1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Допустим, что поверхвооть Я зать сфера радиуса а о центром э начале т 1Р опэвпвлвиив ВвктоРм по.иго ВихРю и Расхоящвнию 22Х ОР" ОР = еа Координатами точкв Р», очевидно, будут а"Р 'г+ Р+ *' Обоэначим еще черве га = Р»(Г' расстоивие переменной точки О пространства от точки Р, яж. ат Заметим теперь, гго есле точка () лежит на поверхности сферы о', то, согласно эадаче 40 $5, мы имеем соотношение Г* а 1 а — — ала — = — аа о' г Н » = На» 1 а Но функция —,, а, следовательно, и —, очевидно, являются гармовическима фуккцкямк от точкк О аиутрк сферы о. Сраввввая соотяошевве (98) с формулой (95), мы видим, что можно привять а а б (х, у, г, е, ть ь) = я (Р, Е = —.и — =— (99) у а' — ха (»$ + РЧ + т4) + (а' + Р» + аа) (Г + я" + Р и следоеательно, 1 а О (Р'Е й' Вычисляем теперь (100) г а 1" » й бес- — — „+„- —,„ где г РО, г» Р~ф поатому прк обоэвачеияих фиг.
67 дп сола а аоаб а — а йгабо О = — — — — — 1- Н а» принвмаи теперь эо внимание, согласно фиг. 02, что г сое и а — Л сое Ра гсоа б = е сое 8 — Л аг г Н легко Вайдам. что ВС а» вЂ” На координат. Пусть мы хотим определить аиачевие функции р а точке Р (х, у, с), лежащей внутрв этой сферы в отстоящей от центра этой сферы ка расстоянии ОР = А.
Обоаначим через Р' точку. симметричную с точкой Р относительно сферы Я, т. е. точку, лежащую на продолжении радиуса ОР в отстоящую от точки О иа расстояние ОР', таком, что Вкнтоэнын лквлпз Га. ц Поэтому для сферы решзнкс задачи Дирихле дается так шшываемым яятегралом Пуассона (Р, (а~ — Л~) 4, ф~® й т з (101» где Н = ОР, г = Р(».
Рассмотрим теперь вопрос о решении постаалсяной в самом начале атого пункта задачи Неймана. В этом случае иа поверхности Ю заданы апачавин нормальной кроизводиой искомой гармонической функции Н, и потому нужно попытаться исключать из формулы (93] аходвшие з нес значения функдди ф ва поверхноств. Для атого попытаемся найти такую функцию Н (и, у, з; а, г), ь) = Н (Рг Е, которая удовлетворяет следующим усдовиям: фувкзщя й (Р, Е = Н(Р, Е) — — „' (102» рассматриваеман как функция точкв (», есть гармоническая внутри Я функция, далее па поверхности о' пронаводная функции Н по нормали имеет постоянное значение в именно равное ЭН ся дв (103» где Ю есть веввчина ппопшди всей поверхности 5. Как вашим, двя опрсдзления фувкцви а нужно опять решить задачу Неймана, во при совершенно определенных граничных условиях. Мы знаем уже, что этвми условиями фувкдия в окрзделяется с точностью до произвольной постоянной.
Можно полностью опрсдевнть Н, аслв поставить аще требование, чтобы фН(Р, О)аг =0 Комбинируя теперь равенство (93) с раванством 1 с ЭЧ 1 Г да. — ~~й — Иг — — ~ —.р и = 0 4я У Эв 4я $дв з 1 ~ йр 4 ~дЛ В силу условия (103) посведвий интеграл правой часта будет произвольной постоянной величиной 4 à — -3-уу (Ч) сЕ = совах Следовательно, мы получаам акоячатвзьное ярсдсшасясяпе гармакввсскод (уупкции ~р через зравичямв значения ез яормавьвов яроиззодвов: ( ) = Р (Р, ЕР 4~У + С (105» вытекающим из формулы Грина (38) (ибо (1й =,~у» = О), мы повучвм, что 1 19 опгвпвлпннв виктора по вго вкхг1о н гесхожвивню Ж7 Сделаем во поводу задачи Неймана одно замечание, а нмевио; аначеиив нормальной производной ор/дл гармовнческой функция не могут задаваться на поверхности о произвольно, так как они всегда связаны .условием (100) вытекающим из формулы (19) $17.
