1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Повтому дг 3 (~-~ Р)а $ дт 4 в, Следоввтевьно, а а В 1 Г 4 т % = 1 кг 1(~."ур)о + в1 йг = — ((~~р)о)гйг + — ) го3г в а 1 з 3 з) о а а с ХХ (~~сф)а +Х(оаа 1 где са — бесконечно малая вместе с ХХ величина. Формула (106) вытекает ие нолучепной формулы, как непосредственное следствие. 3 а д а ч а ХЗе. Докаеать, что если в — переменный вектор, численная величина которого всюду одинакова, т.
е, [а~ = сооеС, то (107) (в. 17) в = гоС ах в 3 ад а о а ХЗб. Вычислять, чему равно в [йтаб (а.п) — гоС (ах в)1 где а — переменный вектор, а в — еднявчный постоянный вектор. Ответ: б[ч а. 3 ад ао а Хдб. Докаеать, что необходимое и достаточное условие того, чтобы переменный вектор а мог быть представлен в форме .(10а) а = <р ягао) ф где ао и ф — переменные скалярные функции, состоят в выполнении равенотва а.гоС а = 0 (109) 1 1т нвкотогык оогмтны с динокэинпиалънымн опвтапнями $щ Заметим, что если мы имеем поле вектора а, и если мы проведем поверхности сокзз то в каждой точке поля вектор а направлен но нормали к той поверхноста этого семейства, которая проходит через рассматриваемую точку.
Для доказательства необходимости условюг (109) составим гоь а: сот а гоь Ор йгаб $) и гоФ бган ю + йгаб ~рхйгаб 9 йтайнхбгад ф (110) Ясно, что полученный вектор перпендикулярен вектору а. Докажем теперь достаточность условия (109). Пусть имеем поле вектора а, удовлетворяющего уравнению (109). Возьмем какую-нибудь плоскость, тогда ка ней, вообще говори, можно провести семейство Г ливий, в каждой точке которой касательнаа перпенднкуляриа вектору а. Так, например, если мы завышен плоскость Оку п в ней какую-либо точку М и какую-либо кривую, проходнщую через точку И, то условие того, чтобы единкчный вектор касательной к этой кривой в точке М ю из. кт.
— = — 1+ — ) щ аь ю быа перпендакулярен к вектору а, состоит в том, чтобы о„Ых + а„ву О, ааа 4ь~ кт ез ед а такое уравнение всегда может быть пронитегрировано. за исключением случал, когда в некоторой областк рассматриваемой плоскостн окажется а„ = а„ О, т. е. вектор а окажется как раз перпендикулярным к рассматриваемой плоскости. Но в атом случае можем исходить пз другой плоскостн. Проведя теперь через все точки какщой линии полученного семейства вихревые линни вектора а, мы получим семейство поверхностей.
Пусть уравнение етого семейства поверхностей есть й (х, у, з) = сспаг Докажем, что вектор а в каждой точке любой вз этих поверхностей направлен по пормалн к втой поверхности. В самом деле, рассмотрим определенную поверхность о в на ней произвольную дугу кривой АВ. Покажем, что взятый по этой дуге криволинейный интеграл от вектора в равен нулю: а Нг=О Действительно, проведем черев точки А н Н вихревые линии вектора а до пересечения в точках А' и В' с той линкей вышеупомянутого семей- ввктогныи анализ Гл О ства Г, всходя вв которой была построена поверхность Ю.
Составим теперь криволинейный ивтеграл от а по пути АА'В'ВА; он равен $а Аг = ~~ гос„в г(о причем поверхностный интеграл взят по куску поверхности Я, ограниченному контуром АА'В'ВА. Но ведь на всев поверхности В гоФ„а = О ибо зта поверхность состоит ва ввхрезмх линий, так что в каждой точке Л вектор гоь а лежат з касательной плоскоств ы 8, Итан а.бг+ ~ адг+ ~ а.й+ ~а.г(г О (Ш) яя' юя' ал вя Но по выбору ливии А'В' мы имеем ~ а.г(г О А В' (112) а.йг= О, г) а.Юг=О яз' вЪ' (113) Из сразненвя (111), (112) в (113) следует, что в.Ыг = О яз для лгсбсго пухи АВ на поаерхноста 8, что может быть только, если з каждой точке Я вектор а направлен по нормали.
Но тогда векторы а и бгад ф коллииеарвы и, следовательно, а йбгадф что и требовалось доказать. 3 а д а ч а 13У. Докаеать, что всякий вектор а может быть представлен в форме (114) а = р лгал ф + бган )( где й, ф )( — переменные скалярные функции. Для доказательства рассмотрим вихревые ливии вектора а. Мы знаем, что поле вектора гос в соленоидально. Позевку мсжяо вровеотн два семейства вихревых поверхностей (вихревой поверхностью взвивается поверхность, образованная вихревыми ливиямв) ~р = соаез. ф сопзз (115) Далее, на ливиях АА' и ВВ' по самому определению вихревых ливий вектор Ыг парвллелев вектору го1 а, последний же по условию перпендвкулярев к вектору а, откуда вытекает, что ва АА' и ВВ' вектор Аг перпендикулврев к а, в, значат, 1 11 нвнстОРыя ФОРмулы с диФФВРвппмлльпымп Опнрьппямм гее таянм обравом, чтобы интенсивность вмхревой трубпв, лежащей мвкду двумя соседввмн поверх ностямн ф сопес, «р + Йр соваС (116) п двумя соседвнмв поверхностями (117) была равна как рав Жрдф.
