1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Мошно показать, что каждой сферической фувкцпв соответствует свой мультиплат в обратно. 10. В случае плоского появ, т. е. полн вектора а, параллельного плоскости ху в ве зависящего от координаты з, все понятия, рассмотренные в этом параграфе, сохранжот свою свау, конечно, соответственным обрааом вндоизменяясь. Сделаем яо этому поводу несколько замечаний.
В п. 1 мы видели, что происходящий от источника обвльвостн е вектор а определяется формулой ВВКГОРНЫИ АНАЛИЗ Гв. П Вектор а является потевцвалькым вектором (57) (58) Формулы (57) к (58) определяют, как легко видеть, источник обвльвостп е в точке ув плоскости яу. В самом деле, вле всточвпка поле всюду солевопдельвое, вбо в плоскоств 61РВ 618'у ее!а "ь 2 1$ + ъ19 0 1 дв 1 дв 1 дт Если же Заставать поток вектора а черве окружность радиуса В е цевтром в точке 1ГЗ, то ов окажется раввым, в силу формулы (56): в -»»„-—.
2ЛВ = в Мы могли бы, ковечво, ораву получить выражевве (58) для ксточвпка обвльвостп е, во мы хотелв показать, как к етому выраяювпю можно прпйтя, исходя ва источников в пространстве. Поступая теперь аналогично тому, вак мы сто делалп в п. 2, можпо првйтк в потенциалу дублета в плоскости: »в д 1 1 в»севе ф — — — 1» — = —— 2я дв г 2я г (59) Точко также, рассматривая вихревую вать, параллельпую осв Оз, проходящую черве точку Де, вапрюкеввв которой равно Г, нетрудно убедвться, всходя вз формул (29) в (31), что получится плоское поле вектора а, ваправлеююго перпендикулярно вектору В в по велпчкве равного Г Г и ег( Г ГЗ1вадв Г е Получвввое поле можно представить также в ввде Г а = — йгаб 6 2я (61) где 6 есть угол, составлвемый вектором В с ооью Ох. Получеввые формулы определяют, кап легко ввдеть, вихрь ввтевсвввоств Г в точке ~)в плоскости ху.
В самом деле, пз формулы (61) ясно, что вве атов точки поле всюду беевпхревое. Если же составвть циркуляцию вектора а по окружкоств радиуса Я с центром в точке (ве, то ова окажется раввой, в свлу формулы (60), Г 2яя =Г Опять-таки, мы ораву могли бы паппсать вырикевпе (60) для пола вихря пвтевсвввоств Г ва плоскости, во мы хотели покавать, что к етому РАВВИЧПЫВ ВВВТОРНЫВ ПОЛЯ 255 выражению можно также прийти, исходя ив общих формул дла поля, вывывааиого вихревою питью. 11.
Рассиотраи следуюпшй припер, хорошо выаспаюшлй покатав поверхностного вихри. Допустим, что иы нивен движение жидкости такого сорта: внутренность сферы радиуса В с центром в начале координат вращается с угловой скоростью и около оси Оз, жидкость же вневтой сферы находится в покое. Направлая вектор угловой скорости и по оси Оа, иы будем иметь для скорости жидкости внутри сферы выражение т = енг, дла скорости жидкости вве сферы т = 0: В соответствии с стаи для вихря жидкости получим г внутри сферы значение гос ч 2 и, а вне г4еры аначевие гост О.
Постону вихревые ливни внутри г4еры будут прямые ливии, параллельные оси Оа, вне же г4еры двюкевне будет базвихревыи. На В ф первый ввгляд важатов, что получвлссь В, В. противоречие с докааанной в $16 теоремой о тои, что ввхревыа ливии вв могут внутри жидкоста ви вачинатьса, ни кон- ф чаться. Однако, это противоречяе ораву надает, если только мы привлечен к рас- Фаг. 79 счотреиию поверхностные вихри. Вводя сферические координаты г, 8, ф с центром в О и осью Ос, иы оидим, что скорость япщкостп терпит разрыв на сфере г В, притом равный по величине иВ ыв В и направлепныв по параллели.
Каа было выяснено в п. 7. Ото оеначает, что поверхностный вихрь в точках сферы направлен по меридиану и равен иак раа иВ е1в 9, т. е. увеличивается от полюса к экватору. Рассиотрви пояс сферы, покааапный ва фиг. 79 в расположенный между параллеляии, для которых 8 принимает свечения 6 и 8 + ИВ. Легко видеть, что величина поверхности этого поаса равна 2 ЯВ* в1в 9 ~й, проекция же его па экваториальную плоскость су равна 2ЯВа а$н 8 Ом 9 б6. Поэтому черве этот пояс ивнутри сферы выходят 4 яиВР а1в В соа В б8 вихревыв ливий. Выйдя яа сферы, ови сейчас же аагибаются вдоль меридиана, каи поиааако ва чертеже.
