найти значение пвтеграка ф (г.а! в е)о' Ответ. Уа, где У есть еекичипа объема, ограниченного поверхностьюд 11* ввктовныи *нализ Га. И ф 16. Циркувмцнн вектора вдоль контура. Вихрь вектора. Его ссставлпющззь Теорема Стокса 1. Прв изучении градвента ($12) мы ввели понятна линейного ввтегрзла вектора а вдоль кривой йс и показали, что обращение в нуль этого интеграла, взятого по пюбому замкнутому контуру, есть необходимое в достаточное условие того, чтобм вектор а был градиентом некоторой однозначной функции а йтад ю, а„—, а„= —, а дч дз дз ' дв' * д* Рассмотрим теперь поле пюбого вектора а (г).
Бояее подробное изучение линейного ннтеграла по замкнутому контуру приводит к понятию некоторой диффереипдальвой операции, которая, будучи првменена к вектору а, дает новый вектор, называемый вихрем вектора а. Итак. рассмотрим замкнутую кривую ливню С и взятый по етой крввой криволинейный янтеграп $а Ыг = ~(а„Ыя+ сейл + а,Ыз) с (2) Если нривав С плоская, то ова ограничивает некоторую плоскую пяощадь Я, которая, согласно сказанному в $6, может быть представлена вектором, равным по величине 8 и имеющим направление положительной нормали к площадке Я, т. е. нормали, направленной в ту сторону, откуда направление обхода контура С кажется совершающимся в ту же сторону, как направление поворота от оси х к оси у вокруг попожвтельной осв з (при.
левой системе координат — по часовой стрепке). Если и есть единичный вектор положительной нормали, то мы имеем (6) в проекципх же на оси координат мы будем иметь Если мы площадку 8 спроектируем на плоскость хр, то получим пло. щадку, ограниченную контуром С„явпяющимся проекцией контура С.
Покажем, что зта площадна представпяется нак раз вектором о,а, направяевным по оси з в ту влн другую сторону. В самом деле, в $6 было доказано, что величина проекции площади равна проектируемой пяощадв Я. умноженной ва косинус угла между плоокостью 8 в плоскостью проекции. в настоящем случае !соз (в, з) ! и следовательно величина проекции площади равна с ! (в, э)! = !(А,)! ЦИРКУЛНПИЯ ЗВКТОРА ВПОЛЬ КОНТУРА $ $б Если С кривая, не лежащая а одной плос«оств, т. е кривая двоякой кривизны, то она не.
ограничивает плоской площадки; в этом случае можно рассмотреть кривые поверхности, огранвчевкме контуром С, эти кривые поверхности могут быть представлены вектором 8, который получается следующим образом. Проектяруем контур С на трв плоскости координат Оуз, Озх, Оху; полученные проекции С, С,„ С, ограничвзают три площадки, которые могут быть представлены векторами Я„[, Яиу, Я,[г; тогда Фиг.
57 +»Яи + КЯ» Вычислим теперь несколько криволинейных интегралов. которые вам понадобятся прн змчнсленнн общего криволввейного интеграла (2). Прея»де всего очевидно, что $(*=О, $х (х=1 [®-0 с с (5) Вычислим далев $у Их. Прежде всего ясно, что ~ у»(х = <~> у»гх с» с вбо з соответствующих точках контуров С я С, коор двнаты х и у одни в те же, а только координаты з — разные. Но легко задеть, что У Фиг. бб с, $ у»»х — Я (7) В саном деле, пусть ордината, отвечающая элементу г[х, пересекает С, з двух точках; М, и Мз (фиг. 58), тогда при обходе контура по часовой стрелке элемент, отвечающий точке М„надо брать с отрицательным зна- ком [не атом элементе х убывает (фиг. 58)[, а элемент, отвечающие точке С другов стороны, если в составляет с осью з острый угол и змбрана, например (как покааано на фиг.
57), левая система координат, то С, накразлена по часовой стрелке (если смотреть с положительной стороны осв з), таи что вектор, представляющий ограниченную контуром С,пло. щадь,надо направлять по положительной оси з, т. е. надо брать равным [Я,[[г = Я,[г (нбо з этом случае [Я,( = Я,). Если же угол и с осью з тупой, то С, обходится против часовой стрелки, и площадь проекции надо представлять аектором — (Я,[[А, опять равным Я»[г, ибо з этом случае Х (Я,~ = Я ~соэ(в, з)[ = — Ясов(а, з) — Я, Ввктоэпыв Анализ Гв.
