1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 31
Текст из файла (страница 31)
е. 41т (и Х Ь) Ь.гог а — а.гоз Ь (4) Как видно, метод вычисления состоит в том, что когда зсе векторы, кроме одного, положены постоянными, нужно так преобразовать выражение, чтобы все постоянные веяторы оказалвсь перед оператором ~7,. а переменный — позадк него. В качестве следующего примера вычислим гоь (а Х Ь) = ~7 Х (а Х Ь) По общему правилу имеем ~7 х (а Х Ь) '(7 х (а х Ь,) + ~7 Х (а, х Ь) Преобразуем первый член суммы правой части; по формуле для двойного векторного цровзведения имеем С Х (А Х В) '= А (В С) — В (С»А) причем правую часть втой формулы можно написать а шестнадцати различных видах, так как, например, выражение А (В.С) раино также з А (С В) и (В С) А н (С В) А.
ввятогнын ьньлиз Гв. И Полагая в предыдущвй формуле С ~7, А а, В Ь„мы должны дать такую форму правой части, в которой Ь, стоит перед ~7, а а после с7, т. е. мы должны написать ~7Х(ах Ь,) (Ь,.~7) а — Ь, (~7-а) Точно такие же рассуждения приводят п формуле (7Х(,ХЬ) -,(~7 Ь) — (,-~) Ь Складывая оба зги выражеппя и откидывая нвпужные теперь значки с, мы придем к Формуле ~7Х(ахЬ) — (Ь.~7)а — Ь((7.а) + а ((7.Ь) — (а.(7) Ь :яли, что то жс, (8) гос (ах Ь) = (Ь. ~7) а — (а с7) Ь + а йт Ь вЂ” Ь 61т а В качестве следующего примера вычислим бгай (в Ь).
Првждс всего имеем йтаб (а-Ь) = ~7 (а-Ь) ~;7 (а*Ь,) + ~7 (а,-Ь) Но нв (5) ясно, что мы имеем формулу В (С.А) = А (В С) — Сх[АхВ) илв, произведя циклическую перестановку А, В, С С (А-В) В (С*А) — Ах(ВХС) Переставим в втой формуле А с В: С (В»А) А (С.В) — ВХ(АХС) Положим в формуле (7) С (7, А = а, В Ь„тогда получим ~7 (а. Ь,) = Ь, (~7- а) + (Ьз х (7) х а (8) Эта формула верна, но непрнгодна для нас, так как в правой стоит сложная операция (ЬХ ~7) ха, а мы хотим все выразить более простые операции.
Понтону применим формулу (8), положив С В = Ьь, А а и ваяв ве в форма С(В А) (В.С) А+ ВХ(СХА) В результате получим ~7(Ь,.а) (Ь,.'(7) а + ь,х((7ха) Точно так же мы выводам, применяя формулу (7) н полагая С = ~7, .А а„В Ь ~7(в,.Ь) = (в, с7) Ь+ а,х(С7ХЬ) щ нвкотовыи еовмтлы с пиеъвввнциьльными опвг»киями сп Складывав оба выражения и отбрасываяненужные теперь значки с, получим т(7 (а-Ы вЂ” (Ь [7) а + ЬХ(~7Ха) + (а ~7) Ь + ах(17ХЬ) пли, что то же, дтай (а Ь) = (Ь.»7) а + (а-'(7) Ь + Ьх аког а + а гог Ь (9) Положим, в частности, в втой формуле Ь = а. В результате получим а» бтай —,= (в 17) а + ахгоь а 2 (10) й1т пгай»р т7'»7»р = [17 ° 17)»р = '7»»р = ~»р (11) Далее.
по формулам (21) и (26) предыдущего параграфа, вихрь градиента в расхождение вихря разны нулю: гоь бхай»р = О й)т гоь а = О (12) Символическим способом зтв формулы получаются моментально, ибо гос кгай»р = '(7 х 17»р = (~7 х С7) ~р = О так как векторное проивведеппе двух одинаковых векторов равно кулю. Точно так же й)т гог а = ~;г ° (17х а) = О так как зекторно-скалврное произведение трех векторов, из которых двз одинаковы, обращается в пуль. Однако таков вывод формул (12) и (13) нужно признать скорее мнемоническим правилом, чем строгим докааательством, так как обращение с символическим вектором»7 требует известкой осторожноств.
