1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Таким обрааом электрические токи являются вихревыми внтямя для магнитного поля. 6. Проведем теперь какую-нибудь поверхность 2, контуром которой служат ваша вяхревая вить, в покажем, что векторное поле, соадаваемое ввхревою нитью ивпряжеввя Г, п пола, соедаваемое равномерно распредслепнымп по поверхности Х дублетами плотноотп Г, совершенно тождественны вне поверхности Х. В алектромагвстваме етому обстоятельству соответствует теорема Ампера, утверждающая, что магнитное поле, соадаваемое електрпческвм током свлою У, совершенно такое же, как магввтвое поле, соадаваемое магнитным листком, контуром которого является нроводпвк, по которому течет ток, в который равномерно вамагнвчея, прячем поверхностная плотность магвствама равна Х.
ег Для докавательства воаьмем выражевпе (18) для векторного поля, соадаваемого 4'г равкомерно распределеввымв дублетамн с' ввкгогныи АБАлиз Гл. П представляется очевидио вектором — огхоа вахах; проекция воследвего вектора ва вакравиеиие К)Р равна очевидно Фв х й).вк деля это еыражевве яа квадрат расстоавин РЯ, мы в получим теаесиый угол, под которым видна ва точки Р алошадка, востроеннав ва векторах ~(е и Я'.
ФехегС 'ч Все же иамеиеиие телесного угла И будет ввв оковчательио Отсюда мошко аавшочвть, что игад й Г цХКа а аиачит (34) Ясли ваять Ч = Г, то это аыражевие полностью совкадает с формулой (29), что в докааывает выскаваквое выше утверждение Отметим, что водя, совдаваемые вихревой ливией и дублетами, совершенно одинаковы только вве поверхности Е; востоку в области аве поверхности Е можво водьвоваться в обоих случаях любой ва формул г гас а — юь ~— г а = — — дгад Й еп К) (35) а.ог — —, бгаб Я к(г — Е;.
Ыь) Г г Г однако ва семой поверхноств Е дело обстоит вескольао иначе фуикцвн Й дхя случая дублетов терпит раврыв, шаг 2Ь как мы вкдалв выше, в случае же вихревой вита никакого раврыва быть ве может, або самой цоверхвоств Е в этом случае ве существует, ова была введена нами вскусствевко. Зато в скучав вихревой пити фуикдия Ы получается мвоговвачвой; если заставать точку обойти коктур )ь", охватываннпий один раа контур Е., как вокаааво на фкг. 75, то при вравой системе коордиват фувкдия Й покучит врирапюкие — 4к; ото видно векосредствевио, во может быть также легко доказакс ва осковавкк теоремы Стокса; в самом деле, вычислим циркуляцию вектора а во коктуру )ь: Рааянчнып ВввтОРныв псяп г Кек видно,прирзщевие зтоп цвркуяяцвв резво пропэведеввювэ — е„-- ва приращение телесного угла Я.С другой егоровы, по теореме Стокса циркудяпвя по ковтуру ВГ равна потоку вихря вектора а через поверхпость, опирающуюся па этот коптур.
Но ковтур Е охватмвает едквствеввый вихрь вапряжеввя Г, значнт — г 1Ю2 ~ А(7 — 4п Отсюда в получается (36! 7. В П. 3 был рассмотрев случай распределевпя источвквов по поверх. поста п было показано. что в этом случае вектор терпят ва атой поверх. поста разрыв в своей вормальвой составляюгцей. Сейчас мы прецположвм, что вихри заполз ВЯЮТ НЕКОТОРУЮ ПОЗЕРХНОСТЬ Х, В Поважсв. ЧТО В ' г вызываемое такпмп ввхрямв зекгорвое попе терпят кз поверхности Е разрыв вепрерыввоств. В В Итак, предположим, что поверхвость Х покрыта а- вихрями п пусть плоскость фвг. 76 сечет нормально вихревую ляпаю, проходящую через точку Ч, Фвг. 76 в пусть ввхревая лпвпв смотрят ва вас (ми пояь- эуемся ва Фиг.
76 правой свстемов координат). Обозначим еще через в, адющчвый вектор нормали к поверхности Х в вазовек ту сторову Ооверх- воств Е, куда смотрет вектор юа, пояожктельной, а пратнзоположвую- сторову отрвцательпой. Проведем, как укааано ва чертеже, контур АВСР в ваде прямоугольника, стороны которого АВ = СР = Ж бесконечно малы в параллельны как между собой. так в поверхвоств Х, другие же сторовы этого прямоугольника, перпевдвкуяярвые к поверхности Х, обозвзчпм через АР ВС = срг в тоже предположим бесконечно малыми, Мы предположвм, что общая ввтевсввиость вихрей, лежащих ва по- верхвостп и расположеввых между АР в ВС, раева и А(, т.
