1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 39
Текст из файла (страница 39)
На бесконечности мы потребуем от зевтора и выполнения условвя, авалогвчного условюо (33) дав фувнцвв р, а именно ззктогнып АнАлиз В самом деле, пусть мм нашли вектор Аь такой, что а гос А», во что д1т А» + О. Положим тогда, .»то А =А, +бадф Ясно тогда, что опять будет го1 А = го1 А» +гох бред ф = го» А» а д!т А д)т А» + д»ч йтад ф = д!т А» +»."»ф и можно подобрать ф тап, чтобы »Хф = — д1т А» тоща. очевидно, будут удовлетворевы как уравиепве (64), так и урав- веяие (65).
Второе уравнение системы (62) дает теперь го» го1 А = е вли е салу формулы (26) т 17 йгад д1т А — »"1А е а в силу формулы (65) (66) АА = — е Таким обрааом, для определения А получилось везторное уравнение Пуассона, равносильное трем скалярным ~»АО = — еО, »"»АО = — е„, ранения которых даютсв в силу (49) формуламз: ,О.,О О..О ",О..»» А 4я ) ° А = — ) ОО ОО О плз, е векторной форме, А(х, у, з) ОО Проверим теперь, что вайдеивый папи вектор А удовлетворяет условию (65). Вычисляем для атого д»»»р А О О— гй»» р ) г егО>ду 1 г . м(д) ~ ) ОПтр — д)' 2я Првмепнм теперь формулу (56), положив в кей»р = —, а е (Д).
1 г (66) Из первого ив уразповий (62) следует, что а = го1 А (64) где веитор А, носяшнй наэваипе Оевеоряого лотсяява.ее, подлежат определению. Заметим теперь, что, пе нарушая общности, можно считать, что д»т А О (65) $19 Опгвкж<ппив ВиктОРА по вго Вкхгю к Рьсхожпвпию 229 Так как переменной точкой счптаэгсэ Р, то вектор а должен счктаться постояннмм и значит Йт» а = 0; поатому получим Йэ» — м (Ч) йгаỠ—, в <0) 1 В силу формулы (54) эта формула принимает эвд Йт» — = — м (Е йгаг<О— <в 1 г (69) Применим теперь формулу (56), но в обратную сторону. а вмекно а йгаб~р = ЙРО (<ра) — й б)тса 1 ИОЛОжаа В Ной а = М(Е, Р = — В СЧптан УжЕ ПЕРЕМЕВНОй тОЧКу <,г. г Тогда получим, эамечая, что по условаю Йаом ((~) = О, м (О) йгадо — 6<чав мЮ Сравнение с формулой (69) приводит нас к равенству Йт,— - — Йт,— м<<Г< . в<а г г а тогда нэ (68) получается, что Й1г»А — — ~ Йто —, г((г 1 Г .
м<(г1 4л ) СО (70) Нам нужно вычислить этот интеграл по Всему бесконечному пространству. Но выщслкм его сначала по объему (гк, яаключекному внутри сферы Ов Очень болыпого радиуса В; по формуле Гаусса-Остроградского имеем М г мэ Йто — г()г г~1 — с(У г (71) Йт а Ыг' = ~ а„аб (72) мы вывели только длн того случак, когда вектор а В его пропвводные непрерывны эвутрв объема Р. Но если объем <г можно раабвть на кокечкое число областей Рь Уэ,..., Рю ограниченных поэерхностлмв Яъ оэ,..., Я», в каждой вз которых вектор а н его проиаводные непрерывны, то мы, очевидно, будем кисть б)т а Н' ) Йэ а Йг +... + ~ Йт а 1(р = <ра а)у +... +$ аьйЯ(73).
й, (прн этом, кан всегда, нужко предварительно выделить точку Р сфе- рой Х радиуса э э эатем устранить а к кулю). По поводу втой формулы сделаем следующее эамечанке. Формулу Гаусса-Остроградского ввктогвыи «вл лвз гв. н Если Х вЂ” поверхность раарыза, лежащая внутри у, то в сумму по верхностных интегралов (73) каждая часть такой поверхности разрыва войдет дважды: один Раз как гРаница областв Рь дРУгой Раз иак гРаавда смежной области Уэ, причем направления нормазей для этих двух областей будут взаимно противоположны; е случае непрерывности нормальной к поверхности раарыва составляющей вектора а поверхностные интегралы по всем поверхностям разрыва., лежащим внутрв г', сократятся, и формула (73) перейдет в (72).
