1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 68
Текст из файла (страница 68)
2. Теперь мы дадим, следуя итальввскому ученому Т. Леви-Чвввта, геометрическое определевие параллельного переноса вектора, причем сначала для ясвости рассмотрим случай пространства Еь вложеввого в Ез, ивыми словами, рассмотрим тот случай, когда в трехмерном простравстве рассматривается поверхвость о.
Воаьмем ва етой поверхности о две бесковечво-бливкве точки М и М' и рассмотрим в точке М ковтравариавтвый вектор А'. Последвий может быть представлен в простраистве вектором а, касательвым к поверхности о' в точке М. Перенесем теперь вектор а параллельво самому себе в точку М'. Ясво, что, вообще говоря, ои ве будет лежать в касательной плоскости к поверхности о в точке М' и, следовательно, ему ве будет соответствовать никакой ковтравариавтвый вектор в простравстве Нь Освоввая идея Леви-Чиввта заключается в том, что ов, перенеся сектор а е кючку М' параллельно самому себе из точки М, проектируеж еео зшпем ка каситсзьную плоскость к поееркностя Ю е томке М', В результате получается вектор а', лежащий уже в касательной плоскости к поверхвости Ю в точке М', а поэтому можно отыскать такой ковтравариавтвый вектор А" в точке М', который геометрически представляется в пространстве вектором а'. По определению, резулыпажан паразлслькоео перенесения вектора А' из точки М е точку М' лелзетсл еекжор 4".
Таким образом, вектор А' в точке М и вектор А" в бесковечво-блиакой точке М' римавова простравства Лз можво условиться считать раввыми векторами. Савершевво авалогичкое определевие правила параллельного переноса вектора можво дать и для случая любого римавова прсотравства В„.
Пусть в точке М аадав ковгравариавтвый вектор А'. Рассмотрим бесковечво-блиекую точку простракства М' в построим в етой точке вектор А" следующим обрааом Пусть Е,„— то ю-мервое эвклидово пространство (т ьк), в которое можно вложить Я; построим в атом простравстве в точке М вектор а с составляющими а„, определяющимися по формулам (9); этот вектор является геометрическим иесбражевием вектора А', перенесем затем вектор а параллельно самому себе в точку М'.
Ивмми словами, рассмотрим тот же самый вектор а, с теми же составляющими, яо только приложеввый к точке М'; аатем спроектируем атот вектор ва яасателькое ввклидово подпростравство Т„, которое лежит в Ем и касается пАРАллельный пеРенос ВвктоРА где готрих укааывает на то, что значение рассматриваемой величины берется в точке М'. Введем таперь обо- значение ЬА = Ан А' (11) и заметим, что Тогда, огранячиваясьбеоковечво-малыми величинами первого порядка.
будем иа (10) иметь, что. Фкг 94 в "— а — 'ЬА + . ' А'бх» Е»» 1 Е Р» ев' Ол» оьл и, сяедовательно, м (а' — а)» = ~Ч~~ ( —,. ЬА' + —,' А'бх») Рассматривая а атом равенстве ЬА' как независимые переменные, определим их таким образом, чтобы сумма (12) была мивимумои. Для этого, согласно правилам дифференциального исчвслевия, нужно приравнять нулю производные втой суммы по всем величинам ЬА' Ы 1,..., лр В результате получим и равенств Х ( — ЬА + — Абх») — Ф=О 1 1 2...., ч» ета» зу» 1 РР .'-',1о ' 'Р*' ) е В а точке М', покучевкый вектор обозначвм через а', а его составляющие через а .. По формулам (9) мы можем по этим а,' определить соответствующие вм величины А", причем необходимо, конечно, принимать в формулах (9) для ду /дх' значения этих функций в точке М".
Контравориантнмй вектор с составлл»якими А' в точке М мм будем считать ровным вектору с составллющиии А" в бесконечно-близкой точке М' и будем заварить, что вектор с составллющлми Ан в точке М' кт лучоетсл из вектора А* е точке М иутем параллельно»о переноса в кространстве Нт 3. Перейдем теперь к вычислению составляющих вентора А" через составляющие вектора А» и череа составляющие Ах' вектора бесконечно- малого перемещения аз точки М в точку М'. В основу вычисления мы положим следующий, геометрически очевидный для случая»»з (фиг.
94) факт: среди всех векторов а' М'~У', касающихся пространства Вт тот вектор является проекцией вектора а ЛХ'М, для которого расстояние Ж'»»' является наименьшим. Но вектор»»ч»Г' имеет в прострзвстве Е озовми составляющими величиим злвмввты овщвн твогии твнвогов гл. !т Итак, при параллельном переносе вектора А' его составляющие получают приращения ЬА', определяющиеся из следующих равенств: (13) Но согласно формулам (4) мы змеем, что зт де д» Х вЂ” Ф вЂ”:-а (14) Нетрудно далее показать, что ав, св.
