1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Иэ формулы (51) очень легко вывеств теорему Томсона." Если движение идеальной жидкости происходит аод действием сил, илвеюи(их одновначний аотенциал, и если л.ложность есть функция давления (о частности, если жидкость несжимаема), то циркуляции скорости ао любому жидкаиу контуру ео все время движения остаетсз настоенной. В самом деле, при указаввык в теореме'условиях основные уравнения гкдродввамикв могут быть вапвсавы, как покаааио в $17, в виде ,— „=В 6(5г-Р) (52) Поэтому правая часть 4юрмулы (51) првкимает ввд О де=16 4((à — Р).дг в по вэвествому свойству градиента обрашается в куль.
Итак — <вот.дг = 0 г ев шу к (53) Отсюда вытекает, что т Й. = совах и (54) —,', $~."д -$(,—,+ гоьтхт).й (55) и к Но в 4 17 иы видели, что прв соблюдении условий теоремы Томсона ев ег — + гоь тх в = йтад П ягад ( У вЂ” Р— — ев) 1 х следовательно, правая часть формулы (55) обращастсм в нуль, я мы опять восстававливаем формулы (53) в (54). Так кап т.й ~ гое„т Ю где 8 есть поверхность, опвраюшаяся ва ковтур Х, то, путем првмевевив рассуждений, совершенно авалогвчвых тем, которые были приведены т. е. пвркуляпвя скорости по любому жидкому ковтуру остается постояввой. Этот же самый результат можно получать в кепосредствевво вз формулы (46), полагал в последвев а = т: пигкмзнпыв поля в сплошпои сгэдв з 21 221 дар дэе дар 1 Юр д +'рр+дм д ш р(*'"'х 1) (56) левую часть которого мы будем иногда обозначать знаком Д~р1 В т 17 мы видели, что иаучевие малых колебавий сжимаемой жидкости при отсутствии виешвих сил сводится к изучевше уравнения (.)т которое пазываетсв волковым ураввевием, так как в движевви жвдкоств, определяемом этим ураввевием, зозмущевия распростраввютсявовсесторопысо скоростью, равной с.
При с са уравпевне (58) преврикаетсв в уравнение Лапласа. а уравнение (56) е ураввевие Пуассона. Имев это в виду, мы постараемсв применить к исследовзввю уравнений (56) к (58) те же методы, которые мы использовали при р~ь шевии уравнений Пуассова в Лапласа. Мы видели, что решевием уравнения Пуассова 2'.Л- Р(,У х) (59) является Ньютопоз потенциал 1 ( р(5. ч,()дг ел,1 г (60) где г — расстояпие между точкой Р (х, у, э) и перемеивой точкой (Р ($. д, Ц), привадлежащей тому объему, по которому прояаводвтся ивтегрироеавве. 1 При этом фуккпвя — обладает тем аамечательвым свойством. что рассматг риваемая, как фуикцвв точки Р, оиа удовлетворяет ураввекию Лапласа 2~ — ж О 1 г (61) всюду, кроме точки Попробуем обобщить эти результаты ва случай веодиорсдиого волво- 1 кого уразвевия (56).
Роль функции — должка здесь играть такая фуикция Ф (г, г), которая всюду, кроме точки (',), удовлетворяет уравнению ~Ф вЂ” — — = 6 1 РФ М дп (62) в пуикте 5, можно доказать, что при соблюдении условий теоремы Токсова. вихревые линии обладают свойством сохравяемости, также как и квтапсвевости вихревых трубок, т. е.
можно вновь доказать теоремы Гельмгольца, получеивые вами в п. 6. 9. В этом пункте мы рассмотрим векоторые вопросы, сзвэамвые с вэучеписм ураеиевия (с — постояивое число, р (х, у. х, с) — эадапвая фувкпия): ввктогнык Аналнэ гтг Гл. 11 Возьмем точку 47 эа начало сферических координат, так что положение точки Р относительно точки 4) определяется коордянатамв ц б, ву. Перепксав уравнение (62) в г4мрвческих координатах и замечая, что Ф, по условны, не зависит от б и вр, найдем уравнение (63) Отметим теперь одно простое, во важное преобразование (64) доказательство которого ве представляет нв малейших затруднений.
