1625914689-e957c8b7a8e4003fe3539e4e0e465a65 (532400), страница 23
Текст из файла (страница 23)
п. 3.3.1) можнопереписать, разделяя тензоры напряжений и деформаций на шаровую и девиаторнуюсоставляющие. Применяя эту запись к упругим составляющим тензора деформаций (этисоставляющие связаны с тензором напряжений законом Гука), получимσ = Kε,sij = 2µeeij ,K≡E,1 − 2ν2µ ≡E.1+ν(5.98)Здесь введены следующие величины (εii = εeii , epij = εpij в силу пластической несжимаемостиматериала при использовании условия текучести Мизеса, см. п.
5.4.2):11ε ≡ εii = εeii ,33eeij ≡ eij − epij = eij − εpij ,eij ≡ εij − εδij .(5.99)Ассоциированный закон пластического течения (5.39) с учетом (5.95) записываетсяв следующем виде:√√∂f33pε̇ij = λ=λsij , λ̄ ≡ λ⇒ ε̇pij = λ̄sij .(5.100)∂σij2T2TДифференцируя левые и правые части первых двух равенств в (5.98) по t и используя (5.99), (5.100), получаем уравнения Прандтля – Рейса для идеального пластическогоматериала:ṡij1 − 2νėij = λ̄sij +, ε̇ =σ̇(5.101)2µEсо следующими ограничениями на параметр λ̄ (см. (5.18)):{= 0, если sij sij < 2τy2 или sij sij = 2τy2 и sij ṡij < 0,λ̄> 0, если sij sij = 2τy2 и sij ṡij = 0.(5.102)Специализируем выражение тензора Cep для рассматриваемой модели материала.Компоненты тензора определяющих соотношений Ce для закона Гука (рассматриваетсялинейный упругий изотропный материал) имеют следующий вид (см.
(3.44), (3.45)):e= µ(δik δjl + δil δjk ) + λ̃δij δkl ,Cijklλ̃ =Eν,(1 + ν)(1 − 2ν)µ=E.2(1 + ν)(5.103)Закон Гука для линейного упругого изотропного материала, представленный в скоростях,имеет следующий вид:σ̇ = Ce : ε̇e = 2µε̇e + λ̃I(I : ε̇e )⇔σ̇ij = 2µε̇eij + λ̃δij ε̇ekk .(5.104)Подставляя в равенство (5.104) тензор n вместо тензора ε̇e , получимCe : n = 2µn + λ̃I (I : n) = 2µn.(5.105)Здесь использовали пропорциональность тензоров n и s (см. (5.97)) и то, что первыйинвариант девиатора тензора напряжений равен нулю (см.
первое равенство в (3.12)),90Глава 5. Упругопластическое деформирование твердого телаоткуда получаем равенство I : n = 0. Используя (5.104), (5.105) и главную симметриюeeтензора Ce (см. (3.42)), т. е. равенства Cijkl= Cklij, приходим к следующим равенствам:n : Ce : n = 2µn : n = 2µ,n : Ce : ε̇ = 2µn : ε̇,n : Ce = Ce : n = 2µn.(5.106)Таким образом, формулы связи скорости тензора напряжений σ̇ и скорости тензора деформаций ε̇ (5.78), справедливые для записи определяющих соотношений упругопластичности общего вида, для рассматриваемой модели материала специализируются, сиспользованием соотношений (5.106), к следующей форме:[]λ̃n : ε̇σ̇ = 2µ ε̇ +(5.107)I (I : ε̇) − cn,2µh/2µ + 1или, в компонентном виде,[]νEnkl ε̇klσ̇ij =ε̇ij +δij ε̇kk − cnij.1+ν1 − 2νh/2µ + 1(5.108)Зависимость (5.107) можно переписать в виде (5.80), в котором общий вид тензора четвертого порядка Cep в (5.80) для рассматриваемой модели материала принимает следующийвид:2cµ(5.109)Cep = Ce −n ⊗ n,h/2µ + 1или, в компонентной записи,()1Eνnij nklepCijkl =(δik δjl + δil δjk ) +δij δkl − c.(5.110)1+ν 21 − 2νh/2µ + 1Формулы (5.71) для определения параметра c для настоящей модели материала, сучетом (5.106), специализируются следующим образом:{0, если f < 0 или f = 0 и n : ε̇ 6 0c=,(5.111)1, если f = 0 и n : ε̇ > 0или, в компонентной записи,{0, если f < 0 или f = 0 и nij ε̇ij 6 0c=.1, если f = 0 и nij ε̇ij > 0(5.112)Возможен и другой вариант записи формул для определения параметра c.
