1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 38
Текст из файла (страница 38)
и позтому яз формулы (40) путем предельиого перехода е О в простых алгебраических преобразований мы выводим формулу 1Г»"»В1Г1ЯВ1гд1 4 ) ° ~" +4 У" ° 33 У 4яТУ' —.'Р~ Первый елен правой части называется, как мы аваем, о б ъ е и в ы м потевдаалом; ввтеграл типа с (! ч. Р,~ » носит ваававпе потевцаала простого слоя, наконец, интеграл типа р(ч. ),4) ы- —, йУ Я 1 р„- —,—,~ -~ ~р (45) »ь В самом деле, примем з этом случае за о' сферу Яя радиуса )! с цевтром в качала координат и устремим затем )! к бесковечвости. Тогда, так как при веподвижвой точке Р мы, очезвдво, имеем, что !пп — ! а »ел то, как легко убедиться, 1ф 1 ув»,бУ ~ ~ 4ил х за Отоюда следует, что Вщ $-,фИУ = )!ю $»р~ — „»43 О ьа за Цйй'-„--' 5У~С' — "„"„~ аа Замечая мще, что ~ 1ЬЕ,(р ~ Л ~,(р легко выведем из (43) формулу (45). возит пазьаиие в о т е в ц и а л а д в о й в о г о ел о я. Таким образом формула (43) дает вредставлевие любой фуикцви й (иепрерывиой вместе со саовмв перемыв и вторыми проиаводвыми) з звде суммы трех потевциалов» объемиого, простого слоя и даойвого слоя.
Если при г со, т. е. при беспредельвом удаление точки ва бескокечвость, фуикцвя р стремится к пулю в притом так, что иа сфере Ь'е радиуса В с цевгром е начале координат выполняются неравенства ! йга»(»р ( < л»,,„, !»р ~ < — „ (44) гхе Х вЂ” есть некоторое положительное число, то формула (43) принимает более простой вид 119 опгядвляввл ВиктОРА по аго ВихРю в гАсхеящанвю 123 Воззратимсе опять к формуле (43) я яредполтким теперь, что функция р есть функция, удозлетзоряющая в областм У уравнению Лапласа: К11Р = О, Такие фупкцвв вааызаются г а р м о н и ч е с к и и и (прв атом предполагается, конечно, что фувкцвя р непрерывна вместе с ее первыми н вторыми лронззодпммв). В атом случае з формуле (43) пропадает объемный потенциал, к мы получаем предстазление гармонической функции ф = — <У вЂ” — саар — — шл ~Р— — о~У ГК1де 1Г д1 ЕН 'Л' г д» Зя Л д» с (47] з виде суммы потенцвелоз простого и двойного слоя. Эта формула полностью определяет значащее фушщни ф зкутрп области У, золя на гравзще атой области вазествы авачевия функции ф и ее йормалькой производной.
Однако, обычно бывают вззествы или звачеввя только самой фувкцвк ка поверхности Я (задача Дирихле) илк яю только значения ее нормальной провззодкой (задача Невмава). Таким образом знание только формулы (47) не позволяет нам решить ив аадачи Дирихле, нн задачи Неймана. Отмзтвм здесь, что задание функция ~р на граничной поверхности 3, области У полностью определяет гармоническую фувкцвю ~р звутрп етой областк. Доказательство совершенно авалогвчяо доказательству теоремы единстзеивоств з п. 2. В самом деле, если ~р~ и <рз — две гармонические а области г' фувкцвя (так что ~'~~рг = О, ~'~~рз = О), прпвимающве ва поверхности Я одинаковые граввчные значения (так что су» = цч ва Я), то функция ~р = ~рг — ~р, будет гармонвчзская функцкя (ибо с'Рр = 0 внутри У), для которой иа позерхноетв 8 окажется ~д = О.
Но тогда из ураавевия (13) вытечет разенстзо (14), откуда, з свою очередь, будет следовать, что йгаб гд =- 0 в значит го = совем Но так как ва поверхности 3 функция <р обращается в О, то Ясно, что ф = 0 асюдУ знУтРи У. Итак, звУгРв У бУдет кг — — ~Р», Точка так же аадавие нормальной проиазодной д~р( дн на поверхности 3 определяет гармоквческую фуивцвю <р с точностью до постоянной.
