1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Доказать, что а, Ь, с — три вевомпланарвых вектора, то имеет место тождество аа» + ЬЬ»» + со* 1 влв, что то же, а (Ь к с) + Ь (с х а) + с (а х Ь) (а (Ь м сП ( 3 а д а ч а 177. Тон>достав предыдущей задачи, з силу непрерывностя, должно остаться тождеством и для комплапарных векторов а, Ь, с. Исходя отсюда н предполагая, по векторы а, Ь, с обладают тем свойством, что нз нвх может быть образовав замкнутый треугольник, доказать теорему спяусоз плоской тригонометрии. ПРО||эввдквви тякэоРОВ ф 25.
Произведение теязоров Преобразуем теперь полученный вектор с' при помощи тевзора А, т. е. образуем скалярное произведение тевзора А на вектор с'; в результате мы получим вектор с"| с' = А с' = А. Ва = АВс (2) В окончательном результате мы получаем преабравовавие вектора с в вектор с". Это преобразоваяве осуществляется прн помощи некоторого твизора П| с' = П с = Пс (3) Сравнивая это выражение с лрэдыдущям, мы, естественно. приходим к мысли яаввать тевзор П с к а л в р н ы м л р о и з в э д е ни е м те из о р о в Л в В и к тому, чтобы обозначить его через П =А.В =АВ (4) Найдем теперь выражение компонентов р»| тевэора П через компоненты а„| н Ь»| теязоров А л В.
Если составляю>пме зеаторов с, с', с" обозначим, как обычно, через с», с»', г»", та иа формулы (1) будем иметь с„' = ~ Ь„,с| (г 1,2,3) |-| Далее яз формулы (2) находим с»" ~ а»,с,' | | (1| = 1, 2, 3) Следовательно с» хэ~»~~ лыЬнс| г || | (а 1,2,3) С другов стороны, из (3) видим, что с»" = г, р»|с, (» - 1, г, 3) | | 1. В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о пере»|ноженнн тензоров. Пусть мы кмеем гевзор Л с элемеотамв ом и тенаор В с злементамн Ьм.
Мы сейчас постараемся дать определение прокзввдснвя теязора А ва тензор В. К атому определению естественнее всего подойти. исходя иа даянога памн в предыдущем параграфе определения теквора, как оператора, В самом деле, рассмотрим какой-нибудь вектор с н преобразуем его прк помол|и теявора В, т. е. образуем скаляряое произведение теввора В на вектор с, в результате мы получим новый вектор с': с' Во=Во леиннык оэтогоньлъныи тввзогы Гэ, 111 Сравнивая зти выражения с предыдущими, находам, что кадо принять Рм = Х Ямйя (ь,1 1,2. 3) (5) 1 Итак, скалярвым произведением АВ (для краткости мы будем говорить просто о произведении) д в у х т е на о р о в А и В с компонзвтамв ам и йы называется тензор П, составляющие которого определяются формулами (5). Полученные выражения для алемевтов тевзора АВ совпадают с теми выражениями, которые приходится рассматривать прв перемножении определителей.
Рассматривая теиаор А, мы можем составить определитель из элемеатоз этого тензора, который мы будем обозначать символом .0(А): ам агз а1з 0 (А) ам азз азз им аж йзз Точно так же образуем определитель тенаора В: ь ь ь 0 (В) йм бж бж Ь б й Ксив мы будем умножать определитель 0 (А) на определитель 0 (В) по обычному правилу, во только непременно ум нож ая от р о к н определвтеля0(А) на столбцы определителя0(В), то, как легко убедиться, для элементов определителя 0 (А) 0 (В) получим как рдз выражение (5), т.
е. мы получим, что Р1~ Рж Рп 0(А)0(В) =, Р Р 0(П) (6) Рм Рзэ Рзз Итак, определвтель пропэведевия двух теизороз равен произведению определителей этих тевзоров. рассмотрвм теперь некоторые следствия, вытекаюп1ие из данного нами определения произведения дзух тевэороз Прежде всего яа формул (5) очевидна дистрибутяевость произведения, выражающаяся формуламв (А, 4- Аз) В = Аз'В + Аз*В А.(В~ + В ) А.В, +А-Вэ Далее, возьмем аа тепаоры А и В две диады А = рп, В = гз (5) и составим нх провззедевие; е результате, как легко вычислить, получится (рп) (га) = (~з,г) ре (9) пгоиззкпвпив твизогов На самом деле, впрочем, вет вужды производить какое-лвбо еычвслевие, В самом деле, примевим к тевзорам (8) рассуждевие начала этого параграфа.
