1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 57
Текст из файла (страница 57)
что мы имеем поле тевэоров гаохождвнип твнзогл Отсюда вытекает, если взять объем Р бескопечпо малым в счатать др~ д~в дре д, де„й~ вепрермвкыми, существование 1пп— е » а в равенство его вектору, который пааывается р а с х о ж д е п и а и т ем з о р а П к обоапачаетси черве ~ Р.дд Ж» П = (нп = ~+ф+дг' У н Проекцвямм етого вектора являются (41» П) = —, + — + др„ др„ др„ де) дг» деа (б)» П)а = — + — + —, др„ др„ др де! де„деа (бю П)е = — + — +— др,.
др др„ <Ъз деч два (4) Формула (2) мажет теперь быть перепмсака в виде $ р„р(б = ~ 41» П ~(Р д В качестве примера рассмотркм Ж» (у1), где 1 — единичный тевзор: Й» (~Р1) = )ип — = — + — +— д «р~ ) д <Чай д (р4,) =»е Р = дж д» дм и — + (ау — + Ь вЂ” = бгаб в дч дч . дч де~ Ба дж (б) 3 а д а ч а 1И. Докааать формулу й» (вП) = в б(» П + йгаб ф. П М к в ка»ие 2. Выведем осковпые уравнения равновесия и дввжепвя оплошкой среды. Мыслевно вырежем в последней объем г' (~гвг'.
85) и, пользуясь обовяачепвямв п. 3 $ оа, применим к етому объему шеать пеобходпмых условий раввовескя в движения оплошкой среды,— пмеппо: Главный вектор всех акл, пряложеяяых к частицам объема, включав в совы инерции, должен равняться кулю. Главный к~жакт отпосптельпо какой-лябо точки всех свл, прпложениых к частицам объема. включая в силы инерции, должен равюгтьая пулю. Гэ 81 авннныи оэтогоизльиыв твнзогы Если р обозначает плотность, Р— заданную вввщвюю силу, приходящуюся на едвввду массы, г(тй(à — ускоренве, р:„— напряжение вз площадку с нормалью п, то укааввные условия приводят к следующим двум уравнениям: ~ р~р — ',— ')Л +фр„аЛ = О ч э $ ратх (Р— — Дог' + ф гх рему = О (8) В 1 22 мы ужэ всполъэозали первое уравнение, чтобы показать, что р„= рг соз (и, х,) + рз соз (и, хз) + р, соз (и, г,) (10) откуда следовало, что упругме напряжения образуют тензор П.
Но тогда нз основании формулы (5) уравнение (8) можно записать в ваде ~(р(Р— Я+8(тра = О г Отсюда в силу ярокзвольности объема г' следует основное уравнение механики сплоювой среды р (Р— — „)+ б(т П =О 3. Покажем теперь, что тензор упругих напряжений есть симметрачный тевэор. Для этого преобразуем в формуле (9) позерхноот~ый интеграл в объемный (гхр ] сИ = ~(гхр, соэ (в, х)+ гхрэ сов(в,я ) + гхрэс<н(н, хэ))эЮ = (д [гхйй д(тхаад дыхээд + *.+;~ дг дг ~ (гх ( - + + — ~ + — хрэ + —. хр, + — х рз~ а"г' = ~ дх~ Зээ де~~~ дз~ дэ„ дээ =~ (гхй(т П + (,хр, + (,хр, +(,хр) э(г' Поэтому формула (9) дает ~эх [р(Р— —,) + й(т П]~ ЫГ+ ~ (1, х р~ + (эх рэ + (э х рэ) г(У =О 1 ,хв~ +(эхр +(хр, =О (12) Но в силу равенства (11) первый интеграл пропадает, а второй э силу эровзвольиоств объеме г", дает Рзсхояшккил тввзоез Но легко видеть, что условве (12) есть иак раз условие свмметричности тенвора П.
В самом даве, если помножить (12) векторно на любой вектор а, то после раскрытии двойных произведений вада (1, х р,)ха р,(ь а) — 1, (р, а) получится р, (%, а) + рг ((з а) + р„((з.а) — 1, (р,.а) — (з(рз.а) — аз(рз.а) 0 или (П,.а) — (П.е) = 0 Отсюда (П, — П) а О а з силу произвольности вектора а Текин образом, тевзор вапряжений П действительно является симметричным. 4, Рассматривая упругое тело, обозначим через в МзМ вектор смещения некоторой точки М тела, где Мо — положение точки до деформации тела, М вЂ” положение после деформапии. Очевидно, что вектор скорости точка М еоть ео т = еПозтому уравиекпя (11) принимают вид р(Р— — ~) + б(ч П = 0 (14) Чтобы получить основные уравнения теорви упругости, надо устаповить сзяаь между П и а, т.
е. между упругвмв вапряжеяиями и деформапвямв тела. Эта связь устанавливается па основании обобщения елементарвого закона Гула. Нам надо, однако, предварительно несколько более осветить вопрос о деформациях. Если мы возьмем две соседние точки упругого теле Ме в Мг, положение которых до деформации характеризовалось радиусами-векторамн г я г (- й, то после деформации положение стих точек будет харез торваоваться радиусами-векторзмк г' = г + а (г) г'+Ыг' г+г(г+ п(г+Нг) = г-(-г6+ и +Ив и, следовательно, смещение второй точки после деформации будет в (г + сг) = а + с(а = в + —.Нг ев лг и, применяя Формулу (41) $24, в (г + ((г) = в + О) Йг+ ~~ гос вкбг (15) лФякныв оэтогоньлънык тяиэоэы гл, рд Под Ф здесь подразумевается симметричная часть тензора —, т.