е. Ны будем считать плотвость вихрей резвой м. Обозначим череа а' в а звачевяя вектора а е двух точках, бесковечво близких к точке Ч а хежзщвх соответствеппо с положвтельвой в отрв- пательяой сторовы поверхности Е, е уставоввм связь между этпмв зва- чеввямв в ввхрямв, расположевпммв ка поверхности Х. Првмеввм дяя этого формулу з (6: ~гоь а Й7г ~АЯха (37) г з Возьмем объем Р следующего вида: сместим прямоугояьпвк АВСР вдоль вихревой ввтв. проходящей череа Д, т. е. перпендикулярно и пло- скости чертежа, па отреаок Аз.
Прв этом смещения прямоугояьнвк АВСР опишет параллелепипед с ребрамв А(, <Ь, Оя, который кы п воаьмем аа эввгогиыи Ам.йлвэ Гя. м объем г'. Если эа высоту етого параллелепипеда взять ~(й, то одно основавие его будет лежать с положительной стороны поверхности Е, а другое с отрицательной, площадь обоих оснований будет равна ФЯ г(( й' а объем всего параллелепипеда будет Если высоту яараллелепвпеда ~(й считать очевь малой в сравиевви с размерами й и г(г, то в формуле (37) ивтегралом по боковой поверхвости параллелепипеда можно будет правебречь, далее, осповавве, лежащее с положительной егоровы поверхности Е, представляется вектором гИ ~(эв„другое же осиовавие представляется вектором — ~И Й~вы по.
етому для правой часта формулы (37) получаем выражевие (33) Ы гЬ вгха' — Ж ~(эвгХа Левая же часть формулы (37), очеввдво, равиа и яГ гЬ. Поэтому и получаем равеиство и = в,ха+ — п,ка влв 'э =а,к (а+ — а) (39) п~ э( дч $ причем 4(ч Е 4яр (41) ояредэляет вам плотность р объемвых зарядов. Допустим теперь, что ва некоторой поверх- сила Е терпит раарыв в своей нормальной соэтст разрыв в обозначим его через 4яа: костя 8 электрическая ставляющей; вычислим (42) (мы берем в данком случае сумму нормальных составляющих. а ве разность, так кав папрэвлевия нормалей яа обеих сторовах поверхвоств Я взяты нами, кав показывает фиг.
77, раюпнаыми). Испо, что а можво принять эа меру плотности элевтрвческих зарядов, расположеквых вэ поверхности 8. которое связывает вихри, распределевпые по поверхвостп Х с разрывом вектора а. Иэ этой формулы видно, что поверхвостиая плотность вихрей числевпо равна касательной составляющей разрыва вектора а, прячем самые вихри перпендикулярны к втой составляющей. 3. В качестве примера па примепевие полу живых в этом параграфе результатов рассмотрим некоторые вопросы электростатики. Мы видели ранее, что если обоавачить элеитрический потенциал чарва в, то для вапряжевпя электрического полн будем иметь выражеиве Е = — бгаб ~р (40) глаличныи винтогныи поля 3 20 Допустим, что крома раэрыэа нормальной составляющей Е на поверхности о у нас никаких особенностей иет.
Тогда, обравуя суэмву потен- циала раопростралекного по всем объемным варядам, и потенциала ~ акт соответствуиицего поверхностным варядам и дающего согласно формуле (13) как раэ тот раэрыв Е„, который определен формулой (42), мы полу- чим полный электрический потенциал (4З) 4по = ń— ф Рассмотрим, например, такую вадачу: в пространстве находитси Ф проводняков, ограниченных соответственно поверхностями Юц оэ,..., Юэ.
Этим проводникам сообщены ааряды ем еэ... е„, Никаких других эарядов в пространстве пет. Требуется определить электрическую силу я каждой точке пространства и распределение эарядов на проводниках. Так как объемные еаряды отсутствуют, то согласно уравнениям (40) н (41) электрический погенциал удовлетворяет уравнению Лапласа ,,у=о (45) Далее, так как внутри проводников Š— бган н — О„следовательно, е = сопя(. то иа поверхности каящого проводника потенциал должен принимать постоянное вначение1 и соваь = чя аа повврхаестя о1 (4б) Мы видим, что эадача прююлаоь к решению вадачи Дирихле.