В самом дале, если <рс в цз — дзе гармонические функции, имеющие на поверхности 8 одвнакозью нормальные производные, то функция ф = ~р1 — <рз есть гармонвческая фуннция, для которой д~р/дн 0 ва поверхности Я. Но тогда па формулы (13) следует (14), а из последней еытекает, что йгаб~у 0 в авачат ~р созаз. Итак, ен — ~д» = сопзз. Заметим, наконец, что для с.еучоя есеео бесеонечного нространсемо, еорноническоя функция ф, удоелетеореенцая но бесеонечностиуслоеелн (И,', тождгскшенно обращается е нуль. В самом деле, при зыполиевин условий (44) справедливо рааевстзо (45), пз которого следует, что ф„= О, ибо гармоническая функция ~р удозлетзоряет уравнению ~уд = О.
ввктотнып энэлиэ гэ. д б. Воавршцаемса теперь к вапюй основной эадаче. Нам нужно найти потевцвальшэй вектор а бгаб ф расхождение которого всюду иэвестпо н удовлетворяет унаэаивыв в начале п. 4 условием Йта р Ивымп словами, нам нужно решить уравнение Пуассона ~ф = р (х, у, э) (48) Юслв эвю ураелэлпе плесы рскмлие и лрижал удоэлэвморлэееэе услоэале (44), то согласно формуле (45), этны решением может быть тольно Ньютонов потенциал р и' ч' ь) лэ гч "ь (49 ав 1 у(е — ) + Ь вЂ” чр+(* — 4) Но так кан ыы не внаем наперед, имеет ли уравнение (48) решеняе, то нужно проверить, что функции (49) действительно удовлетворяет ураввеввю (48).
Заметны прежде всего, что если мы имеем Ньютонов потенциал, распространенный по некоторой области У, конечной или бесконечной (50) У то е точках вне объема г' аылолпяется уравнение Лапласа (51) В самом деле, если точка Р ленсвт вие объема г', то г в интеграле (50) не обращается э нуль, и, следовательно, можно производить дифференцирование под энаком интеграла по х, у, э; в результате получим ~."1г'р=~ р ($, тэ 0 Ьг —,<((' йгабр т = ~ р бгабр — ИУ 1 г (52) арвчем эаметим. что поскольку переменной считаетса точка Р, функция р нри. унаеаивом дифференцирования принимается аа постоянную. откуда, в силу (37), вытенает (51).
Рассмотрим теперь тот случай, когда точка Р лежит внутри объема Р, арвчем предположим, что фуккция р ($, ц, Ц непрерывна вместе со своеми первыми частными проиаеодными э этом объеме К. Вмчислим, чему равно бр1т = 41т бгаб 'т. Составляем прежде всего $19 опрэпвлввив Ввкторз по В1'о ВнхР1о и Р*схожчвпвю 2М Если мы будем счвтать радиус-вектор Р направленным от точке ГГ'.Я, ц, 5) к точке Р (Ш р, з)1 то мы будем иметь г Ор й й — „= — -= — — „ Рз (531 Заметим теперь, что существует простая фориула 1 1 Егай р — — бгайо— г (54) В самом деле, а правой части атой формулы мн считаем я г переменное уже точку (), а не точиу Р, в, следовательно, точки Р а ~1 должны у вас поменятьгл местами, т.
е. мы должны вметь 1 РО ягайс— г и так как 'Ру —,гР, то и получается формула (54). По поводу формулы (52), которую можно, в силу (53), написать В ВИДЕ бгайР 1Р = — 1з —,,йР Г рг Р (55) 1 йтайр Ч~ = — ~ р йгайс — Ыг г Применим теперь формулу в атайоф бтайсфф — ф дгайо т 1 положив в ней ф р, ф —; в результате получим брай р %' — ~ йтай с -~чу + — бгайо р в(г Г 1 г 1В н. в козш необходимо сделать следующее аамечашге. Подывтегральвая фувкцвв в интеграле правой часта обращается при г = О в бесконечность, так что этот интеграл принадлежат к числу несобственных интегралов; однако, этот интеграл глодится, так как подывтегральнаа функция будет при г О бесконечно большов второго порядка, а известно, что объемные интегралы сходятся, если подынтегральная функция обращаетсв в бесконечность порлдка виже третьего (считая г бесконечно малой первого порядка).