Помножав уравнение (63) ва г, мовкен перепвсать его в виде ав(вФ) 1 дв(РФ> — — — — 0 а аг Легко теперь задеть, что функпия гФ(г,0 )(1 — ) (66) где 1 есть произвольная функцвв своего аргумента, есть решение урав- 1 невка (65). Итак, мы приходим к заключенны, что роль функции — длв обобвценкого волнового уравнения (56) должна играть функция ав (г, 1) У(' — '('1 (67) Но Кгаб = — )(-т ~(1 — — ) + „— 7'(Ю вЂ” — )~ егаб г = — Ц~(1 — —.") + —,' 7ф — —;)~ (66) При малых г вторым членом в скобках можно пренебречь в сраввенва с первым. Поэтому вблизи полюса (',( мы имеем приближенное равенотво 1(в)г (70) Но это равенство соответствует, как мы знаем, ксточвкку обвльвоств — 4к( (1). Следовательно движение жидкости, имеющее потевцвал скорости (67), можно себе представлять происходявцам н силу того, что з полюсе Д находятся точечный источник квтевскзноств — 4н) (1), ввсммоммяся с течением времени.
Однако, в силу сжимаемоств аждкостн, Чтобы вывснвть механвческое эначенве этой функцвв, вспомним, что з той задаче о малых колебаниях авнмаемой жидкости, ретенае которой првводигса к асследозанню уравнения (58), вектор скороств определяется формулой пвгкмкнпыв поля з сплошноя срвпв зтв изменения интенсивности источника ие сразу передаются на всю бесконечную жвдкость; в самом деле, из формулы (67) видно, что з точке Р, отстоящей от точки Ч на расстоянии г, сказывается та интенсивность источника, которая выела место в момент С вЂ” г/с; а так как г/в есть как раэ время, необходимое для пробега расстояния г со скоростью с, то можно сказать, что первоначальное воамущеиие э точке Д доствгает какой- либо точки Р с запаздыванием, равным как раа времена пробега от () до Р со скоростью с. Поэтому выражение (67) можно назвать валам)зсваюерям яотвняиалсе.
Заметим, что так как апачевия функция (67) одинаковы для фвксврозапного значения г, то движение, определяемое формулой (67), представляет сферическую во.вну. Првиимая теперь во внимание. что решевве уравнения Пуассона (59) дается Ньютоновим потенциалом (60), мы можем ожвдать, что решение уравнения (56) может быть представлено е ввде заяаадмваеэ4мзо Нмотоиова яотвяс)иола: ф(х,у,з,с)= — — „) 1 Г р ( . Ч, 1, с — г/всля (71) В $19 ми проверили непосредственным вычислением, что функция (49) удовлетворяет уравнанию (43).
Повторим теперь зто вычисление для фупкцнн (71). При этом ми будем предполагать, что функция р, ее первые частные производные и вторая частная провэводная, взятая два раза по с, непрерывны и ограничены всюду, эа исключением конечного числе поверхностей, на которых они могут терпеть разрывы, и что на бесконечности р является бесконечно малов величиной порядка ие яшке третьего. Для большей ясности.
мы условимся э следукяцем обоэначеяив: символом (/1 мы будем обозначать фушщкю от $, 11, ь, с, в которой вместо с подставлено значение с — г/с (таквм образом Щ есть эапаэдывающеа значение /). Выбрав теперь точку Рм разобьем в (71) область ивтегрярованвя иа две части: па сферу 1', радиуса е с центром з точке Р, и в» зсю остающусося часть пространства в введем обозначения 1 Г рЯ,с — г/в)ВУ ф,(Р, с) г, (72) Когда точка Р меняется внутри сферы Рс, то подинтегралъная функция второго интеграла не обращается в бесконечность, и можно производить двфференцирозаяие функции фз по х, р, з, с под знаком интеграла. Поатому 18 я.
к квела ввкгогнмй АИАлиз Гл. ц а так как прн етом дпфференцароваввв точка () считается постоянной, а функция (67) удовлетворяет волновому уравнению, то Пфз(Р, с) О (73) Переходим теперь к вычислению (:) фс (Р, с). Будем при зтом лредполагать, чго точна (Ра, с), а следовательно, прн достаточно малом з и весь объем (г, лежит внутри той области, где функция Р. ее первые производные и вторая производная, взятая два рава по с, непрерывны, Вычисление проже всего произвести таким способом.