Рассмотрим юце несколько важных длв дальнейшего формул. Пусть »р в ф — две скалвриые функции точки. Составим вектор (14) Тогда цо формуле (2) будем иметь й)т (»р бхай ф)»р й)т бхай ф + бхай»р.Огай ф = »р~1ф+бгай»р бхай ф (15) 1т н. в. к»»за 2. Опврапвк кгай, й)т, год т»~7 могут быть названы диффзреквволь. нммв оьсречш»лв лервсес лорлдка.
Рассмотрим теперь основные дифференциальные операции второго порвдка. Так как Огай»р и гог а суть векторы, к ним можно применить операции й)т и гоц в результате получаем четыре операции й)т стай»р, гог вгай»р, й1т гос а, к»Г гог а; к расхождению же гПт а можно применить только операцию тхай, в результате получится нгай й(т а. Мы уже ввделв (4 14), что Вактогпыя Апьлиз гв.
и этэ Примеввм теперь формулу Гаусса — Остроградского ~ 4(т айаг' = ~ а„сб Заметим, что в рассматриваемом случае В результате получим так ваэываемую формулу Грина (фс~ф + 8габ ф йгаб ф) ИУ ~ф э„И (17) которая при ф ~р превращается в формулу (~р~<р + (йгаб ф)з) ~й' = ~ ф — аЮ (18) а прв <р = 1 — в формулу ~,2Да - $ ~~',17 (19) Поменяем теперь в формуле (17) ф в ф местамк и вычтем получившуюся в результате формулу (ф~~Р + Ягад ф.бгад ф)~6' = ф — 4'.У дф вэ формулы (17).
Мы найдем тогда вторую формулу Грива ) (КМ вЂ” МФЮ - ~~ф —,„— ф-э„'-( бУ т Коиечво, при всех этик выводах предполагается, что те функции, с которыми приходится иметь дело, таи же. как их производные, которые встречаются в формулах, являются пепрерывиыми фувкииями в рассматряваемой области. Но легио видеть, что этв формулы будут верны, например, и тогда, когда вторые пропэводвые функция ~р и ф терпит па векоторой поверхности разрыв. Из формулы (19) вытекает следующее представление оператора Л~р: г эв (.у 9 — т— (21) т-е Если теперь мы имеем поле векоторого вектора а, то мы можем определить вектор ~7за = Ьа апалогичмым соотпошевием $2» $(в ~7)сей ~:" =с-е ' ц (22) 1 17 пвнстОРыв ФОРмулы с диФФИРинпиьльными Опврзпиями 17з Если вектор а имеет составляяяцие а„, а„, а,: а = (а + „'П + (са, (23) то очевидио, что $зе ~з» з д да=)]ш ь Р гйз ~- )Лз -4- ) Ьа, (24) таК ЧтО ПРОЕКЦИЯМЯ ВЕКтОРа ~1а ЯВЛЯЮтоа ~а„,,ГЗаз, 1,'1Е,.
Аналогичной формуле (19) является формула г~,л,а гйг $ — з1у = г)г(п-~г) а аЗ (25) Применим символический метод я вычислению вектора го1 гоь а: гоз ию а = ~ух(77ха) = ~7 (17 а) — (77 17) а 17 (ггг е) — ага го1 гоС а = йгаг) г)1Р а — 1~а (29) Дарим более строгий вывод этой формулы. Вычислим для втого составляющую вектора го1 гоь а по оси я.
Имеем а д го1 гоз а = — гоз а — — гог.„а = х з г дге Прибавляя и вычитая по -,ф, получим: д —, г()э в — ~а так как такие же равенства имеем для осей у и з, то, умножая соответ- ствепио па 1, ), й и складывая, сразу получим го1 гоь а = игам г)1Р а — ~а — + (ч-17) Р = Р— — Егере р аг 1 р (27) Воспользовавшись формулой ((0), можем переписать зто уравнение в другой форме дг Рг 1 р- — Р71гозч + йгаг) — = Р— — йгаг) р 2 р (29) 12г 3. Рассмотрям графе формул. Мы вывали в иой жидкости Ззсз азаг,) г1 Ь ~ В*,) = теперь вевоторые применения выведеипыт в атом нарез (5 п.