, з ' а."звг (15) в самом деле. иы имеем, согласно определению символов Кристоффеля (формула (22) т Щ я в силу формул (14): л 1 чч лгал сЪ дг з4д М В результате формулы (13) прививают вид у„ЬА' + Г, иА'Ыае О Умножая кх па б'" и пользуясь тем, что зой =й Х а' Г,, и = Г"- получим окончательные выражения для разности значений ЬА' ковтравариавтвмх составляющих двух одинаковых векторов, приложеввых в двух бесконечно-блвзпих точках ЬАл .(- 1'.
А' Аз» = О «е) 4. Весьма замечательным является то обстоятельство, что согласно только что полученным формулам приращения ЬА" могут быть выражены исключительно через величины, отлосящиеся к нашему ряманову пространству В„. Геомстрвчески зто означает следующее: одно и то же рима- ново пространство может быть вложено в эвклидово пространство разными способами и можпобылобовться, что данное нами выше определение параллельного переноса вектора может привести к различным результатам, смотря по тому, каким образом связано данное риманово про- плгаллпчьныи пигппос эвктога 397 стравство Л„с эвклидоснм пространством Е .
Но как видно вв (161, в результате параллельного переноса вектора в бескокечво блиакую точку рнмавова пространства получается всегда. один к тот же вектор, веэаввсимо от того, каким обраэом было вложено риманово пространство в эвклидово. Иными словами: процесс параллельного переноса вектора в бесконечно-блиэкую точку есть в пут р е в нее с в ой ст в о риманова пространства.
В свяэи с этим интересно отметить, что, вообще говори, невозможно определвть параллельный перенос вектора иэ одной точка М риманова пространства Л„в другую точку Р, отстоящую от па р э ой па конечном расстоянии, при помощи того же самого способа. которым мы польаовались выше, а именна при помощи вложения пространства Е„в эвклидово пространство Е . В самом деле, легко показать, что в етом случае при раэличвои выборе пространств Е у нас будут получаться в реэультате описанной выше операции раэличиые векторы в точке Р в, следовательно, в этом случае описанная выше операция не дает иам внутреннего свойства рвманова пространства и, следователь но, не мвиет быть взята эа определение параллельного переноса вектора вэ одной точки в другую, Праиллюстрнруем ва простом примере это явление.
Возьмем круговой цилиндр радиуса 1 с осью, идущей по оси Оз в эвклидовом пространстве трех намерений. Будем определять положение точки в пространстве цилиндрическвмв координатами р, ~р, г. Тогда квадрат элемевта длины в пространстве имеет выражение Для круговога цилиндра радиуса 1 с осью Оэ имеем р 1 и для квадрата элемевта длины на поверхности цилиндра мы получаем выражение Рассмотрим с другой стороны в том же аввлидовом пространстве плоскость Оку.
Для пес квадрат элемента длины имеет выражение Сравнивая это выражение с предыдущим, мы видим, что с точностью до обоэначевий поверхность кругового цилиндра и плоскость имеют совершенно одинаковые выражения для квадрата элемента длины, т. е. представляют собою совершенво одинаковые римаиовы пространства Еэ. Между тем ясно, что, если мы возьмем вектор, касательный к поверхности цилиндра и перневдикулярвый к оси Ох, и перенесем его в трехмерном пространстве параллельно самому себе, то в некоторых точиах цилиндра он будет перпендикулярен к поверхности цилвядрэ в, следовательно, его проекция на касательную плоскость будет равна пулю.
В плоскости же Ову каждый вектор при параллельвом перекосе его сохраняет свою величину. Таким обраэом, данный выше метод параллель- элвмлнты оипви твогип танаогов гз. ~у зав ного переноса вектора прв помощи эвклидова пространства Ем, объемлю-. щего данное пространство Ею не годится для случая переноса нз одной точки в другую, отстощпую ог первой на конечном расстоянии. Окааывается, что вообще вельзв даже и говорвть о параллельном переносе вектора в риманозом пространстве Л„из одной точки М в дру- гуюР.
Можно говорить о параллельном переносе век- тора из точки М в точку Р вдоль какой-нибудь определенной линии Г,соединяющей зти точки, подобно тому, как работу силы на перемещении точки вв одного положе- ния в другое можно вычислять, вообще говоря, только по какому-лабо пути, соединяющему ати точки, так как для разных путей ага работа оказывается различной. Вычисление результата параллельного переноса вектора по пути 1. иэ точки М в точку Р мы должны производвть следующим образом: мы должны путь переноса раабпть на малые участки, к каждому вз которых мы можем уже применить формулы (16); говоря точнее, мы должны про- интегрировать уравнения (16) вдоль пути Е„исходя кз данных значений вектора А' в точке М; в результате мы получим какие-то значения состав- ляющих атого вектора в точке Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