Однако нужно иметь в виду, что числа <р< ив даны нам, так как нам аадань1 только зароды ео которые определюотся следующим обраэом е1 $ойу — — — дЯ 1 г дч Е ~1 аа Э1 (47) Если мы рассматриваем проводник, ограниченный поверхностью о, то внутри проводника электрическое пола отсутствует, т. е.
Е = О, а следовательно и проекция Е на внутреннюю нормаль к о' равна нулю. Обоэначим череэ Е„проекцюо Е на внвжнвно нормаль, а черве а — поверхностную плотность варядов (так как 41т Е О, внутри проводника еарядов быть нв может, все ааряды сосредоточены на поверхности проэодиика). Тогда иа (42) будем иметь виктогиын Аналив Га. Ц Решив при зтих условиях задачу Дврихле, по формуле (44) определим расвредеяевие алектричества на каждом проводнике.
9. В п. 1 мы укааалн, что потевцвалом поля одного источника яв- ляется (48) далее в п. 2, формула (7), мы нашла для потенциала полн дублета выраженно 11 г» д 1 у = — — 1 .б-бо — '1- — — —, да 1 1 Ся рц (40) — 0 1 г (51) то и функции д 1 д д (52) будут удовлетворять атому уравнению. Заметим прв етом, что, полагая г = ~/ (х — ц' + (у — в)е + (я — Ь)е д 1 мы должны при образования — — и т. д. счатать перемеииымв коорю~ диваты $, ть Ь точки ~, а при вычислении ~ур счнтать переменными координаты х, у, я точкв Р.
Однако, так как 1 ер угаде — — ы.бгабр— то фувкони д1 д д1 т= ды г ' да» дб р (53) в которых перемеввымв считаютсв всюду координаты точки Р (х, у, я), будут при четном чвсле дифференцирования совпадать, а при нечетном где ж есть направленно момента дублета. Представим себе теперь, что мъг вмеем в двух бесконечно близких точках ф, и ф' два дублета с прямо противоположными момевтамв — ш и + ш и пУсть ()з()е' = заз, где ае — единичный вектоР, опРеделвюший направление от ()р к,1», а е — расстояние между точками Де и Де'. Будем теперь сближать точни 9е и ф' в одновременно так увеличивать, момент дублетов ш, чтобм произведение те стремилось бы я конечной величине 1а Рассуждением, оовершешю аналогичным тому, которое привело нас к формуле (7), мы докажем, что в пределе получится функция а д д 1 4я дм Ум г (50) характеризующая поле аеадруя ыта.
Очевидно, по тому же путя можно идти и дальше, строя различного рода муяьтивясти. 1 Так как функция — удовлетворяет уравнению Лапласа гавличныв ввктогпыв поля числе дифференцирований будут только апаком отличаться от функций (52). Положим для простоты 5 в( ' ф 0 н введем сфервчесвве координаты г, 8, ф с центром в точке О. Функции (53) имеют следуюппвй впд: а а а а 1 Ув(б.ф) Увве дв ''' двв двв г И- (54) Дяя доказательства ааметвм, что в силу рюпевкя задачи (141), мы — (, .) — +. (, 8) — — + (, ф) —.
ае дЕ 1 дю дЕ дв дг , аэ гвш 8 авд вегко повтому нз формулы д д 1 уа в (8. вд) а,, '''а, ° вг а=ад (55) Возьмем теперь точку Д~($, в)) плоскости ху в проведем через зту точку прямую, параллель- д ную сон 02 (фвг. 78). Распределкм ва этой пря- мой ксточнккв равномерно и притом так, чтобы е .18 ва единицу дняны прнходвхась обнльность источ- ников, равкая е, в подсчитаем происходящее от зтях источников поле. Совершенно очевидно, что вто поле будет плоским. Ваяв теперь точку Р (х, у) в обозначив вектор Ю,Р через В, будем вметь, что г = ~/~в + ввв, г  — ()в н, следовательно, вв О (к — 4а)д4 вд ( д( звв ) )/(дв ( (в)в зя ) (яв.( 4в)Ч (56) еывеств формуву (54) и, схедоватеаьво, по ищ(укцнв заключить о справедливости атой формулы (54). Подученные немн фупкцвн Ув (8, ф) носят название сферических фуяяв(вя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
