1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 48
Текст из файла (страница 48)
то колвчестео електрвческой ввергли, которое в объеме )' переходит з тепловую энергию. Ясно, что дает то количество звертив, которое уходит через поверхность 8. Правда, зто рассуждевве относится только к замкнутой поверхности 8, во, обобщая его и ва случай везамквутой позерхвоств Ю, могкпо сказать, что распростравеяие алектромагввтпой звергвв определяется вектором (120), т.
е. что электромагнитная звертив распростравяется в ваправлеявв,перпеядвкулярвом как к электрической, так в к магниткой свае, причем через каждую площадку проходят колвчестео авергвв, которое, будучя ствесеко к едвввце времеви, равно потоку вектора Пойвтввга через зту плс« щепку. ГЛАВА 111 АФИННЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЦЕНЗОРЫ й 22. Понятие афииввга ортогонального тенаорв. Примеры теваоров (.
Мяогке задачи геометрви, механики и физики приводят к понятию тенеора, которое вмеет более сложный характер, нежели понятие вектора, и являетси некоторым его обобщением. Однако з то время кая для каждого вектора мм имеем простую геометрическую интерпретацию а виде ааправленного отрезка, для тэнаоров подобного простого наглядного представления мы не имеем.
Представлнется поэтому необходимым дать полое определенна вектора, путем естествеаного обобщения которого можно охватить в более сложный случай теиэора, Допустим, что мы имеем ёрямолипейную прямоугольную систему координат Охух (в общей теорвн тенэоров рассматривают любые крвволивейяые координаты, но мы рах навсегда условимся, что будем употреблять в этой главе только ирямоливейвые прямоугольные системм коордвпат). Проекции векоторого вектора а ва оси этой системы координат обозначим, как обычно, через а„, а„, а„так что в = (а„-г хах + (ха, Возьмем теперь другую систему коордвяат Ох'у'х', тогда проекции того же самого вектора а на яовые ося координат будут, согласно т 4, выражаться формулами а„ = а, соа (х, х') + а„ соз (у, х'! + а, сох (х, х') а„ = а„ соэ (х, у') + а„ сох (у, у') + а, соз (х, у') (2) а,.
= а„ соз (х, х') (- а„ соз (у, х') Ч- а, соэ (х, х') При этом совершенно очевидно, что, если, наоборот, рассмотреть даа вектора, яэ которых один определен в системе координат Охуз и имеет проекцив а„, а„, а„а другой определен в системе координат Ох'у'г' и имеет проекции а„', а„', а,', свяаанные с а, а а, пикейными соотношениями (2), то эти два вектора являются совершенно тождественными.
Поэтому мы можем дать следующее новое о и р е д е л е в и е в е кто р а, соаершенко эквивалентное прежнему определеппю. Еска дкз каждой крлмоликкйкой крлхоугскьной систакм коордииат Опух мм имсем ссхокуллссть трхх вазичия а, аю ах, лрврбролувщихсз яо понятии липиного оэтогонлльного твнэога (дормулам (2) в величиям авч а„, ачч отвечающие другой систвмг координат Ох'у'г', пю совокупиость этих трах величин опрсдвлягтп номро величину а, нагывасмую ау)виним ортогональным ввктораи.
Величины а„, а а, навываются со от а ел я ю щи ми этого вектора а ио осям Ох, Оу, Ох. В $4, и. 1 мы уже упоминалв о веобходимоотв введения такого нового определения вектора и мы фактически его испольэовали при установлении попятвй бтайф ($12, и. 1) и гоь а (5 16). 2. Обобщая данное выше определение вектора, введем понятие тевэора. Если длк каждой прлнолинвйной пряноугольной систанм координат Охуг мы имеем совокупность трех гвкторов р„, р„, рп пргобрагукт(ихсл г ввкторы р„, р„, рвч отввчакпчив другой систсмг координат Ох'у'с' по формулам р„= р„соэ (х, х') + р„еоэ (у, х') + р, саэ (г, х') р„= р„сов (х, у') + рь соэ (у, у') + р, сое (г, у') (3) р, р соэ (х, г') + р„сое (у, г') -)- р, соэ (г, с') то совокупность втих трех векторов опрвдвлквт петро вгличину П, ногмвагмую афиннььи ортогональным тгнгоран второго ранга.
Векторы р„, р„, р, могут быть ваэвавы сост а в л в ю щ н ми теввора П по осям Ох, Оу, Ог. Часто афиивые ортогональвые теваоры второго ранга навывают еше а ф в в я о р а м н. Мы будем навывать их в этой главе просто тевэорами. По аналогии с обоэвачевием вектора (1) можно условиться ввсств для тевеоров обоеначение и - (р„+ )рг + йр, (4) но только аужно помнить, что при таком обоэначевии порядок, е котором мы пишем векторы, играет существенную роль (можно было бы условиться обоэвачать теввор П через рчг +. ргу + р,)с, во ваше обозначение больше отвечает общепринятому). 3. В качестве првмера приведем тенаор ув ругвх напряж е н и й.
