1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 34
Текст из файла (страница 34)
РассмотРии тепеРь РадвУс-вектоР г (6ы 6„6з) и составим пРоизвод- дг вУю —. ПосколькУ пРи ДкффеРенпкРовавкк фз в йз счнтаютса постоан- деч нымв. годогРафон вектоРа г Явлаетса кооРдннатпаа линиЯ йы а потомУ дг вектоР имеет напРавлекае касательной к кооРдвнатвой линки йп еез т. е. дг — = Нье, дт1 дг где Н вЂ” длина вектора — . 1 де, 13» ввнтогный АЫАлиз Гз. В Из предыдущего равенства легко выведем, з силу того, что ег есть единичный вектор: или, так как — — 1+ — 1+ — к а д аа аз дю ая1 аз, аз, то Аналогичные рассуждения криводят к трем формулам: аг — Н,е1, дю — =Не, аг а э СбЗ где 4в'=(б б В)*-(д,') +Я) +( —",) С*=1,г,з~ (9) Велвчины Ьз, бз и Ьз называются д в ф ф е р е н ц и а а ь и ы м и параметрами первое о порядка.
Покажем, что векторы ~ай д„бгаб дз и бгаб дз образуют систему векторов, ваанмвых с з —, — и —. Длв етого, согласно (19) з 8, надо дг дг ю' ае, аю показать, что йгаб дз -т — 1 дг б. бд,. =о П„ь1ф дт, (10) Но, умножая обе части равенства аг д аг дз дз1 а бд1 + а бдз + а "ддз скалярно ва бгаб дг, мы получим Щ = Втаб д; от = (дгаб д; — ) йдз + (бгаб д; ..р — ) пдз + ~ йгай д,. у — у йд аг дг дг 1 откуда, в силу произвольности Ыдп Ыд„бдз, сразу следуют формулы (10). ВелнчивыНюНзвНзназызаются козффициентамн Лама. Рассмотрим, с другой стороны, трн вектора втаб д~ (~ 1, З, 3)- Вектор бгаб д~ направлен по нормали к координатной поверхности д, = сопзс; позтому, если мы обозначим через ел едввичный вектор нормали я атой поеерхноств, направленный в стороку возрастающих значений де то мы будем иметь бтаб д1 б,е,* б ц 2, з1 (8) где Л, — длина вектора бгаб дь Очевидно, что кгнволинвнны в коогдвнаты 1 (в (27 Коренное отличие криволинейных координат от обычных прямоугольных еаключаетса в том, что в криволинейных координатах направления векторов е„е, ег (а равно и ег*, ег*, еге) зависят ст того, для какой точки 31 вти векторы определяются.
Допустим, что мы рассматриваем в точке М вектор а; разложям его по трем некомпланарныи векторам ег, е,, ез: а а,е, +а,е, +агег Совершенно аналогично мм мотли бы разложать вектор а по трем некомплапаркым векторам еге, ег*, еггг а а,'е,'+а,'е,*+а *ег' ег Ег (( 1,2,2) е;.ег = О, ег'-ег' О ((-ьь) (13) Поэтому, в силу (6) в (8), необходвмые и достаточные условия для ортогональности криволинейных координат можно записать в одной нв следуюпшх двух вкаивалеатнмх форм дг дг дз дз дт дв дг дг дт, дт„ды дт„+ дд, дег + дтг дт, ('-яд) (14) или же дтгде, де дт де де, й ~д,В 1р„- — — + — — + — — -О ((~д) (13) д*д* дддг д. д Для ортогональных криволинейных координат между Н, и ~ существует весьма простая сввэь. В самом деле, в силу (13) мы имеем дг 6 г) ог = гггег, дег а потому первая из формул (10) дает 1 дг= — (г 1,2,3) Ыг (16) так что, в частности, имеем формулы йтаб рг * — (( - (, 2, 3) гч н, (17) Наиболее часто употребляют к р и в о ли ней им е о р т о г он ал ь ни е к о о р дн наты.
Так называются такие кркволикейнме коордннатм, координатные линии которых в каждой точке взаимно перпендикулярны. Очевидно, что днландркческие к сферические координаты являютса ортогональиыми. Ясно, что длв ортогоиальных криволинейных коордпват мы имеем равенства Вкктотныи АнАлиз Га ц 3. В дальвейюем иы будем рассматривать исключительно ортогональные криволинейные координаты.