6 осиовпое уравиепве гидродииамикв адезль- Ввнтогпый Аналнэ Гл. И Сделаем теперь еще добавочные предположения, а именно: () Будем считать, что вектор внешней силы Р, действующей на едвшшу массы жкдкоств. обладает потенциалом 0 (такие силы наэываютсэ коясерважазяэьеа): (29) Например, если действует сила тшкеств в ось э направлена вертвкально вверх, то (/ = яэ (ЗО) /с Будем кроме того считать, что плотность жидкости р является функцией давления: Р = ((Р) (3() э этом случае жидкость наэывается барстропиой. Это имеет место, напрвмер, для несжимаемой жгщкоств (р — сопээ): далев это имеет место для тех движений газа, которые происходят иэоэир,еичесви, т.
е. прн постоянной температуре, так как а этом случае, как иэвестно пэ фвэвкн, по закону Бойля-Мариотта, имеет место равенство р ггТр, 'г. е. р!р = сопэБ наконец равенство (3() выест место я для тех дввмгенвй гаса, которые проксходят изэитрояиисви, т. е. так, что выполняется равенство ге ) — сопэс г" (32) (ЗЗ) и заметам, что йгаб Р Р' (Р) Втаб р — бган Р .аэ Р 1 1 у <//1 (34) Поэтому уравнение (23), прк эыполневкв упомянутых выше двух условкй, может быть переписано так: ат / рэ1 —, — ч к той т = — бгаб ( Е1 + Р + — ) — стад П д/ (35) и и+ +~~ (Зб) Восьмом теперь какую-нибудь точку жидкости М, и проведем череа нее ляпаю тока МоМ.
Составляя криволинейный нптеграл по этой лквнв тока от обеих частей предыдущего равенства, получка э, ° /(г — ~ (эх гоэ /) ° /(г = — ~ йгаб П /(г где к есть отношение теплоемкостей прк постоянном давлении в прв постояшшм объеме; вэ термодннампкк известно, что ари выполненвв равенства (32) движение каждой частпцы жидкости происходят беэ какого-либо притока клн отдача тепла. Введем теперь в рассмотрение функцию $ Ет пккстогык Фогмупче с дноовгвнцигпьнымк опвулпмямп $31 Но в канпгой точке ливии тока касательная к ней имеет то же на.
правяэнке, что и вектор скорости т, т. е. ег — Хч = О, ипи огхч =О ег Поэтому на аннин тока М,М (ч Х гас ч).дх = гос ч. (ЙгХч) = О В реауаьтате равенство (37) принимает екд (38) В частноств, в случае стационарного движения, т. е. движения, в котором ч, р и р ве эаввсят от времеви В а могут эависеть только от координат х, р, г, мы будем иметь, что $=О и, спедоватеяьво: П (М) = П (Мэ) = сопээ (33) т.
е. е случае етаииснарногс деилгениэ идеальной барстрояной геидкоети, нахадтуейея иод дейетеиае еснеереатиеных сил, едоеь еаждсй линии вгска сугьни бг+ Р+ — = опас г* (40) дг + — + — = сопэь р ч* р 2 (41) Воэврагцаясь н уравнению (35), т. е. считая условия 1) н 2) выполненными, сдеяаем теперь другое предполоигевие, а именно, что рассматриваемое нами движение жидкости явпяется беевихревым, т. е.
что (42) ч бгаб ф Мы энаем, что в этом случае гоьч = О Далее мы имеем очевидное равенстяо (43) =т — х- бгаб ~ т дз (44) сохраняет постоянное гначение. Зто равенство нааывается уравнением Бернулли; прп этом П наэываэтся яотенпиальнсй энергией, Р— енутренней энергией и фгг — кинетической энергией (отнесенной к единице массы). Таким абрагом, при укаэанных условиях сумма кинетической, потенциальной и внутренней энергий сохраняет постоянное эначекке вдоль линии тока. Например, дая случая несжимаемой ягццкостн, находящейся под действием силы тяжести, будем иметь Го.
И эвкторнми АЯАлиз 182 и, следовательно, равенство (35) принимает зид пгаб -ув- = — йга<1 (( дч Отсюда следует, что — +П дэ дг не зависит от поиожевия точки в моягет зависеть тоаько от времени, так что дв+ + + 2 Рв (45) во всей обаавти, занятой Ачидкостью. Это равенство ваэыаается антвврадам Коши; оно имеет место дах бвввихрввых двивхвний идвахьной баро- тронной жидкости, находхгавйсх лод действием аонсврвативных оих.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
