1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Выбарея любую точку и в пей любое жправлевие в, возьмем малую плошадку о', перпендикулярную к етому направлению, и применим к ней формулу (25): мы получим тогда, что ( — „е — (а-т7)т + ад)те) и =0 (29) для произволыюго ваправлевмя в. Отсюда непосредственно следует условие (28). Докажем теперь достаточность условия (28о). Предположим, что условие (28) выполпепо. к рассмотрим в момент ~о некоторую веиторкую поверхность Ха. т. е. такую поверхность, в каждой точке которой вектор а лежит в касательной плоскости к атой поверхности. Декан<ем что жид- Фвг.
82 кая поверхность Ее, деформируясь, все время остается векторной поверхностью Хг В самом деле. ограничим на поверхности Хэ кусок атой поверхности Ее произвольной кривой Гз в рассмотрим поток вектора а через ХМ очевидно, что ~ . (2=0 (30) ибо в каждой точке Ее будет а„= О, так как вектор а лежат е касательной плоскости к поверхности Хе. Примеиая теперь формулу (23) и замечая, что правая часть атой формулы равна, по условвю (со), нулю, получим, что — 1~л„ЫЕ = О е (3() Б~ следовательно интеграл во все время движения сохраняет постоянное значение, в так аак в момент ю этот интеграл равнялсв по (30) нулю, то во все время двввгспия должно выполняться равенство (32) х, вкктогнын ьньлнв г.п Но сто может быть, в силу произвола выбора куска Е, поверхности Еь только тогда, когда в каждой точке поверхности Е, выполняется равенство а„= О, т.
е. когда в каждой точке поверхности Е, вектор а лежат в касатсльяой плоскости к втой поверхноста. Но сто, по определению, в оеначает, что поверхность Е, есть векторная поверхность. Нетрудно теперь видеть, гго прн соблюдении условия (28) каждан жидкая ляпая Б будет все время векторной ливией, если она является векторной лвняей в какой-нибудь момент ~е. В самом деле, черев положение Ес жидкой лкввн к моменту ге можно пронести две векторных поверхности Ес' в Ес', пересекаюпшхса по лянка Ь . К моменту г жвдкие поверхности Ес' н Ее перейдут в положения Е,' н Е,", которые по вышесказанному тоне явлвются векторвымн поверхностямн.
Жидкая ливия Е„, являюшаяся яересеченвем жидких поверхностей Ес' н Ее', перейдет к моменту с в лвнвю Ь~ пересечения жидких поверхностей ЕГ в Е~'. Линия Ц является векторной; в самом деле в каждой точке атой лввнв вектор а должен лежать как в касательной плоскости к поверхности Е,', так в в касательной плоскости к поверхности Е,; а следовательно ов должен быть направлен по касательной к ливии йо А вто последнее обстоятельство н является спределяюшвм свойством векторной ляпни.
Итак, при выполнении условия (28) векторные ливни обладают свойством сохравяемостн. Образуем теперь какую-нибудь секторную трубку Кс, соответствующую моменту времени ге, и вычнслкм ее внтенсквношъ Гг ) ос <йУ где о, — сечение трубки К,.
К моменту г трубка К, перейдет в векторную трубку К, с янтенсквностью Г ~а„<И где Я, — то сеченве трубки Ко в которое перешла жидкая поверхность Яс, Применим опять (23) а воспольеуемся (28), а результате поаучвм, что е'à —,=О ш и следовательно Г = солса = Г„, т. е. внтевсявность векторной трубки сохраняется во все време движения. Таким образом прн соблюдешгв условия (28) ввтенснвности векторных трубок обладают свойством сохраялемостн.