Отметим, чтознак n : σ̇ совпадает со знаком J˙2 , так как справедливо равенство:J˙2 = s : ṡ = s : [σ̇ − I(I : σ̇)/3] = s : σ̇ − (s : I)(I : σ̇)/3 = s : σ̇,(5.113)а из (5.97) следует, что тензоры s и n отличаются положительным множителем, откудаи следует совпадение знаков величин n : σ̇ и J˙2 .
Тогда из (5.66) получаем формулы дляопределения параметра c для материала с деформационным упрочнением:{0, если J2 < J2y или J2 = J2y и J˙2 6 0(5.114)c=,1, если J2 = J2y и J˙2 > 0а из (5.73) – для идеального упругопластического материала:{0, если J2 < J20 или J2 = J20 и J˙2 < 0.c=1, если J2 = J20 и J˙2 = 0(5.115)5.4.. Определяющие соотношения теории пластического течения91В (5.114), (5.115) введены следующие обозначения:J2y ≡ σy2 (η)/3,J20 ≡ σy2 /3.(5.116)Напомним, что для идеального упругопластического материала в равенствах (5.107)–(5.110) надо положить h = 0. Найдем формулы определения параметра h(η) для материалас деформационным упрочнением.
Отметим, что для рассматриваемой теории пластичности зависимость параметра h(η) можно заменить на зависимость h(T ), так как из условияпластичности получаем√3T − σy (η) = 0 ⇒ η = φ(T ) ⇒ h(η) = h(φ(T )) = h(T ).(5.117)Параметр h можно определить из диаграммы растяжения (для рассматриваемой модели материала предполагается, что диаграмма одноосного сжатия совпадает с диаграммойодноосного растяжения), используя которую, мы можем определить модуль Юнга E икасательный модуль Et (в частности, при определении последнего нелинейный участокдиаграммы, соответствующий деформационному упрочнению, можно приблизить линейным участком). Соберем вместе формулы для определения скоростей компонент тензорадеформаций.
Из (5.55), (5.65), (5.104) (полагаем параметр c = 1, т. е. предполагаем, чтоосуществляется активная пластическая деформация материала) получимε̇ij = ε̇eij + ε̇pij ,ε̇eij =1+ννσ̇ij − δij σ̇kk ,EEε̇pij =1(nkl σ̇kl ) nij .h(5.118)Для одноосного растяжения или сжатия σ11 ̸= 0, остальные компоненты σij = 0. Тогда из(5.118) имеем√√√σ̇113 s113 2σ1121 22peε̇11 =, ε̇11 = n11 σ̇11 , n11 ===⇒ ε̇p11 =σ̇11 . (5.119)Eh2 σy2 3σy33hИз (5.119) получим()()()11122dε1112peε̇11 = ε̇11 + ε̇11 =+σ̇11 ⇒ dε11 =+dσ11 ⇒≡=+,E 3hE 3hdσ11EtE 3h(5.120)откуда имеем выражение для определения параметра упрочнения h из эксперимента поодноосному деформированию:()3 1112 EEt=−.(5.121)⇒ h=h2 Et E3 E − Et5.4.4.Определяющие соотношения теории пластического теченияс кинематическим упрочнениемПолучим определяющие соотношения для теории пластического течения с кинематическим (линейным) упрочнением.
Функция текучести для этой модели материалазаписывается в следующем виде:√√11′′, αij≡ αij − δij αkk .f (σij , αij ) ≡ 3 σ̃ − σy , σ̃ ≡ J˜2 , J˜2 ≡ s̃ij s̃ij , s̃ij ≡ sij − αij23(5.122)Настоящая функция текучести получается из функции текучести (5.88), рассмотренной в предыдущем разделе, заменой тензора с компонентами σij на тензор σij − αij и92Глава 5. Упругопластическое деформирование твердого теласохранением постоянного значения параметра σy , равного начальному значению пределатекучести при одноосном деформировании (см. рис.
5.2, б ).Определим компоненты градиента к поверхности текучести:√∂f3 ∂ J˜2= √.(5.123)∂σij2 J˜2 ∂σijНайдем градиенты:∂ J˜2∂ J˜2 ∂s̃11∂ J˜2 ∂s̃22∂ J˜2 ∂s̃33211=++= s̃11 − s̃22 − s̃33 = s̃11 .∂σ11∂s̃11 ∂σ11 ∂s̃22 ∂σ11 ∂s̃33 ∂σ11333(5.124)Аналогично получаем∂ J˜2= s̃22 ,∂σ22Кроме того, справедливы равенства:∂ J˜2= s̃12 ,∂σ12∂ J˜2= s̃33 .∂σ33∂ J˜2= s̃13 ,∂σ13∂ J˜2= s̃23 .∂σ23(5.125)(5.126)Подставляя (5.124)–(5.126) в (5.123), получаем выражения компонент градиента:√∂f3=s̃ij .(5.127)∂σij2σ̃Вектор внешней нормали единичной длины n к поверхности текучести в девятимерном евклидовом точечном пространстве получим аналогично тому, как получали такойвектор для теории пластичности с изотропным упрочнением.