Возвращаясь к формуле (71). заметем, что, по условию, на поверхно- 1 1 сти сферы Юеа„есть калаи величква порядка —, — есть величина полн.«* « рядна —;, поверхность сферы равна 4яЯ, сэедовательно, весь ввтеграл 1 « 1 есть малая величина порядка —;т-«е стремится к О, когда «гстремвтся я« к бесковечвостя, поэтому распространенный по всему пространству интеграл будет равен нулю: б(тс — Л' = О « «« и значит «()ч А = О Итак', рещением системы уравневяй (62) явлветсн (74) «Р 8. Если нам задано во всем бесконечном пространстве расхонгдение вектора а и его вихрь йч а р, гоьа = и (76) то вектор а будет, очевкдно, определяться формулой а (х, у, э) ягаб ~р + го«А (76) где й(х,у,э)= — — „) ~ г г (4, ть б) сг «О «( у \ ( .-«'-«2 Рэ )7«+«( Е Лэл.« ос«<«« —,.
«-гсвг«Р « стояние точки, в которой берутся значения р н е«до начала координат. При этом мы предполагаем функция р и и непрерывными в ограниченными вместе с вх первыми производными во всем пространстве, еа исключением разве лищь конечного числа поверхностей. На этих поверхностях вектор и может терпеть разрыв только в касательной своей составляющей., нормальная же его составляющая должна оставаться непрерывной.
Функция и должна удовлетворить еще условию сй» и = О. Мы предполагаем далее, что функции р и и во всех точках пространства удовлетворяют яеравенствам 1»э ОПРВПВЛВИИК ВВИГОРА ПО ВГО ВИХРЮ П РАОХО»ЯПВНИЮ 231 Докажем теперь, что найденное паыв решение (76) системы (75) есть е д в п с т в е н в о е решение атой системы, удовлетворяющее сдедующему условию на бесконечности ((»+х (79) где Е, есть конечное число, Сначала докажем, что нз может быть двух решений системы (75), удовлетзоряквпнх условию (79), В самом деле пусть а, пах — два решения системы (75) и пусть оба зти решения удовлетворяют усяозшо (79). Составим равность Ь = а, — ах. Тогда из (75) ясно, что во веем бесконечном пространстве »(1РЬ О, госЬ=О Иэ последнего уравнения видно, что Ь йгаб ф а вз первого, что б»р О Далее из (79) находим, что 1йтаб ф ~ < —,„ 25 (89) при всех достаточно больших В. Возьмем теперь дюбые дзе точки М и М', лежащие на радкусе кэ начала координат; тогда мы будем иметь ф (М') — ф (М) = ~ б~а»( ф»(г = ') — »(г »' дз (81) причем в силу того, что прп болыпих»х, ( ю»~ 2Т.
интеграп з правой части предыдущей формулы будет сходиться, есин М' ОО. Итак, функция ф имеет ва бесконечности определенное значениа. Но ведь вектор Ь = йгаб ф не изменятся, есин мы авачевпя функции ф всюду нэмении на одно и то же число. Введем поэтому вместо»р другую фушащю ф(М) = ф(М) — ф(-) Тогда опять будет Ь = йга») ф»'),ф О, (бгаб ф! < И».».2 (89) Наконец, из формулы (81) при М' = Оо вытекает, что (»г(М)) ~ ~+~ дх (88) Но в сиду сказанного в конце и. 5, из условий (82) в (83) вытекает, что »Р ш О п следовательно Ь = О, т. е.
а, ах, что и доказывает единственность решения (76). ввктогпып нпалпэ га. и Докажем теперь, что вектор а, определеввый формуламв (76) в (77), удовлетворяет услоэюо (79). Прежде всего, мы вмеем йтэбр,р (х у э) ~ Р<С 1 <) йр как это следует вэ формулы (55). Вычвслвм далее гос А — госр ~ ' ' = — ~ госр — с<у Г в<С,Ч,Г)ЯГ 1 г в<О) ся ) ° =а Р Ф Првмеввм теперь формулу гос (фп) = ф гос в + бган ф х в 1 положяв э вей ф = —, и = м (О), прячем ааметвм, что, поасольку дпфт фереппкровавпе провэводвтсв по точке Р, а вектор м ($, 8, С) от точка Р ве зависит, этот вектор должен счвтаться постоянным.
Итак, — —,х (Е= — —,.х (Е) <е г В реэультате мы получаем, что а (х э) = 1 ~ р <О) г+ е <9 х т,<у С (84) Првпвмая теперь во впкмавяе условия (78), легко выведем, что (х, у, э) ) ( — „~ — -т — с<у (86) Н = )г 8* х чг + ~э, гэ = (х — 8)г + (у — з))э + (э — ~)э, Л~ = сЦ а<и а<8 Обоэвачвм расстоявве точки Р (х, у, г) до вачала коордвват, т. е.