е. да ЮГ тензор с компонеитаззи ди, Фп = —, диз ди. Фы = — ', =а,' диз Фзз з 1 Гдиз диз' Фж - — ~ ~— + — 1 2 диз азз т Мы будем предполагать деформацию бесконечно малой. Но тогда вспоминая из кинематики, что бесконечно малое перемезцение точки твердого тела, вращающегося около неподвижной точки с угловой скоростью и, есть т'(а = мз(ах г даз — Ыхо аиз Ыхз + — з(х, а-, диз а, аиз и, следовательно, расстояние между точками Мз и Мз после деформации будет где мы отбрасываем малые величины второго порюпга. Относительное удлнневие рассматриваемого отрезка после двформации будет, очевидно, равно диз; д з(1+ -И;-1 — а*з ах 1 Фзв 1 где вектор и з(1 равен по величине углу поворота тела и направлен по мгновенной оси вращения, мы заключаем, что последний член в формуле (15) представляет ту часть перемещения точки Мз относительно точки Мз, которая происходит от поворота элемента тела.
окружающего точку Мз, как одного целого на угон ф (гоь и( вокруг оси, имеющей направление гос в. Первый член и формулы (15) характеризует смещение точки Мз, второй Ф Й характеризует деформацию влемента. Мы можем поэтому высказать следующий результат. Бесконечно малое перемещение элемзата сплошной срэдм, определяющееся формулой (15), можно представлять себе состоящим иэ трех частей: 1) аз поступательного перемещения элемента, как одного целого, 2) из врзщатеяьного перемещения элемента, как одного целого, 3) из деформации элемента.
Диагонаяьные элементы симметричного тензора Ф имеют простое значение. А именно, если взять точку М, так, что вектор «(г = МзМз будет эарвллелен оси хп так что Ыхз = з(хз = О, то после деформацив вектор МзМз превратится в вектор з(г + Йз с проекциями Рьсхоящиних твнзога вы Итал, диагональные элементы теиаора Ф определяют о т н о с и т е л ьийе удлинения после деформации линейных элементов, параллельных осям координат. Исходя иэ втого, легло выяснить значение первого инварианта генно а Ф: Р ди1 диэ диэ Б-+ — + — Йт и дйи дэи Если ваять параллелепипед с ребрами вхь Ихэ, г(хе, параллельными осям координат, то после деформации его ребра удлинятся в сделаются равными (с точностью до бесконечно малых второго порядяа) с(х, (1 + Ф,), Ых, (1 + Фы), е(хэ (1 + Фээ) Грани параллелепипеда несколько сносятся.
но все-таки с точностью до бесконечно малых второго порядка его можно опять считать прямоутельным параллелепипедом. Поетому объем его будет равен е%', Ыхд(хд(хэ (1 + Фп) (1 + Ф, ) (1 + Фм) = = ~й~ с(хе г(хэ (1 + Фп + Фы + Фэи) Сравнивая это выражение с первоначальным объемом параллелепипеда йг = а'х, Их, Нх мы заключаем, что Фп + Фю + Фэи р (18) дает относительное объемное расширение элемента. К симметричному тенеору Ф применимы все результаты тт 26 и 27. Мы отметим только, что этот тенаор во всяком случае имеет три главных вэаимно перпендикулярных направления.
Соответствующие главные эначеиия тенеора Ф обоэиачим черве ею еэ, е. 5. Теивор упругих напряжений П, как мы видели, тоже является симметричным, его главные значения обозначим через с, ае и а . Вспомним теперь салон Гука в элементарной форме: при растяжении стержня продольными силами, величина которых, рассчитанная на единицу площади поперечного сечения, равна Р, присходвт относительное удлинение стержня, определяющееся по формуле 1=в Р д (19) и относительное сжатие поперечных раамеров стержня, определяющеесв по формуле =-Ь (2а) Постоянные Е и ж для равных материалов имеют разное значение: Е называется модулем Юнга, т — коэффициентом Пуассона.
Рассматривая однородную иаотропвую среду, обобщим эакон Гула следующим образом. Допустим,что главные вначевия тенвора деформации и упругих напряжений связаны элементарным авионом Гула. А именно, АФиниыв овтогоилльныв тяиэовы Гл. (П лв зв св 6 лв6 лв6 6 м(7 лв6 (21) ез = Введем первые анварнавты тенворов П и Ф (22) ав-(-е +ез —— 8 =4(та св+ се+ ел = з, Тогда формуяы (21) можно записать в вндв св вл+1 л з„= — — — —, (а -1, а, а) 6 м вел' (23) Но отнесенные к главным осям тевворы Ф, П я 1 имеют внд ФОзвО,П=Ое10,1лл0 1 0 Повтому формулы (23) пряводят я соотиошепюо между тензорамн Ф а П: (24) которое я представляет обобщенный ванон Гула.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