И Мз, с положвтельвым, поатому элеыект ~(х дает интегралу член ( У) + Уз) ит = (У| Уз) с(х где уь в уз оакачают ордипаты точек М, и М,. Но (у, — у ) Нх есть как раз часть площади, отвечающая элементу Ых; суммируя по всем элемен- там, вайдам: е, следовательно, у~(х = — 8, это и требовалось докааать. Точно так жа докааывается, что а*й = $ (а 3х + а,фу + сиз) 1* с Точнее говоря, вычислим значение следующего предела: а ег $ 1а„ях + а„ИВ + а еэ) Иш — =1пп с ° с в ~ е З (10) когда ковтур С стягпвается к точке М. Достаточно найти, чему равняется а .
(е, и, з) Лз 11ш Разлагая а„(х, у, з) в ряд Тейлора по степеням х, у, з в огравичкеаясь только члепамв первой степени, будем иметь а„ (х, у, з) = а„(0, О, О)+ х~(-~-) + е,~+ у(( — ") + ее~+ я~(з") + е~) 3. Возьмем теперь фвксировапвую точку пространства М, которую, удобства ради, перенесем па время в начало координат. Рассмотрим далев расположенный вблизи точки М бескокечио малый контур С.
па котором задано определенное направление обхода. Предположим, вакопец, что соответствующий всем поверхностям, ватякугым па атот ковтур С, вектор В = Яе стремится по величава к О, а по направлепию— к фвксировввиому направлению, орт которого обозначим через пе. Поставим теперь задачу вычислять значение лвпейпого пвтеграла вектора а вдоль С или, как его иааывают иначе, циркуляцию а вдоль С: пнтнуляпия Вяктогь Вдоль конттгл где индекс 0 укаеывает, что пушно брать еяачение укаеаннмх провеводвмх в точке М (как всегда, проиааодвме да / дв, дае / ду, да„! дя в т. д.
предполагаем непрермянымн] и где ем ее, е, оеначают бесконечно малые величиям. Проинтегрируем вдоль кривой С, причем постояннме мвоящтели вынесем еа евакв и«пегралое ~а, (и, у, я,) «Ь а (О, О, О) <6«(х+( ") «г«я«Ь+ + (,„-*)ф бя + (, е, ) ~ с 4 + ~( * + уе + е) (л Применим выведенвме выше формулн «)х ряс(я О, $у Ыв = — Я, = — 8 сов(п, я) о о $е «(в = о.т 8 сое(в,у) с предполояшм далее, что контур С обладает таким свойством, что н нб нан адыгее расстоввне точек контура от М обеспечить череа р, то длине контура будет порядка р, а величина Я порядка р«, тогда легко видеть, что (яе«+ усе + яее) «(х 8е с где е — бесконечно малан величина, Итак — а (и, у, я) «Ь = — ( — ") соя (п, в) + (ф) сое (и, у) + е Отсюда а пределео О получим 1пп — — ( — а) сое(в,е)+( — ") сое(п, у) Аналогично получаем еяш две формулы (циклической перестановкой буев л, у, я) $.~ь Ип« вЂ” = — ~ — ~ сое (и, я)+~ «") соя (и, е) с Ват« Пт с = — ( — ') сое(п,у)+ ® соа(в, х) евктогиыи л валин Гл,д Складывая есе трв выражеипя в отбрасывая зпачок О, получим следующую формулу: $ э.йг 11ш с (11) /аа, ар /Еа„да, 1 /да За„1 = ~ — * — —" < соэ (и.
х) + ( —" — — *)соя (и, у) + 1 — э — — *) соз (в,г) А„= А„соэ (в, х) + А„соэ (и, у) + А, сое (и, з) Мы можем заключить в силу формулы (11), что если ввести вектор гоЕ а с проекциямп говна = ф — —, тое„а = — "- — —, гоь, а =.у~ — ээ (12) то проекция этого вектора па любое яаправлевие и (в том числе и ва ва- правлевия х, у, з) будет определяться формулой с е (13) Вта последнлл формула даст определение любой проекции эскэзора гоФ в и притон, как видно, совершенно незаеисилюе от амбара координатной системы. Получевиый вами вектор гое а называется эихрем векэюра а; обозвачевие его гоь а происходит от латинского слове гоеог (вращатель).
часто вихрь вектора а обозначают черве спг1 (читается перль, что значит поавглкйеки лаков, завиток). Наконец очень часто вихрь вектора а записывают как векторное произведение оператора Гамвльтока ~ п вектора а: гое а = 17 ха В самом деле, составляя векторвое произведение по формуле Ах В = 1 (А„В, — А,В„) + ) (А  — А„В,) + )г (А„„— АэВ ). где д А, = —, ю' В„=а, В =а„,В,=а, Таким образом, подобно тому, как значение дф/дэ позволяет вмчислктыр в соседних с М точках, лея~ащих яа определевиой прямой, значение только что кайдеввого выражения позволяет вычислить прпблпжевио циркуляцию по любому достаточно малому коитуру, окружающему точку М и лежащему в плоскости, перпевдикулярвой к вектору я. 3. Принимая во внимание, что если мы имеем вектор А„проекции которого ка оея координат суть А„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