Выскававная нами теорема доказана полностью. пвгиминнык поля в оплошной откди Дока>кем теперь вторую теорему, а именяо, что условие, необходииое длл гохранленогти векторных линий вектора а, госгиоат в выволнении равенства (т — (а т7) т) ха = О во всей расанатриеаегюй облгыти длк вовк рассиатривааиык моментов вракени Заметим прежде всего, что если оохраняютоя векторные ливии, то, очевидно, еохранеотся в векторнме поверхноета, и обратно. Итак, предположим, что векторные поверхноств обладают овойством еохраняемооти; возьмем в момент ге какую-нибудь векторную аовертнооть Ее и выделим яа ней произвольный куеок Хе, тогда по самому определению векторной поверхности ~ „бВ=О К моменту г жидкая поверхность Хе перейдет в поверхность Е„по условию векторную, а Хе перейдет в Еь Нано, что ),„бВ=О Е, а тогда из формулы (23) еледует, что ~ ( —,е — (а С7) т +войте)-аЮ О для любой векторной поеерхвоетн Хь Отсюда оразу выводим, что ( — — (а.~) т +ай(т т) а = О ва длл любого ветнора в, керлендикуллрного к а, так как всегда можно лровести малую векторную поверхноеть Хь перпендикулярную в данной точке к такому вектору и, Итак, все соетавляюшне веитора — (а.~7)т + авйтт ае т по направлениям, перпендикулярным к а, равны нулю, з следовательно этот веитор даижен иметь то же направление, что н веитор а.
Следова- тельно ( — е — (а.~7) т + а 6(тт) ха = О (34) каковое условие еовершевво экввваиевтво условию (33). Впоследствии мы докажем и достаточность условия (33) для сохраняемоотв векторных линий вектора а. зпктогпын Апалпз Гсс. П 6. В качестве простого првиера выведен условна сохраняеиоств панай тока. Лппвяик тока пазываютск векторные лппнв вектора скороств т, так что вх днфферевцвальныин уравкенвяив являются (35) гз (е, а, с, с) гз (з, з, с, с) гс Се, г, с, с) Полагая в формуле (33) а = т п замечая, что по уравпенкю (2) ее д'с — — (т.~7) т =— дС ся можем переппсать условие сохравяемаатв лазай тока е зпде (36) — схт=О дс (37) где й (г, с) — скалярная функция коордвват в времеви. Введем вместо )с другую функцию р (г, с) равенством в положви Тогда для определенна и получан уравнсаке — и + (А — = д)сп е)с де дс дс — О дн дс Отсюда видно, что чг не еаввсвт от с в является, следовательно, фуюсппей только от з, у, з.
Итак, общвм решепвеи ураваеявз Дб) является г (г, С) = )с (г, с) чс (с ) где р — провзвольная скалярнаа функция от г а с, а сз (г) — пронззольпэа еекторнаа функция от с". Прв этом уравненая линий тока (35) прапвмают знд де дз д се в,с) ссз(е,з,с) ес(з у О Отсюда видно, сто ливии тока не завнсят от времени а следовательно валяются неподввжпыиа. Итак, пы паюла зсе язнжеапя, в которых сохраняются линии тока, а показала. что в этих дважепвях панна тока являются юмсодвпжныиа лвназзш з пространстве.
В качестве второго праиера расснотрви вкхревые линии, т. е. векторные лянка зоктора (с гос т — ввхря скороств жадкостп. пкгвквнныв кола в сплошнон сгкпв 1 г1 — — ((г ° 17) т + ьг 61т т = О ей (39) Сравнивая это уравнение с (28), мы можем теперь вьгясвить, что, собственно, означает уравнение (39). Оно выражает, что вихревые линки обладают свойством сохравясмести, причем интенсивности вихревых трубок также остаюгся с течением времени нензменвымн Итак, мы доказали теораиу Гельмгольца: в баротронноа идеальной жидкоскш, находзивейсл нод дебствиаи консервативных сив, как вихревые лигши, так и интенсивности вихревых трубок обладают свовстваи сохранасиости. 7.
Проведем таперь зычислевве полной производной ат линейного интеграла вектора а по какой-либо незамкнутой кривой К (фиг. 83): ее=~а бг Полное иамененке этого интеграла за промежуток зремепв бс слагаетса на двух частев; одна часть, происходящая от изменения вектора а эа время бг на величину л дэ т е' тв очевидно, равна йув = ~ — э ° Аг (41) Фзг. Зз к вторая же часть, происходящая от изменения жидкого контура за про- межуток времени бс, равна, очевидно, бэв", = в~а ° Аг — ~ а ° с(г к (42) где К| — положение жидкого контура к моменту с + дс. Если конечные точки контура К суть А и В, а конечные точки. ковтура К1 — А' и В', то, прививая еще направление контура К~ от А' к В' аа положительное, мы увидим, что контуры Кь В'В = — тв й,— К в АА' = тв бв образуют замкнутый контур, ограввчквающив некоторую поверхность Х.