Однако дальнейших дифференцирование по точке Р под знаком интел рала мм уже не имеем права производить, так как при етом подывтегральная функция сделается бесконечно большой третьего порядка, в интегралы перестанут сходиться. Мы поступим иначе.
В силу (54) перепишем формулу (52) следующим обраеои Виктордыи ьпьлиа Гл. и Заметам ватам, что ко обобщенной формуле Гаусса-Остроградского Кгайс йг $ г ео +$ Н а и в пределе прв е 0 йгайо — йр = ~ — „и р ьрв Поэтому мм получаем представление дтай Ч'. йгайг Чг — ~у — Ю + ~-„йгайс рйу Срв С1 е ЬгЧг= й(тгагайРЧг= — $й1 Р „4У+) й1тгфйгайср)йр .<Е1я(Е> с, в т Применим ватам формулу й(ч (Чж) в й(т а + йтай ~р а (56) При этом мы должнм векторм р(()) а Я) и йгайс р считать постоякиымв (так как овв ве зависят от точки Р); поэтому рп 1 1 д 1 й1тг — йгайг — ° рв = — йгайс — ° рв — р —— г г дь й)тг( — йтайе Рг1 Псайг †.йтайе Р— йтайс — йтайе Р г1 1 1 В ревультате нм получаем а 1 с Л <г Р а — й8 — ~ бган —, йгайсРйу (67) Чтобм найти значение правой часта атой формулв, мы должны провеста рассуждение, совершенно аяалогачное тому, которое бмло проделано при выводе формулы (43), но только доажны всходить ве иа второй формулы Грива (36),.а ив первой формулм Грина Ор'()'ф+6'а ф йтайф) й" 'у'ра й'У Полагая в этой формуле ф — и применяя ее к обьему г', (фвг.
66), 1 г мм найдем формулу (прв этом точка Р считаетсв неподвижной, так что вес диффереипировавия происходят по точке ~)с Огай ~Р бгай -ЫУ бакР— — 48 + <У в — -по с а1 с а1 $ а ° 7аег т е х в виде суммы потеипиала простого слоя и объемного потенциала. Теперь мы поясам составить,(),Ч.'. 4 1И Онрьщюпгнин ЗИПГОГЬ ПО аГО ВИХРЮ И РЬСХОЖПВНИЮ 2<7 Производя пере*од и пределу при з О и пользуясь формулой (42), найдем, что 1 Г д 1 4шр~ ~йгм)о~р-бган~ — Ар — "р р — ьЫ Полагая в етой формуле р = р, мм а полу щм из (57) формулу 1."и ьу — 4ир~ (59) епределяющую значение 1~'У з точке Р.
лежашей внутри объема У. В сиучае функции (49) областью р' является все бесвонечное пространство. Возьмем любую точку Р, з окрестности которой функция р непрерывна вместе со сзоюгв нераммв частиымв производными; тогда пусть рь — объем, првнадлсжаьций атой окрестности в заключающий мочку Р, а Из — вся остальная часть пространства.
Вводя обозначения )озрик= г,ь ь )гзоз будем иметь сьргрь = — 4прр в силу (59) и 1"~рЧгг О з силу (51). Складывая два полученных равенства, вайдам формулу что в требовалось доказать. Итак вектор а (х, р, з) — —,йгаь)рь 1 г р <5, ч, ь) «У СО яв1щощв рщпевием системы уравнений гога=О, 61«а=о <61) 7. Переходам теперь и нашей второй задаче: решению системы (60) ь)1«И=О, гога=и <69) причем, навечно, предполагается, что зевтор и удовлетворяет услозвю ЬВТИ=О (Вьг"и ( ( А арв )) ао р ь<ь<1 ь-раьрьр ° °, * и, ° °,ь берется знаьещш м, до начала координат в А — конечиаа величина.
1бь Кроме того, мы наложим ва вектор и следующие ограничения: вектор и (х р, з) есть непрерывиаа вместе со своими первыми частнымв производнымв фувицвя всюду, за исвлючепвем, быть может, конечного числа воверхпостей. На ртах иозерхмк«щх разрыва «арле.ььвах состаа.еязвг(лл вектора и дазз«иа осшсзатьсз непрерывной. и «ьозь«о «асатсзьяяз сасшасьзюауал осшаора ммохгст теряешь разры«.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
