1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Если для каждой системы коордиват х', хэ,..., х" определена функция ) (х', хэ,..., х ), так что для системы координат хг, вэ,..., Х" мы имеем свою фуикпвю ( (х', х',..., х"), и если при преобраэсваивн коордвиат (10) эвачения этих фувкцвй в соотмтствующнх точках совпадают, т. е. если ((х'. ьл., *") 1(х', х*,..., х") то говорят, что функция точек / (у, хэ,..., х") есть я н в а р и а в т или с к а л я р. Примером скалярэ является какое-либо постоянное число. Другам примером является основвая квадратичная форма рима- вова пространства )7»: <(ээ = ~ ~ вы (х', х',..., х") Ых' бхе эм 1 будет скаляром, так как по самому определению ортогональвых пресбра- эовавий доюкио иметь место равенство Поэтому функцию (15) можно ваэвать афияным ортогональным вввариавтом, по эта функция ве будет внварваятои е данном нами выше смысле (13), вбо для случая любых преобраэоааввй (1') окажется, эообше говоря, что ю'* + хэ' + зэч + ат' + хтэ -~- ха* .
7, Переходим теперь в определению вектора. Согласно определению афивного ортогонального вектора, данного е 1 22, составляющие атого вектора преобраэуются прв ортогональном преобрааовании координат (1) х) = аых~ + амхе + аьвхв хг' = хмхт + аих, + ов,х, хэ =а~ха+а х +а т (16) так как в любой системе координат величава йР должна сохранять одно и то же значение. Наконец, в качестве третьего примера укажем, что еслв ограничиться афиннммя ортогонэльвымв преобрааовавиями (1), то еы- вяжевие алкмкнты овщви твогии твнзогоз гг щ по формулам аб = аыаг + агзаз + а1заг аз' = аз~аз + вмав + а«газ аз' = аыа~ + а«гав + аьгаз (17) где аы аз, аз — составляющие вектора по осям Ох~«вез, а аб, аз', а«'— составляющие того же вектора по осям Охг'хт'хз'.
Чтобы обобщить это определение, заметим, что коэффициенты аш преобразования (16) можно представать следующим образоьп б. э = ц 2, 31 в поэтому формулы (17) можно ааписать в следующей форме а,' А,' -~-аь ь=~ ( 1. 2, л) Обобщая эти равенства, можно дать следующее определение: Если длл каждой системм координат х', хз, ..., х" определена сово«упность и функций Аг, Аз,..., А, так чшо длх сиютюмы координат х«, хз,..., х" мы имев««свою совокупность функций А', Аз,....
А", и если при преобразовании координат (10) гти функции преобразуютсз по сшдугнчюм формулам нреобравованил вв А*-Х вЂ”.А б-в...„ь) (20) $о ьг А' = — „А аз" (21) прачек здесь, как и в дальиейжем, мы уже не указываем, что мы имеем в сущвоств и формул, соответствующих значениям индекса ( = 1, 2,..., и. Наиболее важным примером ковтраварвавтного вектора является вектор Ах', составляющими которого являются дифференциалы координат. то мы будем говорить, что совокупность величин А',..., А" онредел«еш «онтравариаптный вектор, и будем называть величины А' составл«гиками или комионенгпами контравариантного вектора А'.
Так как в дальнейшем постоянно придется употреблять суммы, подобные тем, которые стоят в правой части равенства (2()), то условимса, как это принято в литературе, опускать в этих случаях знак суммы, иысленно его подразумевая. Таким абрагом, .ны условипсв есхкий раг, как нам вот ретитсх одночлен, в еыралсгнип которого фигурирует два рога один и тот же индекс, производить по вшаиу индексу суммирование по всем значениям етого индекса ош 1 до и бегли только не сделано специальной оговорки). При этом условии формула (3)) может быть записана в следующей форме; овщкв опгвпллвнив виктора в твнеора В самом деле, ие формул (12) по правилу составления дифференциала сложной функции ораву следует, что д .Р де де де1 ~/х + $д'йх + ' ' ' + в = а х (22) так что пх' подчвияюгся формулам преобрааовеиия (21), а оледовательно, являются составляющими контравариавтвого веитора.
Может быть, повеено отметить, что в силу чрезвычайной общности криведениого выше определения контраварнавтиого вектора несколько ускольаает фиевчесиая сущнооть етого понятия. Так, например, расоматривая двнжевне точки в нашем трехиерном эвклидовом пространстве, возьмем еа х', х', хе прямолинейные прямоугольнме координаты, а ве я', яе, яе — хотя бы сферические координатм г, 6, ф.
Тогда два дев дев Б ' дР будут, очевидно, составляющими по декартовым осям координат вектора скорости; согяасно вмтпесказанному составляющими етого вектора в координатах г, б, ф будут '2Т ' Определим теперь для каждой систвяы координат хх, хе,..., х" совокупность в величин дт др дт а» д. где в есть скалярная функция, я посмотрим, величины при преобраеоаавии координат (10). По правилам дифференцирования сложных как преобразуются этв функций мы имеем дт дв де де де дт д.в д дее дд! дю щ~ '3;1 щ~ в (23) М в. в.
ночев Но втв трн величины носят оуществевно рааличвый характер, хотя бм по одному тому, чго йгйй есть линейная скорооть, в то время кав ей/~й н Иф/сй являются угловыми скоростями. Таким обравом, составляющие ковтравариантного веитора <(б/~й, Иф/~й не могут быть проекциямн, в обычном омысле атого слова, вектора скорости.