Рассмотрим упругое тело, внутри которого вырежем мысленно объем У, ограниченный поверхностью 8(фвг. 85). На каждый влемент йУ этой поверхности будет действовать со стороны частиц тела, леясаших вне и объема У, сила, происходящая от деформации тела. г Эта сила проиорпиональна величине площадка д8 и еависит от направления нормали в к раеематриваемому элементу; обовначим ее через р„ ЫЮ. Век- Фвс. Эх тор р„, представлвющий, очеяндио, силу, отнесенную к едиввпе плошади, в эавнсашей от направления нормали и, называется напряжением на площадку сьг' е нормэлью а.
Отметим, что, вообще говоря, напряжение р„на площадку е нормалью еъквныи оутогонхлъныи твнзозы гз 1и и ве будет перпендикулярно к площадке, т. е. не будет иметь того же направления, что в. В каждой точке упругого тела каждому направлению и отвечает своа вектор ванряжевня р„.
Следовательно, для каждой скст~ь мы иоордянат мы можем определить векторы р„, р„, р,. Докажем, что полученные таким образом векторы определяют тевзор П, который в называется тензором упругих вавряжений; для етого, пе определению теввора, достаточно доказать справедливость равенств (3). Обозначим чарва Р внешнюю силу, действующую на едиввцу массы тела, через и — ускоравие точка тела, через р — плотность.
Тогда масса элемента'объама АР будет рог', внешняя сила, действующая на етст элемент, будет равна р г ЫУ, и, наконец, сила инерция будет раева — р и пу. По началу Даламбера главный вектор внешних сил и сил инерции, приложенных к елемевтам объема У, я поверхностных сил, приложенных к злементам позерхноств Ю, должен равняться нулю: (5) Применим это уравнение к бесконечно малому тетраэдру МАВС, построенному при рассматриваемой точке М таким обрааом, что его трв грани параллельны координатным плоскостям, а четвертая грань, величины Я, перпендикулярна к вектору п (фиг.
86). На грань АВС будет действовать поверхност- ная сила р В (причем значение вектора р„ нужно У брать з некоторой средней точке площадки АВС). На грань МВС будет действовать позерхиостз нал сила — р„Я соз (л, з). 8 самом деле, предФвг зз положим сначала, что нормаль и составляет с осью з острый угол; грань МВС является проекцией о' ва плоскость уз и потому имеет величину Я соз (п, х). Внешняя нормаль к этой грани нанразлева з рассматриваемом случае по отрицательной оси Оз, напрлжеиие на вее будет — р„, а значит поверхностная сила на грань МВС будет — р„Ясов (в, х).
При атом нужно брать значение р„ з некоторой средней точке площадка МВС. Тот же результат получаетсв в з том случае, когда нормаль л составляет с осью Ох тулов угол. Совершенно аналогичное вычисление показывает, что поверхностные силы, действующие на грани МАС и МАВ, соответственно разны — р~Л соз (в, у) н — р,Л соз (в, з). Величина первого члена з равенстве (5) пропорциовельна объему тетраедра МАВС и моязет быть аапнсава з виде уй, где ц — некоторый конечный вектор.
Поэтому из уравнения (5) получаем Г (р„— р, сое (в, х) — рз соз (а, у) — р, сов (и, з)) +уй = О ПОНЯТИЕ АФИННОГО ОРТОГОНАЛЬНОГО ТЕНЗОРА ! 22 Разделим это равенство на О" и после этого устремим все ребра тету раедра к нулю; в силу очевидного равенства Вш - = О, получим р„= р„сов (в, х) + рисов (и, у) + р, сое (п, 3) (6) Рх !Р +2Р +йР* Ри = !Ри* + урии + )ТРи Р = !Рхи + 2Р»и + !ТР* (7) . Очевидно, что теваор П может быть также определав 9 числам, ко. торые называются кои ионе н там и те не о р а я записываются таблицей: (Рхх Р и Рх*1 П = Ри Рии Рм Р» Рж Р** Такие таблицы называются еще иногда м а т р н ц а и и.
Условимся, для сокрашения письма, перевыевовать воординаты я, у, 3 в х», хи, хз, орты», 1, (и, в 4, !3, !3; тогда для вектора а мы будем иметь разложение по ортам (9) а !»О» +»заз + изаз Вместо р, р р, теперь надо писать р», ри, рз, тогда будем иметь П 3»р» +!»ри + Ьрз (10) Наконец вомпоневты тевзора надо обозначать через Р„» (з = т, 2, 2: !=1. 2.
2) так что будем яметь ( Рм Рм Р»з1 »Ри Р Рю) ( РЗ» )изи,взи Так как направление вектора я можно выбрать по произволу, то равенство (6) влечет за собой выполнение равенств (3), что мм в хотела показать. В каждой точке упругого тела будет свой тевзор упругих напряжеввй; мы имеем таким образом поле тенеоров упругих напряжений. Укажем еще рае на значение величвв, входящих в уравнение (6): р„ есть вектор напряжения ва площадку, перпендикулярную к оси Оя; составляю»цие этого вектора обозначим через Р, Р .
Р; так как, вообще говоря, р в р ие равны нулю, вектор напряжения р„будет наклонен -к плоскости уз; его составляющая р дает так называемое нормальное напРЯженве, составлвющве же Рхи и Р„, опРеделают касательное напРЯ- жение на плошадку, переендикулярвую к осв Ох. 4. Вернемся к общему определению тевэора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