10. Теперь мы можем полностью рзппггь задачу об определении вектора по его вихрю в расхождению для случая конечной области. Пусть нам нужно найти сектор а длн точек области р, ограниченной поверхностью с„есзв известно, что йт а р (я, у. з) взутрв 'г' гоз а и (ж у, з) еаутрв г а 7 (Щ ае псеерзессте 8 (107) где р, и н ) — известные функции, причем функция Г (йу) удовлетворяет условию (109) а функция и — условию 61тм = 0 (109) а (Р) = йтаа <р + гос А + бтаб ф (110) Прежде всаго, полагая р = 0 вне объема Г, составляем функцию ( ) 1 1 р ( В ч ) Р (111) С векторным потенциалом А поступить столь же просто, т.
е. ноложать и = 0 вве объема Р н ватам применить формулы н, 7, мы не можем, так как, вообще говоря, ва поверхности 8 нормальная составляюпгая вектора вихря и„+ О, и еслв мы положвм в 0 вне объема Р, то ва поверхности с нормальная составляющая вектора и будет терпеть разрыв, н рассуждения п. 7 перестанут быть верными. Поэтому мы должны поступить следующим образом1 мы постравм вектор и зие объема )г танич Далее мм считаем, как всегда, что функции р и и непрерывны вместе с частными производнымв всюду кроме, бить может, навечного чясла поверхностей.
В случае, если и внутрв объема Р терпит на некоторой поверхваств разрыв, мы потребуем, чтобы нормальная составляющан вектора и осталалаеь непрерывной. заы найдем решение системы (107) в виде суммы трех векторов вкктогвмы»нанна обрааом, чтобы на поверхноств о велвчыпа и» ие терпела разрыва, в чтобы на бесковечносты удовлетворялвсь условия (63); и возьмем аатем (112) А(х,у, а) ь» 1 » Такой вектор и можно получить, например, следующкм образом: примем, что и йгаб д вке объема У, тогда на поверхности о должно быть и» (113) где справа стоит нормальная составляющая эадавкого внутри У вектора и. Так как от и О, то фуввцыв у должна удовлетворять уравнению хл)( = 0 (114) Итак, нужно определить функцию у, гармонкческую вке объема У и удовлетворяющую условию (113), т.
е. нужно решить задачу Неймана. Заметим, что в силу условыя (109) в в силу теоремы Гаусса мм вмеем равенство м„а(7 0 1. В теории потенциала покаамеаетея, что гармоническая вне объема у. фуккцвя х, удовлетворяющая на поверхпоств Л, огранкчввающей этот объем, условию (113), в котором функцюа м„обладает свойством (115), будет удовлетворять следующему условшо на бесконечиостк (110) ~л'8 бд(й, ть г)(сМ где М вЂ” конечная велвчина.
Мм видим, что вектор и бгая )( удовлетворяет вне объема У всем поставленкзтм требованиям. Веытор Ь (Р) = йгаб й + го~ А обладает, очевидно„следующими свойствами б)т Ъ р ввугра у, го1 Ь м»куту~ р (117) Остается вмполвить последнее условие (107). Составим для етого Ь» (М) = уй + гоа»А ва воверхвоегв Ю к неложны аатем Р (М) = ( ('% — 6«(М) ва ооаерхвоств о» (118) Определвм теперь гармоническую внутрк объема У функцию ф дт у' = Р(М) ш~рэвастя Я Заметим прв атом, что условие (106) выполвается, вбо а(М) и =$)(М) (3 — ~Ь„(М) йУ$((М)дЮ вЂ” ~ В ОЗ вЂ” ~ гог„~Ы3= 0 Г Ве так как е силу (108) $ ~(М) ~р(й' "' ~) ~'-гр 'уа В кроме того тождественно атос„АИЯ = 0 Поэтому по формуле (105) определвм гармоническую функвкю ~р ф (Р) й„— ф 11 (Р,М) Р (М) а(У э 01т йгай ф 0 еэутрэ Г (119'г Так как гоь йтай ф = О эяутра т' ВФ вЂ” Р(М) еэ яоээрхэастэ 3 а» то ка (117), (118) в (120) ясно, что функция (110) дает решенно екстемм (107).