Так как каждая впхревая линяя лежат па одной нв поверхностей ф сопж, то непременно гос а ) угад ф н точно тан же гос а ( угад 1р Отсюда вытекает, что по напраялеппю гос а совпадает с вектором угад рхугад ф (118) Ио рассмотрим поперечное сечение вышеупомянутой бесконечно малой трубки, перпендикулярное н оси трубка, в составим поток вектора гор а черен его сечение. Бслп расстоявне между поеерхвостямп (116) в рассматРвваемом меоте Обоепачпть чвРее Йгг, а Расстоанве мюндУ повеРхностямн (117) — черве дле, то по определенны градпента (угад ф ( —, ( угад ф ( ' лф Есля далев угол между поверхностямв (115) в рассматриваемая точке обозначить черве а, то поперечное сечение вышеупомввутой трубки будет представлять собою параллелограмм, стороны ноторого равны ел~ мел а плошадь равна до' Нлетвг ива с другой стороны (угад ф х угад гу! (угад ф((угад ф) в)п а фф~ —" ~ДОтсюда следует, что потоп вентора (118) через рассматрнваемое сечепве равен бр дгр, тан же пан н поток вектора гос а.
Поетому, меняя, евю, в случее нужды, снап у ф, мы будем иметь (119) гос а угад ф х угад 1р Заметим теперь, что гоь(ругад ф) угад ф х дтадф (120) я, следовательно, гос (а — ф угад ф) О Отсюда ораву следует формула (114). 13 н.
а. колла ввктогнып Аазпиэ б 18. Кржюлпнейцые коордакаты 1. Кек мы знаем, поаоженае точки М в пространстве может быть определено ее радиусом-вектором г относительно некоторой аеподвижной точки О. Б прямоугольных декартовых координатах мы имеем для радпуоа-вектора г выражение Однако во многих задачах выгодно определять положение точкн М не тремя декартовыма координатами х, у, з, а тремя другими числамв д„ дэ, дз, более отвечающими рассматриваемой 6 ~астной задаве. Мы предположам„кроме того, что, обратно, каждой такой тройке чисел дм д, дэ бт й отвечает свои радпус-вектор г и, следовательно, з, некоторая точка М (пногда приходится, как мы увидим на примерах, несколько ограничивать 1.эап область пзмененка пеРеменкых Дв Да Дз).
Величины д„д, дэ называются крпзола- в е й а ы и а к о о р д в н а т а и а точки М. Фвг. ЗО Тек как всякой точке М отвечают трк ко- ордапаты д,, д, д„, то каждая вз зтнх коордапат, например д„является функцией от радиуса-кантора г' д1(г)=д,(х, у, з), дз(г)=д (з, у, з), дэ(г)=д (х, у, з) (1) Обратно, радиус-вектор г зюбой точки пространства, вполне определяясь заданием трех васев д,. д, д, является функцией от этих перв. манных: г(д, д„д ), а, следовательно, к компоненты етого вектора х, у, з будут функциями от д, д, д: *=*(дм д,.
д,), у=у(д,, дм д,), з=з(д„дэ, д,) (2) Поверхкостп уровня фувкцви д,(г), т. е. поверхности дз (г) = сопзз образуют некоторое семейство поверхностей. Рассмотрим еще два семейства поверхностей Дз(г) =сопзС, Д (г) = сопзз Через каждую точку М пространства проходит по одной поверхиости каждого семейства (фаг. 60). Навовем эта поверхности координата ы м н п о в е р х н о с т я м и. Линии пересечения двух координатных поверхностей навозам к о о р д к н а т и ы м н л н в я я м к. На координатной липин д, очевидно, меняется только координата д„ координаты же дэ и дэ сохраняют неизменное эначеане. В качестве крамера рассмотрим цилиндрические а сфераческае координаты. В пклквдрическмх координатах (фнг. 61) поаожеаве точки кгкеолппввнын кооглвнзты определяется тремя координатами 6з р, дз ф п фз = з.
Формулы (2) ннеют авд х ссеф, у= рззпф, г=з 3 р ( ) Иеменяа координату р от О до со, координату ф от О до 2к, коордвнату з от — со до + оа, мы получим все точки пространства. Координатными поаерхностямв являются р = сопаь — акаякары с осью Оз ф = сопеь — аоаузлеековтк, огрезачеееь1е осью Оз з = сопеь — васскосгв. еерпеаавкулярвис осв Оз Коорйкнатяынп лкннямк являются: лучи, перпендикулярные оси Оз в вачвнающвеся ва етой осв (ливвя р), окружности с центром на оск Оз.
лежащие в плоскостях, пер- I кендвкулярных зтсй асв (лкнвн ф), и пряные, параллельные осн Оз (ливни з). В сфернческнх координатах (фкг. 62) положение д точки определяется коордкватамп 6ь г, 6з 6 и дз ф. Формулы (2) имеют акд х гзгпдсоеф,у= гыпдз!пф з гсодд (4) Фвг. 61 Изменяя г от 0 до са, 6 ат О до к в ф от О до 2я, мы получки все точка пространства. Координатякмв поверхностаыи явлаюгся г = соваз — сФеры с аевгрок О 6 = сокз — поауксаусы с осью Оз ф = сопеь — воауалоекосги.
ограавчеккые осью Оз Коордпнатнымп лавками являются: радиусы(лад вви г), меридианы (ливвп 6) и параллелв (лкнвкф). 2. Возвращаясь к общим криволинейным ко.з оРДпватам ды фз, йы введем в РассмотРевве едкФмг. 66 ввчпые векторы е,, ез, ез, направленные по каса- тельным к координатным акпвяы в точке М в сто- РовУ еозРастапиа, соответственно, пеРемевных ды 6з в дз (фнг. 60).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