Определенные нами выше векторы были ивеваны ковтравариантнмми; дело в том, что в общей теории тевзоров оказывается веобходнммм раввичать два вида векторов, одному ве которых прновоено наименование коятраеарпаншяых, а другому — воеариашвямх. Прежде чем давать определение ковариавтного вектора, рассмотрим один пример. В веиторном аналиее нами был введен вектор йгаб ю, составляющими которого служат дт др дт 3т д* алвмввты овпшп твогпп твввогов г.ге то получки, что о» Аз А„—. »ы» (24) Этот еакон преобраэоеавкя отличен от закона преобраэованпя (21); его мы к положим в основу определенна коварпавтного вектора.
Если два каждой системы координат х определена совокупность и функций А„и если при преобразование координат (лд) втл функции преобрагуются»ю формулам (24), то если»ини А определяю»п коеориантниа гектор, состаелякпцими или комяонентани которого они ге»лютея.
Иэ выщескаэавного ясно, что примером коварпантвого вектора является Эг» т = аихв' + апхз' + аыхв хв = а»вхв' + азвхз + аввхз хз = аыхз' + авва' + а»вяз' Отсюда следует, что ояв сй» = —, де,с (2В) Поэтому формулы (17) могут быть ээнксавы в форме в е, с»„'= ~ ав —, в»» яе отличающейся от формул (24).
Это покаэмвает, что в случае эфквпих ортогональкмх векторов формулы преобраэованпя (21) и (24) валяются тождественными в, следовательно, понятия ковтраварнавтного н воварвавтного вектора являются совпадающими. Скажем еще несколько слов отвосвтелько обозначений. Мы будем отличать ковтраварнаптные векторы от коварпавтвых тем, что будем ставить индексы у коптравариавтного вектора наверху, а у коварпавтного вангу.
Тав как »(х» еоть ковтравариавчный вектор, то прннато у коордпват х» ставить вндексы наверху. Является интересным выяснять, почему в обычной теорвн тевэоров кам пе пришлось различать ковариавтнне я ковтраварпавтвые векторы.. Составкм формулы пресбраэовавпя (24) для случая афвввых ортогональвых векторов. Для этого постараемся вэ формул (16) выраавть старые координаты х», хв, хв через новые хв', хз', хв'. Но, вспоминая таблицу косвнусов иэ п.
5 $ 22, мы оразу можем написать, тго озшвв опгвпклинпв явктсгь н тянзогь 1 эо (28) то гти функнии онредеггют ионтраварвантнмй тенгор второго ранга„ составляющими лотар»го они лв иоотся, Точно так же я* составляющих А э ковариантного тенгора второго ранга преобразуются по формулам ш' эьэ Ам 4»е —— вэ' эв' (20) Наконец, составляющие А, сна|ионного тензора в~араго ража преобразуются по формулам А е Вг~ Эуг аэ' эе (30) Очевидно, мы можем дать совершенно аналогичные определения тенворов третьего ранга, четвертого и т.
д, Таи, например, составляющие тензора А;е, два раза иозариантиого и один раа ионтразариантво| о, преобразуются по формулам т дг дф ВЭ' Ам А„"~р — т — —, ат вье ае' <31) Приведем в качестве примера один очень важный смюпанный тензор второго ранга. Составляюпшми атого тенэора з любой системе координат являются числа э /1, есле а () =(0, я +Р <32) Чтобы доказать. что Ь действительно являютоя составляющими омее щенного тенаора, необходимо проверить, что выполняются формулы (30),' т. е. нужно показать, что (33) Возвратимся ва минуту к обмчаю писать анап оуммы Тогда мы будем иметь но в этой сумме все члены, которые отиечают значениям а + 8, прона 8, Переходим и определеншо тензора в~араго ранга. Принимая во. вивмание формулм преобразования компонентов афнвиого ортогонального теизора (т 22, формулы (14)] и формулы (18) и (26) и обобщая зти формулы надлежащем обрааом, мы приходим и следующем определениям; йеэ» для еавсдой сисомми еоординат э определена совокупность пг фунаций А е, иотормв при преобразовании координат <Щ»сннтэмают нреобравование элвмввты овщвй твогвв твнвогов гл пг дают е силу (32), а прн а = 5 мы получаем †.
Итак д*с дй' ' дд' де к, следовательно, т~~ ~ (~ де дя' ~ дФ дед » ~ д ~ дэ деч д, дед дх (34) Но согласно формулам (12) к (10) хэ есть функция от х', хт,..., х", которые в евою очередь аависят от йт, хз,..., х"; следовательно, яэ можно рассматривать как сложную функцяю от хз, Х*,..., хе, заданную через посредство вспомогательных функций х', хз,..., хе, причем, конечно хе (х» (х,, х ),, х" (ье х )) = х» Дифференцируя обе части атого равенства по в', мм получим, очевидно, что (35) ,д д д-* дд* что в саван с (34) я доказывает справедлквость формул (32). Отметим попутно формулу, аналогичную формуле (35): Ы' дк" — ь — —, =б, дв д» (36) Полученный тевзор обладает тэм аамечательвым свойством, что любая эго составляющю имеет то же самое значевве во всех сястемах координат.
Заметам еще, что с точки зреннв общего определенна можно векторы называть тевзорамв первого ранга, а скаляры — тенэорамв нулевого ранга. 4 31. Теваорвая алгебра 1. Перейдем теперь к установленвю основных операций с тевзорами. Основное, на что нужно обратить внимание, заключаетоа в том, что определения действий с тевзорами должны быть таковы, чтобы в результате провзеодства этих действий вновь получился тевэор. Так, напрвмер, умножая все составляющие какого-либо тенэора, напрвмер А"д, на ОКапяР 1, мм получаем, очевидно, составляющие ЬА,'р нового тевзора; В атом состоят операция ум нож е на я те на о р а на скаляр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