Для таких координат разложения (11) в (12) совпадают а а,е,+а,е,+а,е, (18) Мыбудемиаэыватьа„а на криволинейными составл я ю щ и м и в е к т о р а а или же и р о е к ц и я м в а е к т о р а а на оси криволинейных координат. Беря в частяости эа а вектор Й', мы получим ог — бр~ + — яра+ — ггтз = Нъотгву + Нэстзез + Нэетэеэ (18) сг дг дг ст» аю аю так что составляющими вектора г(г являются йн = Н,ИВ ( 1, Ц З) (20) Воэамзпая обе части равенства (19) з квадрат к замечая, что (й)* = ИР, е,' = 1, е4-е„= О (1 ч( й), получим дла квадрата длины элемевта бг формулу ~Ьз Н",йД + Н'„'Йб + Нздбзэ (21) Пусть г(г = йгУ, где Ж вЂ” бесконечно близкая к М точка; проведем через Н три координатных поверхности, поторые вместе с тремя координатными поверхностями, проходящвми через точку М, образуют криволинейный бесконечно малый параллелепипед. Очевидно, ребрамк этого параллелепипеда будут служить (22) сЬг НАдп сЬ, = Н,йд„На, = Н,ддз во тогда грани его будут иметь величины Нс, Н,Н, Ыр,Жом Исэ = Н,НАр,йа„Ыаз Н~НЩРАд, (23) а объем его будет равен ПУ Н,Н,Нэг(р брэгг (24) Приведенными в этом пункте формулами очень удобно пользоваться для нахождения коэффициентов Ламе.
Так, например, легко видеть, что а цилиндрических координатах ребрамв бесконечно малого криволинейного параллалепкпсда являются Ьз = бр, ~(гз - Рйр, 4гэ = Нз Сравнение с формуламв (22) показывает, что для цвлиндрвческих ко ордвнат Нг =1, Н„=,, Н,-1 (25) Точно так же дла сферических координат имеем Ызэ= гН6, юг = Нг, Ыз, = г а1 и 9 йр кэиволинвиныв кооэдинэты и Иоэтому Н,=1, Нэ=г, Н =гз)пб (26) Задача 1ЗЗ.
Найти коэффициенты Лама длп цилиндрических я сферических координат по формулам (7). 4. Для того чтобы пользоваться криволинейными координатами, нужно уметь выражать в этих координатах все основные векторные оперэдии. а) Начнем с рассмотрения йгаб ф. Мы, очевидно, имеем 612, задача 89) йгаб ф (фм д, д ) = — йтаэ( ф, + — йтай оэ+ — йтаб у дг дт де дтэ деэ деэ и, воспользоважпись формулами (17), сразу получим бгаб р= — '- — т+ — э — ~+~--~ — З, аВ йэ дтэ Зэ дгэ (27) Этот же реаультат можно получить иначе; в самом деле, проекцией нгаб у ва ось с, криволинейных координат по самому определению является —, ко в силу Ив,=Нддс, мы имеем дг дээ ' 1е О 2, 3) т. е.
те же самые выражения для проекций нгаб т, что и в формуле (27). Задача 1ЗУ. Доказать формулу (27), показав, что ;э,' —" —" Зг=бр Задача 140. Вычислить йтаб ф в цилиндрических координатах. Ответ: Зги1 ф = с — + Й вЂ” +е,— (28) Задача 141. Вычислить йгабф в сфсрвческих координатах.
Ответ: йгаб ф = е, ~-~- -э эг-)- — эз —, (28) б) Рассмотрим 81та. Очень удобно для вычисления 81та в нривоаикейных координатах применить формулу $14э 'у' а,ад в 61т а=11ш аэяв эа )г объем бесконечно малого криволинейного параллелевипеда (фвг. 63), одной из вершка которого является та точка М, в которой ищется экачеиие 81т а. гз. и Вхктогпын Анализ Грань ММэЛэМэ этого параллелепипеда выест аеавчвву а(оэ НэНээ(тахта( ноРмальнюэ к атой граня составляюшая вектора а равна — а, (мы счвтаем, что ММэ налраалево а сторону аоерастаюп(вх аначеввй рв внешняя же нормаль к рассматриваемой травя направлена а противоположную сторону), поэтому поток через граль ММэЛэМэ будет равев— о,НзН4дэр(д,.
Противоположная гравь МэЛэЛЛэ стлвчается ог травм ММзЛ,Мз тоаько тем, что ей отвечает значение оэ + Идэ кооРДвваты Р„ значения же других воордвнат ка етпх даун травах одвв в те же. Поатому ррр поток черед грань М,ЛзЛЛэ будет равен ф 4) (а Нэнз + — у-; — ' а(аэ~ а(аэ (аз Складывая его о лредыдушпм выражением, получим для потока через две грана ММэЛэМэ в МэЛэЛЛэ выраженно ~~~ба (аааа* аэ к аналогично для потока через грана ММ,ЛзМэ в МэЛэЛЛэ в через грани ММэЛэМэ в МзЛзЛЛэ д(азпзпэ),( э ( Скаадыаая все трк выраженвя, получен полный потов деля его на обьем параллелепипеда У НэНэНзэ(тэкдэйуэ, получим окончательно (в ~~ну,ы а (а,н.н,) а ( .н,нэ) ~ (30) Жйрнз( ав + Зю + аю В частвостп мы получаем формулы д(нрнй о1т ез йпму-— д(нана 6)т еэ йН вЂ” — —— д(н,на '((т ез йН„-в- — у —- (31) 8 а а а ч а хай Вычислять 6(т а в цвлквдрическвх коордкнатах. Ответ: ( д(дар) ( да да э((та — —.' + — — + — * (32э д дд д дт дз пгиволипиипыв коогпинхты 3 а д а ч а 1И.