тг+Р; р, р р в .(1а очеввдко, может эаввсеть тольао от к: — Л' = 1(и) еа Возьмем ва радвусе ОР точку Р', отстоящую от качала координат О яа расстояввв, раввом едвввпе. Для точки Р' мы вмеем ОР = в ОР', М~ вэйр', Л = вВ', г = вг' Сопостаэвм теперь всякому элементу объема с<У ввтеграла (86) алемевт объема Л", получающвйся вэ ар преабрааоваввем подобая, переводящвм точку Р в Р', Ясно, что тогда окажется 1 19 о|хгвдялквнв Ввигогь по вго ВихРю н Рлохождвнню 23и и следовательно, (О) г Лв+"вв ив+вкв 1 д в+вв в в+в Итак, (а(х, у, з)((— дг (1) лак в+" а это в есть то варавенство (79), которое мы хотели доказать. Итак, найденное нами решение есть единственное, удовлетзоряющее.
условию (79). Если этого условия ве поставкть, то решений системы (75) получится бесконечно много. Например систека вйта=О, гаса=О имеет такие решения: а сопеь, а= х( — у), а= х)+ув н т. д. Но, конечно, все зтн решения ве удовлетворяют условие (79). Заметим, что в формуле (76) первый вектор справа есть потенциаль-- ный, а второй — соленоидальный. Таким образом, как следствие полученных результатов, мы нашли возможность раавохсоник вектора а на суллву двух всюяороо, из кожормх один будет иооюнв)иольнььк, а другой— солса оидальным.
9. Переходим к решению третьей задачи, коставлевной вами выше. в п. 3. Эта задача еостовт в отыскании вактора а, удовлетворяющеговвугри области У условкям (88) в((та=О, гвка=О а ва гранвце и" этой области — условию (89) а„=)(М) ке Я Из систеиы (88) следует. что в = «гав) вр,,савву = О а из уравкенвя (89), что ~~ = / (М) щв Я (91)' Таким образом, необходимо определить гармояическую функцию р, норкальная проназодная которой принимает заданные значения ва поверхности Л (задача Невмака). Наряду с этим мы рассмотрим и аадачу Дирнхле, в которой условие (91) замазано условием (92) так что заданы авачевия самой функции вр иа поверхности о.
Если бьг нам была иавествы одновременно значение ва поверхности Л как самом Ввкгоэпыв Аиьлвэ Гл. И з армоничеокой функции р, так п ее нормальной производной, то значение функции ф з любой точке знутрн области У определилось бы моментально .на оеиовавии формулы (47): 9(х У') = ы —,э-. йУ вЂ” Б~93-- йУ Г1зч 1 Г Э1 (93) Пусть нам взвеетвы только значения фуш<кпн ф на поверхности У. 'Тогда, очевидно, нужно постараться иоключпть лз формулы (93) дц!дп. Для этого попытаемоя отыекать такую функцию й (х, у, з; з, тэ ь) = у(р, Ч), которая, будучи раоематрнзаема как функция от $, тэ ь, удовлетворяет уравнению Лапласа ~од=О в которая ва позерхнооти о' принимает значения 1 — — эа воээрзвесзв о (95) Функция С(х,у.з.'$,ц,ь) -+ я(х,у, з; $,к,Д (96) пазыэается прн этих условиях ф ун к ц не й Г р и в а. Как вадим, для ее определенвя опять надо решать аадачу Дирихле, ио только при ооаершавно определенных граничных аваченвях функции.
Применим теперь к гармоническим функциям ф н в формулу Грина (38). "Гак как ~),~р = 139 О, то эта формула дает нам равенотэо ' $ 'Г.,зт 1 ~'х,(у = О э в Комбивврув эту формулу с формулой (93), можем перепкеать поолед-.аою з ваде р (х, у, з) = я ' С э Ю Ы у э— р (8 в Но так как по самому определению функции Грина С(Я а=о, „Р ...г то получаем окончательное предотавлевне гармоиичеокой функции ф через ее граничные аначеиия: 9 (* У ) = — — Цэ —,9 И) Ю 1 Сдд (9У) в В этой формуле дС/дк есть авачевие нормальной проиаводнок от функции Грина, раесматриэаемой как функция точки () в точке () ($, ть ь) назерхностн Я. Дадим привар решения задачи Дирихле при помоще фувкцив Грина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