В санок деле, черен верхшою параллель пояса, соответствувипую вначевию дополнения широты, равному 9, проходит по вышеукааанному аВ а1в 6 2 ай е1в 9 = 2яиВР азпе9 вихревых папий, а черев нижнюю параллель будет уже проходвть 2яиВР в$п 8 + сй 2 жай* ып' 8 + 4 ювВР ып В соа В бб аа дм 'в> т, е: ва 4 жеВ* ыа В сое 8 бВ вихревых ливий больше. Схематически ввд вихревых лвиий в вх относительная густота поиааавы ив фиг. 79. Ввктогнып АВАлиз гв й 21, Перемеввыв поля а свлопгкой среае 1. В этом параграфе мы расгмотрам ряд вопросов, отвосящвхся и теории переменных полей, т.
е. полей скалярных илв векторвых фупкцив. эависвщих от времеви Ф. Допустим, что мы рассматраваем ввкогорув> сплошвую среду, ваправер жидкость али гаэ, находящуюся в движевип. Для того чтобы апать движение этой среды, кеобходвмо акать скоросты (г, г) каждой частицы втой среды к каждому моиепту времеви. В $13 мы уже рассмотрели вопрос об иамепевип скалярвых а векторпых фувкпвй э том случае, когда приходится рассматривать движевпе некоторой склеввой среды. Мы установили следующие формулы для полных вроиэводвмх от скэлярвых и векторных фувкпдуп а2~ а, +г'йтаб ф а аа ае — -у)- + (1 .'(7) а (2) (в = ~<р ~Ж (3) где и (г, с) — скэларваа функция коо1шиват и времеви, то прв вычпслевва его проиэводвой необходимо учитывать ве только иэмепеввэ фувкцав и (г, 1), во и иэмепевие самого объема г'. 2.
Вычвслим теперь проиаводпую по времеви от вжеграла (3). По общему правилу, даем времеви г приращевае да; аа промежуток времеви Ы частицы, эаивмаюпие к момевту времеви Ф объем г', огравичекяый В этих формулах левая часть представляет провэводвую по времеви ст рассматриваемой фувкпав, высчитаввую в предположение. что эвачепкя фувидпи вычисляются в раэлвчвые момевтм арекова для едкой и той же частицы, перемещающейся в прострекотав вместе со всей сплошвой средой. Как аидво ив формул (1) и (2), полная проиаводвая какой- либо функции состоат иэ двух частей: мествой проваводиой (первый алев формулы), характериэующей вэмевевие фувкцев в даввом месте пространства, а коввектаввого члева (второй члев формулы), характериаующего иэмекевве фувкцки благодара тому, чхо рассматриваемая частица переносится в простравстае.
В первой половиве настоящего параграфа мы рассмотрим воврос о вычислекив полных проаэводвых от интегралов от скалярных в эекторвых функций по жидким сбэелал, ясэерхносюял а апмвлл. Мы ваэываем пря атом объем У жвдкпм, если ов во все время движения сплошвой среды состоат яз сднив и вмв же часжвк ввюй среды. Ясно, что, вообще говоря, жидкий объем с течеааем времена будет деформироваться, так как частицы, его составляющие, двигаются, вообще говоря, с раэлвчвыми скоростямв ч (г, г). Поэтому, когда мы рассматрвваем интеграл по жидкому объему, вапример, пагвмвниыв поля в сплоыноя агапэ х57 поверхностью 8 в аюптрихоааввый на фиг. 80 горизонтальными черточками, заполнит э момент времеви с + Ьг объем г", ограниченный поаархностью Ю' и эапггрихованвый на фиг. 80 вертвкальвымн черточками.
Обозначен теперь общую часть объемоа»» и Р' через Р», объем, заключенный между поверхностямв 8! и Я»' и образованный теми частицами, которые аа время Ьз вышли из поверхности 8, г через Рз, и, наконец, объем, эаключепныв между поверхностями 8» и Яз' и образованный тема частицами, которые аа время Ьз вошли . внутрь поверхности Ю, череа рз.
Очевидно, что»' Р! + Рз! Р' Р» +»»»з Фег. эс в поэтому для приращеввя ивтеграла (3) аа время Ьз получаем выражение "="'+" -''- 5 '+")"- 5 (""'- т»в-г г..~.у, = 1 (Р (г, 1+ Ь1) — ф (г,т))др+Г р (г,г+ ЬГ) ИР— 1 р (г,з) Л' (б) У, Ъ' По теореме о среднем !р (г, З + Ьз) — !р (г, б Ьз( — ) д! !+»м где 0 < Э < з; кроме того,при Ьх 0 обеем Р» обращается, очеаедно, в Э', поэтому 1пв — ~ (Ф (г, г + Ьг) — !р (г, 1))»(р — »(р г а! 1 Если элемент поверхности 8» обоеначить через»»Я, то, как видно на фиг. 80, частицы, проходящие аа время ~И через этот элемент, заполнят элемент объема Рз в виде аилнвдра с основаввем ду в ребрами, величина и направление которых определяются вектором т Ьп Объем атого элемента равен е„Ь1 а(У а поэтому 1»ш 1 1 !у (г, 1 + Ьз) л)! ')»ри»зо з»»а»г а, На части поверхности 8» нормальная составляющая скорости э„отрвцательна, поэтому элемент объема Р» будет равен — э»ЬЗ а58 и постону 11ш — ( !Р (г, 1)Ы 'г' = — ~ Фаз »5У „, А»1 Принимая все полученные формулы во внимание и составляя — = Иэз— е1» .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