Выберем какой-либо вектор е, тогда с' = В.с (ге).е г(э.с) Преобразуем теперь этот вектор прз помоаги теизора Аз с А с' (рз() о' = р (Ч.с') = р (3)-г) (з.о) Ясно, что если мы положим П (а.г) ра то окажется по правилу умвожевия диады иа вектор (П с) с Отсюда следует, что П АВ, т. е. следует равенство (9). Итак: чяюбм перемножить две диады, нужно екалярно помножить второй вектор первой диады на первый вектор второй диады и напученно число взять ковуйфиз)нантом ПРи диоде, первым вектором которой служит первый вектор первой диады, а вторым вектооом «торой вектор второй дш3ды. В силу формул дистрибутиввости ("3) и з более общем случае произведеввя суммы вескольиих диад ва другую гумму вескольквх диад будет иметь место формальное празилоз пое«зедние вазтори диод первого мнолгителл нужно скалярпо умнолгить на парты векторы диод второго множителя, нааример, з 3 з з ~ р«3) ° ~~~ гза3 ~ ~(3)„° г,) р„а, (10) 3 * 3=1 Ь 33 3 Кслп Л есть теязор с ксмпоиеитаии а н то, авода вевторы а3 = а1313 +- а3111 + амьз аз - аз111 + ам1« + аз«1« аз = аз«33 + аз«11 + аз«1« мы ложем, согласво 5 28, написать А = 13аз + 1ьа, + 1«а« '«очко так же, если В есть теваор с компонентами Ьы и Ь, = Ьыз, + Ь 11з + Ь«11« Ьз Ьзз1 ( Ьзз31 + Ььз!з Ь = Ьз«11+ Ьт) + Ьзззз то иоягио вапясать В = Ь,1, + Ь,1, + Ь,(з Производя теперь перемпожевие теизоров А и В по правилу (10), мм пахучим, очозидио, что П = АВ = ~ ч~~ ~(а„- ЬД 1113 «=1 3=1 еоинныв овтогокьльныв тинзовы Ги.
1П Отсюда видно, что компонентамк тепзора П являются ры = а„Ь = аеьдп +анзбм +аездм 1» ' 1 2 З) Зтк выражения совпадают, как и должно быть, с выражениями (5). 2. Тот факт, что произведение двум тенэоров, которое мы только что ссределилв, опять оказывается тепзором, является очень важным. ' В самом деле мы можем складывать в перемножать тенаоры, и в результате атих дейстний опять получаются тензоры. Это дает нам возможность еще одной точки зрения ва теизоры; именяо, мы можем рассматривать последнее, как особого рода гиперкомплексные числа, образующие замкнутый класс чисел, кэ которого мы ие выходим, если производим над ними действия сложения и умнов<ения. Однако алгебра теязоров обладает, рассматриваемая с этой точки зрения, некоторыми особенностями, которые мы севчас в отметим.
Мы уже отметили е предыдущел1 пункте свойство дистркбутнвности произведения двух тепасроз, выражающееся формулами (7). Далее сонер|пенио очевидным предсгавляется свойство ассоциативности во отношеяию к скалярному множителю ж: (жА) ° В = ж (А-В) А.(жВ) т (Л В) а также в свойство ассоциативности произведения трех тевзороз; (АВ).С А (ВС) = АВС (! 2) доказательство которого предоставляется читателю.
Остановимся тепорь на других свойствах, которые отличают алгебру тенаоров от обычной алгебры. Прежде всего веобходиьп1 реако подчеркнуть к е я о и и у т а т и зн о с т ь произведения двух тензоров. Вообще говоря, в р о в з з е д ение двух тевасроа ЛВ отличается от произведен и я ВЛ. Например, если взять за А дпаду ),ь„а ва В диану 1е),, то окажется, что АВ 1,1,, а ВА )е)е. Следовательно, в произведении нескольких тепзороз важно отмечать порядок сомноькителей, которые нельзя переставлять между собою. Второе еаькнае отличие алгебры тепзорое от обычной алгебры заключается в том, что яроиэеедение деух тензорое может обротитьел е нуль, хожя обо жеизори отни ~нм ож нуля. Так например, если взять за А тензоп (О 1 О) А (1, ~0 0 0 0 0 0 то ЛА = 1ь (1е ьП 1з = О. Отсюда видно, что если мы имеем равонство АВ = 0 то мы ке можем отсюда заключить, что или А = 0 илн В = О. яРоиэзвпвяив твязоРОВ Разберемся в этом вопросе несколько подробнее.
Если мм смотрим ва теваор А как ва оператор, то, применяя его к радиусу-вектору г. мы пояучаем ловый вектор г'> г' Аг Если мы рассматриваем совокупность всевоэможяых вектороз г, то гозокупяость соответствующих вм векторов г' ко>нет оказаться одной вз следующих четырех видов (см. задачи 162 — 168)> !'. Все векторы г' = О. в атом случае А = О. о. Все векторы г' коллввеарпы, в этом случае А называется л я ив йяым тевзором. 3'.
Все велторы г' вомплакариы, в этом случае А кааыеается и л аяаряым теявором. 4', Совокупность вгктороя г содержит в себе всевозмои>к>ее векторы, в этом случае А вазываотся пол вын тека ором. Допустим теперь, что мы имеем равевство АВ О (13) и посмотрим, какие следствия мм моя>ом отсюда вывести. Предыдущее равеаство эквявалевтво тому что для любо>о вектора г (14) (ЛВ).>. = О Но обовяачим (1 5) Вг = г' Тогда предыдущее равевство принимает вид Аг'=О (16) Если теязор В полный, то я формуле (15) нектар г' может, пря вадлежзщсм выборе г, привять любое зпачепие, а тогда из (16) легко заключим, что А О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