разобьем фз (Р, с) на дее части рс(Р, с) = ф„(Р. с) -+ р„(Р, с) (74) где ф (Р,с) = — (-. Р(Е. С)ЕР (75) асть обыкновенный Ньютонов потенциал, а (Р с) с ( РФ с "сш Р('' с! ср ск с (76) причем числитель подывтегральвой функции вместе с г обрашается в нуль, е сама подьпггегральпая фувкцнл остается конечной. Мы уже знаем, что ~фы (Р, с) = Р (Р, с) (77) йгаб ф, (Р, с) = с„~ ( —,„з, Р(сс с — — ) + —,,„(Р ~ф с — — ) — р (д, с)Цйтас( гсср (78) причем легко видеть, что подыптегральная функция остается ограниченной при г О; в самом деле, разложим ее в ряд Тейлора, ограничившись первымв двумв членами —,. ) Р (О с — — , ") — Р (0 С) ~ = где Э и В положительные числа, меньшие (. Сложевве зтих равенств покааывает, что подыптегральнав функция в (78) остается огравпчен- Так как в интеграле длв фм (Р, с) подыятегральпая функция ке обращается в баскопечность, то вычисление С',фю (Р.
с) можно произвести очень просто. Пражде всего пвгвмкянык поля з спложпоп станк ной. Можно поатому отыскивать акт бгас) ф,е (Р, К), дифференцируя под знаком кнщграла. Пользуясь формулой задачи 143 и замечая, что проек- ция 8габ г вз направление г равна с, сраау найдем, что 1 Г 1 д Сг д гз с"хи„(Р, к) — 1 — — ( — — Р ((), с — — ) + ая ) ге дг [е дс ~ ' о) 1", + Р (СС К ) Р И К)(ККР = М~К~ дсг Р (') К ) (79) Сложение (77) я (79) дает нам.
что к.ке (Р ° П = Р(Р к) ь, Р~О 1 ~ д* г' ду Сдк)) и так как очевядно, что дчкч(Р. К) 1 ( д* С,„г ~ ЕГ г. (81) то сразу находим, что (.)рк (Р, к) - Р (Р, к) (82) Припвмая еще во внимание (73), приходим к окончательному выводу ()р (Р, к) = Р (Р. 1) т. е. решением неоднородного еояноеого ураонессля (83) яеяяетея еаааедыеаюислй Ньюжоное петен цшся (71).
$0. Наряду с запаздывающвм объемным потенциалом (71) мы можем рассматривать также в запаадывающпе потенцаалы простого слоя — о ~8, к), Ь, С вЂ” — С с(а = ~— (84) влн запаадывающие потепцвалы двойного слоя, получающкеся от распределения запаздывающкх дублетов вдоль некоторой поверхности 8. При зтом запаздывающий потевцпал дублета определяется следующим образом. Допустим, что запаздывающий потенциал, происходнщкй от нсточвика, находящегося в точке () (фпг. 68), есть р($, ч, С, с — гке) Р(4 го 4 К вЂ” 'Се) О(4.Ч ~.С вЂ” гд) (85 Г' ( ) т.
е. у источника в к,с' будем брать то запаздывание, которое соответотвуог именно положению сс'. Обоапачвм опять ()Д' = г' — г = й = з'е ка сдвинем злюсь яее самый источник, с его распределением интенсивности во времени, в бесконечно блиакое положение ()' в образуем равность вкктогныв енллнэ гл. и 176 в положим, что ярв бесконечном сблпжевнв всточнвков р растет таквм обрааом, что !(ш ер Я, е), еь, 1) = т (с, ц, ь, 1) Равность (85) будет, очеввдво, в пределе равна г1д1 1 де г' дг т(~,ц,~,г — — ~ — — — — — т~$,ц, ~,1 — — '1 —. е ) де г ее д» (, ' ' ' е ) де Это выраженве мы условвмся обоаначать черед 6 (ее) д 1 1 едм1 дг — — = [т( — — — — ~ — )— де г де е ег (де) де В соответствии с формулой (86) под еапаздывающвм потепцвалом двойного слоя мы должны повкмать выражевве 9 (' 0 ~ дл ° еь' ~~(Ч! де ° ' ° ~ е, ! уа('Ы (87) В $19 мы вывели формулу, выражающую аначенве гармонвческой функцвн р вкутрв некоторой областв е' черве евачевня фуккцвв р в ее нормальной провеводной на гравице Я отой области: м(Р) — $( — — — ф — — )~Ы в(ы выведем теперь для случая, когда функция ф удовлетворяет волновому уравневвю 1 д» ее еег" (88) аналогвчвую формулу ЕЯ У ~ е ~ де~ де влк, несколько подробнее, (90) Эта формула вмеет место, если точка Р лежат внутрв поверхноств 51 еслв же Р лежит вне поверхности о', то интеграл в правой частя формулы (90) обращается в нуль, Прежде чем доканывать формулу (89), выясквм ее смысл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