Получим по аналогии с выражением в (5.97)√3 s̃ijs̃ijnij = √.(5.128)⇒ nij =2 σy2σ̃Формулы для определения σ̇ имеют вид (5.80), где тензор четвертого порядка Cep ипараметр c имеют тот же вид, что и формулы (5.109) и (5.111), полученные для теориипластического течения с изотропным упрочнением, с той только оговоркой, что параметрупрочнения h = 2EEt /3(E − Et ) здесь определяется только для материала с линейнымупрочнением, т. е. для Et = const, так что h = const.Определим эволюцию тензора α. При пластическом течении справедливо равенство:Найдем величины:∂f∂fσ̇ij +α̇ij = 0.f˙ =∂σij∂αij(5.129)√∂f3 ∂ J˜2= √.∂αij2 J˜2 ∂αij(5.130)Имеем∂ J˜2 ∂s̃11∂ J˜2 ∂s̃22∂ J˜2 ∂s̃33211∂ J˜2=++= − s̃11 + s̃22 + s̃33 = −s̃11 .∂α11∂s̃11 ∂α11 ∂s̃22 ∂α11 ∂s̃33 ∂α11333(5.131)Аналогичные выражения получаем и для остальных производных ∂ J˜2 /∂αij :∂ J˜2= −s̃ij .∂αij(5.132)5.4..
Определяющие соотношения теории пластического течения93f=0.phe~s =s- aas.sдfдs.a. .s- aРис. 5.17. Определение векторов (тензоров) для модели упругопластического материала с кинематическим упрочнениемИз (5.130), (5.132) имеем√∂f3∂f=−s̃ij = −.∂αij2σ̃∂σij(5.133)Из (5.129), (5.133) получаем∂f(σ̇ij − α̇ij ) = 0,∂σij⇒n : (σ̇ − α̇) = 0.(5.134)Вектор α̇ в девятимерном евклидовом точечном пространстве может принимать разные направления, но из (5.134) следует, что проекция вектора α̇ на вектор нормали nсовпадает с проекцией вектора σ̇ (рис. 5.17).
Направление вектора α̇ задается правиламикинематического упрочнения:• Правило кинематического упрочнения Прагера: α̇ = µε̇p .• Правило кинематического упрочнения Циглера: α̇ = µσ̃, σ̃ ≡ σ − α.Здесь используется скалярный параметр µ (µ > 0), который требует дальнейшего определения. Определим сначала этот параметр, используя правило Прагера. Из (5.134) иравенства α̇ = µε̇p получаемµn : ε̇p = n : σ̇.(5.135)Из (5.65) получаем следующее равенство:n : ε̇p =1n : σ̇.h(5.136)Из (5.135) и (5.136) имеемµ = h.(5.137)Используя (5.65) и (5.137), правило кинематического упрочнения Прагера можно переписать в следующем виде:α̇ = hε̇p = (n : σ̇)n.(5.138)Определим теперь параметр µ, используя правило кинематического упрочнения Циглера.
Подставляя выражение для α̇, определенное с использованием правила Циглера, вравенство (5.134), имеем следующее равенство:n : (σ̇ − µσ̃) = 0,(5.139)94Глава 5. Упругопластическое деформирование твердого телаоткуда получим выражение для параметра µ:µ=Из (5.128) имеемs̃ =n : σ̇.n : σ̃(5.140)√2σ̃n.(5.141)Используя равенство (5.141), получимn : σ̃ = n : s̃ =√2σ̃n : n =√2σ̃.(5.142)Из (5.140) и (5.142) имеем следующее выражение для параметра µ:n : σ̇µ= √ .2σ̃(5.143)Используя правило кинематического упрочнения Циглера и выражение для параметра µв (5.143), получимσ̃α̇ = (n : σ̇) √ = (n : σ̇)m,(5.144)2σ̃где m – тензор второго порядка, который определяется следующим образом:σ̃m≡ √ .2σ̃(5.145)В итоге, имеем выражения для определения тензора α̇ при использовании правилакинематического упрочнения:√• Прагера – α̇ = (n : σ̇)n, n = s̃/ 2σ̃,√• Циглера – α̇ = (n : σ̇)m, m = σ̃/ 2σ̃.5.4.5.Определяющие соотношения теории пластического теченияс комбинированным упрочнениемПолучим определяющие соотношения теории пластического течения с комбинированным упрочнением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