Применим к этому контуру формулу Стокса: соса ° бй = ~ а ° бг — ~ а ° бг — ав'тзбг + аа ° твбс (43) В $17 мы доказала, что если идеальная жидкость ваходитсв под действием консервативных сил в обладает тем свойством, что плотность жидкости является функпией от давленая, то вектор Й удовлетворяет уравнению вактогнын анализ гв и Заметам теперь, что, вак видно вз фиг. 83, влемеат поверхности ИВ представляется по величине а направлению вентором НХ» Нгхиг и позтому ~гоь а.гКХ = ~ гос а.(» Агхг(г) = й~ (гос ах») Аг В силу втой формулы я в силу (43) равенство (42) принимает вид Из1, = ~КК '() (гоь ах») ° Аг + ав»в — аа ча1 (44) и следовательно, мы получаем следующее выражение для полной про- изводной от линейного интеграла .»(-~ а г(г ) (~- +(госах»)).ог +аз»е — аз.»а (45) $а.Аг = $(~ + (газах»)) г(г я я (46) В случае незамкнутого контура К формуле (45) можно дать другой знд.
Для етого воспользуемся очевидным равенством ав.»с — аз.»е ~ 8гай (а ° »).Ыг (47) тогда вместо (45) получим е-( а ~Кг ') (~ — + гоь ах» +йгад (а.»)) ~Кг (48) к к Подынтегральпому вмраженаю можно придать другой вяд, если воспользоваться формулой из $17: 8гай (а.») = (1" Т7)в + (а ~7)т + ах гас» +» х гос а В самом деле, мы получаем де -5,- + го$ ах» + йгаг) (а.») = —, +(».гг) а + (в.ч7)» -~- ахгос» де На основании формулы (2) первые два члена справа можно соединить вместе, так что получится )- +гос ах» + йгай (а.») = —, + (а ~7)» + ах гос 1 де ее и значит —,~ а.Ыг = ~ ~ —, + (в ° »7)» + ах гос») АГ (49) Если контур КК замкнутый, то точки В и А совпадают, в позтому предмдущвя формула сильно упрощастоя 121 ПВРВИВННЫВ ПОЛЯ В СПЛОШНОЙ СРВПВ 3. В качестве прииевеиия последней формулы рассмотрим вопрос об ааыеиеввв пиркуляввв скорости в жидкости.
С этой целью положви в (49) а = ч и заметив, что во $17 (10) иы выеев форвулу гэ (ч.т7)» + »в гас ч = йгаб— 2 Поэтону из (19) получаеи »! — ч Ыг = — ° !(г+1 в»ад —.!(г ы1~ ~ й 1 2 л (59) Если контур К ааикнутый, то последний интеграл пропадает, в ны и<> лучаеи простую и вместе с тен аажвую формулу: (51) Ы(» дг> Ы» Ыог ж ы1' 'ж — Ьг+ч— Докажем теперь, что — = дч Юг ы! В савом деле, если (фиг. 84) дг= ММ' =г' — г св!г. Ва где г' в г радиусы-векторы точек М в М' отвосктельио какого-нибудь провавольио выбранного начала координат О, то ыог ыг' — = — — — =ч' — » =дч й ы! ж ибо производваа по времени от радиуса-аевтора тесть как раз вектор скорости ч, разность же ч' — ч предстаалает изменение скороств при переходе ст точки М к М'. Итаи ы (э.
Ог) ы» ы» 1 — = —.дг+ » дч — дг -)- — д(ч ч) Ы! !и Ы! 2 составляющую содержание следующей теоремы: яроивгсдиал ао ерсмсии ои! !(Врауяяг(ии сиоросюи ио гамииуяюму «гидясму хоиюуру К раева !(ириуляции от усиореиия ао жоиу ясе контуру. Ввиду важности фориулы (51) дадим другое докааательство ее. Длв ясности, будам Направленный алеиент кривой К обозвачать через дг, а ие череа гй, как до сих пор, и введем обоавачевве Г ~ч.дг Составляем теперь полную производную по вревевп от Г, для чего берси полную проваводвую по времеви ст каждого элемента етого интеграла (нужно брать ясляую проиаводвую, ибо иы счвтаеи ливию К жидкой)! ввкгогвыв Авалвв Гл. И в, следовательво, х к К к что в докааывает ввсвь формулу (51).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