В силу теоремы едвнстеевностз, другого решевкя поставленной эадачв, отлвчного ст найденного решеекя (110), не существует. Теорию, раэаитую в этом параграфе, можно рассмотреть в для случая плоского поля, т.е. поля векторов а, параллельных плоскости яу в аа.- вмсящмх только от коордннат я, у. Прк этом получаются- совершенна акалогнчные эышепрнведенвык реаультаты; мы предлагаем в качестве упражнения докаэать некоторые яа ввх. Зад я ч я 1Ж Какая функция расстояния г между двумя точками Р (я, у) я Д Я, г)) является решевкем уравнения Лапласа в плоскоствр Ответ. )я г. 3 а д а ч а 7ОУ. Найти аналог формуле (43) для случая плоского поля.. 0 т в е т. ~р(Р) = ~,~~р(йгд3 — — $ )8 г=рг(в+ -$'~~~' ~~ й3э (121) э с с где 3 — область, ограниченная контуром С, внутри которой лежит теч ва Р; г = Р Ч. 11В ОПРЗПЗЛЗНИВ ВЕКТОРА ПО ЗГО ВИХРЮ И РАСХОВШВНИЮ 23гя для которой вккчогкыв знзлкз Гл.
И 3 ада за 158. Какой зид имеет решевве уразкевия Пуассона ва влоскссти л~р = р (х, у) (1 22) О т в е т. (1 23) 3 а д а ч а 799. Пусть во всей бесконечной плоскости ззпаиы вихрь в расхошдевие вектора а: а1ча = — з+-ф р(х,у), газа =9~ — — -/)= и (х, р) (124) Определить вектор а. О т в е т. е — — —, о + зе зф ее зф дз де оз з„з, й 20. Равличвые веаторвые коля. Поверхвоствые расхождение и вихрь 1, До сих пор мы рассматривали преимуществавво вепрерыввме ска.ляркые и векторвые полн. Теперь мы рассмотрим несколько случаев, когда изучаемые скалярные или векторные фувкцви терпят разрмв непрерывности в некоторых точках, ка некоторых ликвях илв ва векоторых возерхиостях. Один вример такого рода мы имели в 6 14 при рассмотрении вопроса .об истсчвкиах. Мы видели там, что егин и кекоторой точке, иавример, в вачале координат, ваходится источник обильвоств с, и если з других точках пространства вет шз вихрей, ив источвиксв, то векторное поле будет вотевциальвым и будет определяться формулой где (2] так что Фг гг1 а = ~„-; = —, Если бы источюгк ебильноств е находился а в точке 1(, то поло определялось бы той же ве е начале коордииат.
формулой (3); кри атом, где ф (я. 9) — $ р(6 г)) 16 гяБ яг) ф(, у) — $м (6, ~) 13 г ц3ч~ (126) Зад ач а 760. Вывести для задачи Дирихле ва алоскосги формулу, аналогичную (67), и показать, что для ируга решение задачи Дирихле дается вктегралом Пуассона )7 6 1 ( е(66(з" — дз)л6' (126 зк5 з — Хздсоз(6 — 6'>+ Н» ) гьэлпчкыв евк'гогпыв поля если вектор а определяетса в точке Р, то следует положить г е* ()Р. Есле координаты точки Р суть я, у, э, а координаты точка () суть 5, гв (;, то (х — $) ь (у — д) ь (з — ц 2. Рассмотрвм еще один пример аналогичного рода. Допустим, гго в точке () (фвг.
68) находптса ясточпмя обильпостп — е, в бесконечно же бввэкой точас г)', коордвнатм которой суть 6 + е$, 6 + г(г), ь + эц, паходвчся веточкин обпльноста + ю длвну бесконечно малого вектора (Я' обоэпачпм черве е, орт этого вектора черве еь тав что Я)' еы. Лопустпм далее, что сбвльпость г источников е бесконечно велика, причем проиэаедевве е (~~)' ' ю остается конечным.
Совокукность ясточввков е п — с в точках () п г К ваэывают е этом случае дрбяеякья, а вектор ю кааываыт лпеенввмг дублета. Такую примерно картину ны имеем е сауже магната. когда рассматрп- лупя Уг"ю ад вастся магпптное поле на расстояввях, болыпвх по Фэг ял сравневвю с длавой магнвта. Предполагая, что кроме дублета впкаквх других всточнкков вет, в п что нет также а ввхрей, найдем секторное поле, пропэводвмое дублетом момента ю. нахедяпгвмся в точке ф Иэ формулы (2) очевидно, что э вастовщем случае а бгай Ф причем е г гГ! 1\ Ф +е, (5) Эяг' мп эл ~ м 1 Но равность — — — представляет собою првратенве фупкнвв о' когда точка О перемещается в положение ~)'; эначнт, рассматривая г как фувкдпю точки (), будем вмете по формуле (Н) 6 (А —,, — — — г( — () Д' ° бгайо— (6) причем мы у анака бган поставнли эначок ф чтобы укааать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