Вычислить 6!ч а в мрерическах коордвватах. Ответ: ф д(г*а„> ф д(коба ) $ да К ~" +Ужб сВ +" 34 (33) в) Рассмотрим гох а. Првмеввм формулу ф (б $в М го)ч а Вж — у— Чтобы получить проекпиж го$ а иа координатную ливию ух, нужно веять за С контур ММейхМе; пложадь бесконечно малого криволинейного прямоугольника, ограниченного стим контуром, равна, как мы внаем, йв - Н,Н, (с(ое Нетрудно далее вычпсавть $ а.Ыг, святый по вампнутому контуру ММ,Л~|М . Прежде всего отличается от предыдущего ввтеграва только тем, что в вем координата (а кисет другое аначевие сз + «(се, еначения же других координат те же, что а в интеграле а. с(г П оетому ~ а й =~(сеНе + — ~ — -'~йрх) Ирх м.я, Дв Точно так же можно вычислить а.й =асНФре, ~ а.от= (аеНс + ' ЫЬ~ Ыре я)г.
м~фц Постону Деля сто выражение ва йа» мы и нолучим требуемое аыражевяе (гох а)~ — [ —— ы (о.и,) н,тб) эт. сы ( (г~х а)е ~ — ( — — — г ~ь~~н,) с(,я,)1 льы( зж с ) ( ).= — ( —— ж ~.,л,) о ~е,и.п = И,Н,( Сг, дж Га. П вкктогпыи акьлиз Если припять а=с„то получится формула псов,=с тс-в — 1 — е — ) =~Згас) В Хс, 1 ди 1 дл 1 з с дтз Згдг дгг г (35) Задача 1бб. Исходя кз тождества гоьбгабдс=О, доказать формулы гоьес=З-ЗгабН,хе, Р Е з, з) 1 (36) с и, исходя пз вих, восстаковить формулы (34).
Задача 143. Исходя па тождества б(т (в, Х ез) = е, ° гоз е, — е, ° вгз е, я формул (36), получить формулы (31) п затем (30). Задача 146. Вычислить гоьа в цилиндрических координатах. Ответ: С дв, гоз а=- — — г р дт дс да да гоь а= —— Ф дг дд (37) 1 д(дат) 1 дсГ гвьг а = — —. Г дд Г дт Задача 1Ф'. Вычяслить газа в сферических коордякатах. Ответ: С д(в,сше) Г дв го( а= — )в г г с З дз двг 1 д(гв ) гоьг а = — — У- гивг дг г дс (38) г д(,) (д, гоз а=— г г дг г де Задача 148, Вектор —, где г есть радиус-вектор, является солегз' иоидальпым вектором Я 14) и, следовательно, может быть представлен в виде вихря некоторого вектора а ($16). Найти вектор а.
У к а з а к и в. Воспользовавшись сферическими координатами, попробовать сделать предположевие. что у вектора а отличка ст куля только составляюп(ая а . Ответ: р(=газа, гДв а,=О, а =О, а =— 1 1(т) — ссзс г ивз Здесь ((у) — произвоаьиая фувкцив. г) Рассмотрим оператор Лапласа. Тав как ггф=сНчйтас)у, то, воспольаовавшпсь формулами (27) и (30), мы сразу получим выражение оператора Лапласа кунволннпнныв коотцкнаты Так, например, в цвлинцрнческих координатах будем иметь ~М вЂ” -(р — ~+ — — + 4 1 д/ дФв 1ЛЗФ Лво е сея (40) а в сферических ~М-Ы( ",,)+, Й8 сб(-'"И)+~-.ЫД 3 е д а ч я аер. Вычислвть в"1г"'.
Нанти частное решение уравнения 1 1-В (41 ) Ответ: ~1г'а гл (зв + 1) г .г ( — ',г) =-', 5. Разберем несколько задач на криволинейные координаты. 3 е дат а эЮ. Вектор а аадап своимв проекциями ва оси сферических координат г, 8, <р: (42) где 4 — постоянное число. Выяснить, является ли вектор а потеипаальпым и если а бтад ф, то найти ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
