Главная » Просмотр файлов » 1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599

1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 48

Файл №532419 1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (Кочин 1965 - Векторное исчисление и начала тензорного исчисления) 48 страница1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419) страница 482021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 48)

то колвчестео електрвческой ввергли, которое в объеме )' переходит з тепловую энергию. Ясно, что дает то количество звертив, которое уходит через поверхность 8. Правда, зто рассуждевве относится только к замкнутой поверхности 8, во, обобщая его и ва случай везамквутой позерхвоств Ю, могкпо сказать, что распростравеяие алектромагввтпой звергвв определяется вектором (120), т.

е. что электромагнитная звертив распростравяется в ваправлеявв,перпеядвкулярвом как к электрической, так в к магниткой свае, причем через каждую площадку проходят колвчестео авергвв, которое, будучя ствесеко к едвввце времеви, равно потоку вектора Пойвтввга через зту плс« щепку. ГЛАВА 111 АФИННЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЦЕНЗОРЫ й 22. Понятие афииввга ортогонального тенаорв. Примеры теваоров (.

Мяогке задачи геометрви, механики и физики приводят к понятию тенеора, которое вмеет более сложный характер, нежели понятие вектора, и являетси некоторым его обобщением. Однако з то время кая для каждого вектора мм имеем простую геометрическую интерпретацию а виде ааправленного отрезка, для тэнаоров подобного простого наглядного представления мы не имеем.

Представлнется поэтому необходимым дать полое определенна вектора, путем естествеаного обобщения которого можно охватить в более сложный случай теиэора, Допустим, что мы имеем ёрямолипейную прямоугольную систему координат Охух (в общей теорвн тенэоров рассматривают любые крвволивейяые координаты, но мы рах навсегда условимся, что будем употреблять в этой главе только ирямоливейвые прямоугольные системм коордвпат). Проекции векоторого вектора а ва оси этой системы координат обозначим, как обычно, через а„, а„, а„так что в = (а„-г хах + (ха, Возьмем теперь другую систему коордвяат Ох'у'х', тогда проекции того же самого вектора а на яовые ося координат будут, согласно т 4, выражаться формулами а„ = а, соа (х, х') + а„ соз (у, х'! + а, сох (х, х') а„ = а„ соэ (х, у') + а„ сох (у, у') + а, соз (х, у') (2) а,.

= а„ соз (х, х') (- а„ соз (у, х') Ч- а, соэ (х, х') При этом совершенно очевидно, что, если, наоборот, рассмотреть даа вектора, яэ которых один определен в системе координат Охуз и имеет проекцив а„, а„, а„а другой определен в системе координат Ох'у'г' и имеет проекции а„', а„', а,', свяаанные с а, а а, пикейными соотношениями (2), то эти два вектора являются совершенно тождественными.

Поэтому мы можем дать следующее новое о и р е д е л е в и е в е кто р а, соаершенко эквивалентное прежнему определеппю. Еска дкз каждой крлмоликкйкой крлхоугскьной систакм коордииат Опух мм имсем ссхокуллссть трхх вазичия а, аю ах, лрврбролувщихсз яо понятии липиного оэтогонлльного твнэога (дормулам (2) в величиям авч а„, ачч отвечающие другой систвмг координат Ох'у'г', пю совокупиость этих трах величин опрсдвлягтп номро величину а, нагывасмую ау)виним ортогональным ввктораи.

Величины а„, а а, навываются со от а ел я ю щи ми этого вектора а ио осям Ох, Оу, Ох. В $4, и. 1 мы уже упоминалв о веобходимоотв введения такого нового определения вектора и мы фактически его испольэовали при установлении попятвй бтайф ($12, и. 1) и гоь а (5 16). 2. Обобщая данное выше определение вектора, введем понятие тевэора. Если длк каждой прлнолинвйной пряноугольной систанм координат Охуг мы имеем совокупность трех гвкторов р„, р„, рп пргобрагукт(ихсл г ввкторы р„, р„, рвч отввчакпчив другой систсмг координат Ох'у'с' по формулам р„= р„соэ (х, х') + р„еоэ (у, х') + р, саэ (г, х') р„= р„сов (х, у') + рь соэ (у, у') + р, сое (г, у') (3) р, р соэ (х, г') + р„сое (у, г') -)- р, соэ (г, с') то совокупность втих трех векторов опрвдвлквт петро вгличину П, ногмвагмую афиннььи ортогональным тгнгоран второго ранга.

Векторы р„, р„, р, могут быть ваэвавы сост а в л в ю щ н ми теввора П по осям Ох, Оу, Ог. Часто афиивые ортогональвые теваоры второго ранга навывают еше а ф в в я о р а м н. Мы будем навывать их в этой главе просто тевэорами. По аналогии с обоэвачевием вектора (1) можно условиться ввсств для тевеоров обоеначение и - (р„+ )рг + йр, (4) но только аужно помнить, что при таком обоэначевии порядок, е котором мы пишем векторы, играет существенную роль (можно было бы условиться обоэвачать теввор П через рчг +. ргу + р,)с, во ваше обозначение больше отвечает общепринятому). 3. В качестве првмера приведем тенаор ув ругвх напряж е н и й.

