1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Если жидкость несжимаема, то понучкм а!+ +о+2 (46) идя, есхя воспользоваться (42). (48) Рассмотрям теперь случай сжимаемой жидкости. В этом случае уравнение неразрывности имеет звд ($ 15, формула 42) -у)-+ ч йгаб р + р 41ч ч = О др †, + пгаб ~р.бгаб р + р~~р = О др (49) Уравнение же (45) принииает вид — + У + Р + 2.
(бгаб <р)в = й (1) 1 (50) и так как Р есть определенная функция от р, то получилось два уравнения с двумя неизвестными функнкями р и ~р. Остановимся в частвоств на случае малых конебаний свсимаемой жидкости пря отсутствии внешних сив. Таким обравом надо положить У = 0 и кроме того надо пренебречь всюду квадратами проиааодвых з сравнении с их первыми степепямв. В результате певучим дв+р А'р (51) де + Р = й (1) (52) н можем отсюда найтв р. Мы знаем, что е этом случае уравнение нераарывпости имеет аид б)чч = О (47) ( зт нвнотогыв еогитлы с диеевгвнпиальнымв опвгзпиями ~ах Сделаем теперь замену фувипии ~р, положив ф-Ф+~а(г) й Тогда, очевидно, будет ар дю ж аз с з+б()' Позтому предыдущая система примет вид: ",йй.,~уь о (53) +г о дю Продвфферевцнровав последнее уравнение по д получим (54) ачв а + где аг 1 ал ~ араз ага~во а = ж ~~р)е-, срю хз ж — =Р (р) — — —, Таи как колебания газа предполагаютсв малымв.
то р и о мало отлвчаютсл от свечений ре в рз, ссответствую~цих состоянию покоя. Обозначим через сз значение (55) в в силу уравнения (55) будем иметь — = — с ~Ф ар й (58) Поэтому уравнение (55) приводит вас к уравнению длв функции Ф Р вЂ” *ЬФ -0 которое носит вазвавие еыиавого рраелемвл. Вернемся еще раз к уравнению (35), т. е. опять будем считать условия 1) в 2) выполненными. во не будем теперь предполагать двюиение безвихревым, инымв словамв будем считать, что (60] отличен от нуля. вычисленное для значений ре в ре величин р а р; тогдаможем считать.
что ьР д АР (57) к ю ввггтогньги енелиз Гл, П В этом случае можно составить дифференциальное уравнение, определяющее изменение вихра Я с течением времени. К выводу стога уравнения мы сейчас и обратимся. Для етого применим к обеим частям уравнения (33) операцию юс, в результате получим гоью- — гоВ (т Х гост) = — гоФ 3габ П ст Но мы имеем следующие формулы: прежде всего ясно, что с огог т са гог— Ф щ дс далее, по формуле (6) (62) ь(тх ьт) гоь(тхЯ) (Я*С7)т — (т т7) Я+тб(т Я-Я ~» т (63) Наконец по формулам (12) в (13) мы имеем гоь йтеб Н = О, 61т Я б)т сох т = О Позтому уравнещге (61) принимает следующий внд — +(т ~7) И вЂ” (Я ~7)ч+ Яб(тт = О дц или, вспоминая связь между полной и частной производными вектора 513, формула (18)) ец — „— (Я-Ч) + Яатт =О Это уравнение и определяет иаменевяе вихрей с теченвем времеви.
Мы выясним характер этого изменения более подробно в дальнейшем. В качестве следующего примера рассмотрим вопрос о вычислении ииветвческой свергни з гидродинамике. Допустим, что мы рассматриваем движение неожнмаемой жидкости. Рассмотрим некоторый произвольно вырезанный объем жидкости Р, ограниченный поверхностью 3, тогда злемевт объема В', имеющий массу рг(г', будет обладать кинетической энергией Р ТИР Т = ~Р х с(г Если мы рассматриваем безвихрезое движение несжимаемой жидкости, так что т = йгаб <р (67) то мы будем иметь Т - -', р ~(йгаб~р)'Ю (68) а полная кинетическая знергия всего объема жидкости Р будет равна $17 нзкотОРыз ФОРмупы с днеезэзнпн»льнымв Опзт»пнями 1ээ По формуле (18) мы можем преобразовать зто выраженно в случае, если й есть одвоаначная функпвя, к виду (88) Но для беэвзхревого двнжеши весжзмаемой жндкоств, как мы знаем б)т у = ~ Гр = О (70) в, следовательно, т= — ршр — Ы г ея 2 з д» (71) Заметвм, что если жидкость ограввчена неподвижной твердой степкой, то вдоль вее жидкость может только скользить, так что на такой стенке непременно должно быть Р„О (72) н следовательно, в нашем случае (73) Б = — йтад ГР (74) Если поле проксходат от одного ааряда е, находящегося и начале координат, то ГР = (75) Сила, действуюшая на заряд зг, будет равна Г Р = еРЕ = — е, ягад— Г Подсчптаем ту работу, которую надо затратить, чтобы наревести заряд а, нз бесковечностп в данное положение М (г); эта рабата, очевидно, равна той работе, которую совершает сила Р ка перемешевне заряда нз точки М з бесконечность." Г» О» ОГ Г Г Г»т м» ГУ ~ Р Г(г — з, ~~йгаб — Г(г = — е, ~ Г([-ГГ (77) В частности, если 1кндкость ааполняет односвязную область, ограввченную нсключвтельво только веподвпжвымн твердымв стеннамн, то она не может совершать нккаиого безвнхревого двзжевня.
В самом деле, в етом случае потенцнал скороопи ~р — непременно одноевачвая функция, н, следовательно, пркменвма формула (71); но так как ва всей позерхностн о выполняется условие (73), то Т О, т. е. кинетическая внергня жидкости равна нулю, следовательно, все ее частицы покоятся, 4. Рассмотрзм аналогичный предыдущему вопрос об анергкк электростатического поля. Мы уже знаем, что электрическое поае определяется потенцкальным вектором Впйсгсгиын Анализ гз. ц Полученную величину можно ваавать вошекяпальясб зяаргиея свалили дерк зарядов. Пусть теперь змеем систему а зарядов е„ез,..., с„, находящихся е точках Мъ Мъ..., М„, и пусть гм оаначает расстояние между точками М, в М„.
Тогда мы получим потенциальную зпергию системы зтих зарядов, образовав всевозможные произведения п ваяв их сумму: 1 нее и г. г (78) причем коэффициент Т нужно ваять потому, что каждая комбинация ! значков ( н к встречается дважды. В рассматриваемом случае мы имеем для потенциала выражение с р- ~,„ А ! где гь — расстояние переменной точки М„до точки М. В частности мы ямеем, по (79) йа = й (М) = Х -„' (80) г-1 "и есть значение в точке М, потевпнала, происходящего от всех остальных зарядов (штрих у суммы покаамвает, что при суммврсзавиа надо пропустить значение й = ().
Тап как Ф п го получаем, тго п 2 (81 ) 1 Допустим теперь. что мы имеем непрерывное распредвление зарядов по некоторому объему У; если объемная плотность зарядов ость р, то в алемевте объема й' будет находиться заряд реУ; обозначая соответствующее значение потенциала через й, получим вместо (8() формулу 2 ~~ Р (82) (83) где (', — любой объем, охватывающий г*. определяющую потенциальную звергню ааданвого пола зарядов. Так как впе объема г' плотность заектрических аарядов р О, то можно также написать »7 пико'РОРыв ФОРмулы с диеоигвппиьльными опврапняив»бт Но мы видели ($ (5, н. 7). что плотность электрпческих эаридов определяется равенством б)т Е = 4кр (84) влв, что то же, равенством (88) Поэтому, выражая потенциальную энергию Р»' черее аначение р, будем иметь в свау формулм (83) И' = — — ) ~р~)»ГА' 1 Г г, (86) Воспоаьзуемся теперь формулой ((8), е реаультате получим К (Кгао Р)» (Р— а-- $ Ф $ Ю (87) где я, — поверхность, ограничивающая рь Возьмем за я сферу весьма болыпого радиуса Я, который мы будем аатем стремить к бесконечности, и ааметим, что если есе ааряды находятся ва конечном расстоянии, тодляф в д»у/дв мы будем вметь, как можно дакаэать ва основании реаультатов одного иа дальнейших параграфов, опенки где А в»8 — постоянные числа.
Поэтому, так как величина сферы Ю, раева 4ЛЯ', мы будем иметь 1" »уд с~~~ <»4я)7 Я Г дт А В» скАВ Отсюда следует, что Вш <~ф е и»' = О де а»» д» А тогда иа формулы (87) вытекает, что УУ»--~ (бгаб ф)'»()' — ~ Е'А)г $ д — йч = д — (бгаб р)с (88) где интегралы берутся по всему бесконечному пространству. Получевнтай реэультат мы можем иначе истолковать следуюпцдм обрааом: в алевтростатическом поле энергия распределена по всему простэанству, причем на каждую единицу Объема приходится количество энергии, равное Вкитогнын Анализ Гл. 11 5.
Рассмотрим е ааключевие этого параграфа несколько аадач. 3 а д в ч е 12д. Докааать формулы (т 17) фа = а (т.дгад ф) + ф (т г7) а с.пгад (а Ъ) = а (с г7) Ь + Ь.(с.~7) а (с г7) (ахЬ) = ах(с 17) Ь вЂ” Ьх(с.су) а (а х Ъ) гоФ с = Ь.(а. 17) с — а (Ь ~7) е (90) (91) (92) (93) (во поводу последней формулы см.
зад. 57). 3 а д а ч а 127. Доказать следующие формулы (ахг7)хЬ (а.С7) Ъ+ ахгоз Ь вЂ” а йт Ь (94) (95) (а х ~7) х г — 2а Щ х а) х Ь вЂ” (а 17) Ь вЂ” ах гас Ь + гоС ах Ь + а 41ч Ь (96) 3 ад а за 128. Доказать следующие формулы, являющиеся аналогичными формуле Гаусса — Остроградского: (ф г(1т а + а дгад ф) ду = ~ (Ь гоз а — а гоь Ь) гдг ~ф дд" (ах Ь)„оЛ (97) (103) 3 а д а ч а 129. Доказать следующие формулы $ фф $д8 = ~ (ф 51ч (ф дгад 7) + ф йгад ф 9гад у) ор (99) в г 2 1~ф —.юйу = $ ((1'ур)з + (дгад ф-йгад ~ур)) йг (100) (ахйгад ф)„~И ~ азад ф.го$ а Нг (101) 3 а д а ч а 1дд. Доказать.
что если йч а = О„то ~ в.(гоз ах 1'.га) Ыя = — ~ ((~а)з + гоь а.~ гос а) орг (102) в г 3 ад а за 121. Доказать следующие формулы, являющиеся аналогичными формуле Стокса ф г(г ~~пхдгад ф) ° — 'а(У г с в $ фа.й ~ (ф газ„а + (йгад ф Х а)„) 23 (104) с в гае в — единичный вектор нормали а точках поверхности Я, опирающейся ва контур С.
$!7 нккотоРык ФОРмупы о дпеевРввп~зльнымв сккРапвяки эзз 3 а д а ч з 182. Докааать формуяу и Иэ ~ (йтад в х бтаб э) -в сИ Ф с где Я вЂ” поверхность, оппракпнаяся ва ковтур С, в — едпвичвмй вектор нормали к втой позерхкоств, и и и — две перемевпнх фупкцпв точки, 3 ад а ч а 1ЗЗ. Доказать справедяввость следующего ввтегреяького представяеввя оператора Лаппаса Лф: 1~ф = 6!!ш — йг— фк- Ч» а-э П06) где ф, — эвачевве функция ф з той точка О, в которой вычисляется эва- чевве 1~ф, а фа есть среднее эвачепве фувкцяв ф ва сфере Лв радиуса Я с центром а только что укаэаввой точке: Дяа доказательства можно поступать, например, следующим образом.
Обозкачвм через ИП текескый угол, под которым авдея вз точка О эяемевт ~ьу сферы Лп. Подобно тому. как цевтрзпъкый угол, опвриопщйся ка дугу 'длпюз 1 окружности радкуса г, кемеряется в радвавах веди- чввой получающейся от депзввя зелвчвкы площади сИ па квадрат радиуса сферы, ввнмв словами, измеряется зеявчпкой плошади той части сферы едввпчвого радиуса с цектром з вершине теяеспого угла, которая вмрезается эткм тедеевым ужом. Ясно теперь, что С другой стороны очевидно, что г г эя у Поэтому ф — ф,- — У И вЂ” фэ) и1 г позучаюшейся от деяевпя дявпы дуга ва радиус окружкоста, теяескый угоя бй, опирающвйся ва аяощадку сьу сферы Юа, вамеряется величиной Гл.
Н внктогныв он*лис Но мы можем написать, что вели аначевие ~р берегся е точке сферы 3в, то П вЂ” Ва 1 — а:Г г ар дг о где интегрирование проиаводится по радиусу, ядув1ему ие центра сферы. Поетому Ьо о й Но иа формулы (21) следует, что дг д3 г [(о'М)а+ е1 = З кга [(о~'р)„4- с1 Р = где е — бесконечно малая вместе с г величина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