Рассмотрим упругое тело, внутри которого вырежем мысленно объем У, ограниченный поверхностью 8(фвг. 85). На каждый влемент йУ этой поверхности будет действовать со стороны частиц тела, леясаших вне и объема У, сила, происходящая от деформации тела. г Эта сила проиорпиональна величине площадка д8 и еависит от направления нормали в к раеематриваемому элементу; обовначим ее через р„ ЫЮ. Век- Фвс. Эх тор р„, представлвющий, очеяндио, силу, отнесенную к едиввпе плошади, в эавнсашей от направления нормали и, называется напряжением на площадку сьг' е нормэлью а.

Отметим, что, вообще говоря, напряжение р„на площадку е нормалью еъквныи оутогонхлъныи твнзозы гз 1и и ве будет перпендикулярно к площадке, т. е. не будет иметь того же направления, что в. В каждой точке упругого тела каждому направлению и отвечает своа вектор ванряжевня р„.

Следовательно, для каждой скст~ь мы иоордянат мы можем определить векторы р„, р„, р,. Докажем, что полученные таким образом векторы определяют тевзор П, который в называется тензором упругих вавряжений; для етого, пе определению теввора, достаточно доказать справедливость равенств (3). Обозначим чарва Р внешнюю силу, действующую на едиввцу массы тела, через и — ускоравие точка тела, через р — плотность.

Тогда масса элемента'объама АР будет рог', внешняя сила, действующая на етст элемент, будет равна р г ЫУ, и, наконец, сила инерция будет раева — р и пу. По началу Даламбера главный вектор внешних сил и сил инерции, приложенных к елемевтам объема У, я поверхностных сил, приложенных к злементам позерхноств Ю, должен равняться нулю: (5) Применим это уравнение к бесконечно малому тетраэдру МАВС, построенному при рассматриваемой точке М таким обрааом, что его трв грани параллельны координатным плоскостям, а четвертая грань, величины Я, перпендикулярна к вектору п (фиг.

86). На грань АВС будет действовать поверхност- ная сила р В (причем значение вектора р„ нужно У брать з некоторой средней точке площадки АВС). На грань МВС будет действовать позерхиостз нал сила — р„Я соз (л, з). 8 самом деле, предФвг зз положим сначала, что нормаль и составляет с осью з острый угол; грань МВС является проекцией о' ва плоскость уз и потому имеет величину Я соз (п, х). Внешняя нормаль к этой грани нанразлева з рассматриваемом случае по отрицательной оси Оз, напрлжеиие на вее будет — р„, а значит поверхностная сила на грань МВС будет — р„Ясов (в, х).

При атом нужно брать значение р„ з некоторой средней точке площадка МВС. Тот же результат получаетсв в з том случае, когда нормаль л составляет с осью Ох тулов угол. Совершенно аналогичное вычисление показывает, что поверхностные силы, действующие на грани МАС и МАВ, соответственно разны — р~Л соз (в, у) н — р,Л соз (в, з). Величина первого члена з равенстве (5) пропорциовельна объему тетраедра МАВС и моязет быть аапнсава з виде уй, где ц — некоторый конечный вектор.

Поэтому из уравнения (5) получаем Г (р„— р, сое (в, х) — рз соз (а, у) — р, сов (и, з)) +уй = О ПОНЯТИЕ АФИННОГО ОРТОГОНАЛЬНОГО ТЕНЗОРА ! 22 Разделим это равенство на О" и после этого устремим все ребра тету раедра к нулю; в силу очевидного равенства Вш - = О, получим р„= р„сов (в, х) + рисов (и, у) + р, сое (п, 3) (6) Рх !Р +2Р +йР* Ри = !Ри* + урии + )ТРи Р = !Рхи + 2Р»и + !ТР* (7) . Очевидно, что теваор П может быть также определав 9 числам, ко. торые называются кои ионе н там и те не о р а я записываются таблицей: (Рхх Р и Рх*1 П = Ри Рии Рм Р» Рж Р** Такие таблицы называются еще иногда м а т р н ц а и и.

Условимся, для сокрашения письма, перевыевовать воординаты я, у, 3 в х», хи, хз, орты», 1, (и, в 4, !3, !3; тогда для вектора а мы будем иметь разложение по ортам (9) а !»О» +»заз + изаз Вместо р, р р, теперь надо писать р», ри, рз, тогда будем иметь П 3»р» +!»ри + Ьрз (10) Наконец вомпоневты тевзора надо обозначать через Р„» (з = т, 2, 2: !=1. 2.

2) так что будем яметь ( Рм Рм Р»з1 »Ри Р Рю) ( РЗ» )изи,взи Так как направление вектора я можно выбрать по произволу, то равенство (6) влечет за собой выполнение равенств (3), что мм в хотела показать. В каждой точке упругого тела будет свой тевзор упругих напряжеввй; мы имеем таким образом поле тенеоров упругих напряжений. Укажем еще рае на значение величвв, входящих в уравнение (6): р„ есть вектор напряжения ва площадку, перпендикулярную к оси Оя; составляю»цие этого вектора обозначим через Р, Р .

Р; так как, вообще говоря, р в р ие равны нулю, вектор напряжения р„будет наклонен -к плоскости уз; его составляющая р дает так называемое нормальное напРЯженве, составлвющве же Рхи и Р„, опРеделают касательное напРЯ- жение на плошадку, переендикулярвую к осв Ох. 4. Вернемся к общему определению тевэора.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,21 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6521
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее