1625914689-e957c8b7a8e4003fe3539e4e0e465a65 (532400), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Функция текучести имеет следующий вид:√f (σij , αij , η) ≡ 3σ̃ − σy (η).(5.146)Дифференцируя по времени левую и правую части условия текучести f = 0, получим∂f∂f∂ff˙ =σ̇ij +α̇ij +σ̇y = 0.∂σij∂αij∂σyСправедливы следующие равенства (см. п. 5.4.4):√√3∂f3∂f=s̃ij ,=−s̃ij ,∂σij2σ̃∂αij2σ̃∂f= −1.∂σy(5.147)(5.148)Равенство (5.147), с учетом соотношений (5.148), перепишется в следующем виде:√3s̃ij (σ̇ij − α̇ij ) = σ̇y .(5.149)2σ̃5.5..
Деформационная теория пластичности и пределы ее применимостиПринимая во внимание соотношение, которое следует из (5.128):√√33s̃ij =nij ,2σ̃2перепишем равенство (5.149) в следующем виде:√n : (σ̇ − α̇) =2σ̇y .395(5.150)(5.151)Представим это равенство в следующем виде:√n : σ̇ = n : α̇ +2σ̇y .3(5.152)Полагая, что величины в левой части равенства (5.152) известны, отмечаем, что в правойчасти этого равенства при определении величин α̇ и σ̇y существует произвол. В частности,это равенство будет выполнено, если принять, что√2σ̇y = αn : σ̇, 0 6 α 6 1.(5.153)n : α̇ = (1 − α)n : σ̇,3Отметим, что при α = 0 мы получаем определяющие соотношения теории пластическоготечения с кинематическим упрочнением, а при α = 1 – определяющие соотношения теориипластического течения с изотропным упрочнением.Для определения тензора α̇ по-прежнему можно использовать правила кинематического упрочнения Прагера и Циглера (явные формулы представлены в конце п.
5.4.4), авеличину σ̇y определяем из (5.153) при заданном значении параметра α:√σ̇y =5.5.3αn : σ̇.2(5.154)Деформационная теория пластичности и пределыее применимостиВ теории пластического течения связь между компонентами тензоров напряженийи деформаций строится для бесконечно малых величин или, более точно, для скоростейэтих компонент (см. п. 5.4).
Можно построить и существенно более простые конечные соотношения между компонентами тензоров напряжений и деформаций, представляющиенекоторое обобщение закона Гука. Теория пластичности, основанная на таких определяющих соотношениях, называется деформационной теорией пластичности.5.5.1.Определяющие соотношения деформационной теории пластичностиПредполагается, что для первоначально изотропного упругопластического материала компоненты тензоров упругих и пластических деформаций связаны с компонентамитензора напряжений следующими соотношениями:σij = 3λ̃εδij + 2µεeij ,εpij =g(J2 )sij ,Eεij = εeij + εpij ,(5.155)96Глава 5.
Упругопластическое деформирование твердого телакоторые также можно переписать в следующем виде:σ = Kε,()sij = 2µ eij − εpij ,K≡E.1 − 2ν(5.156)Скаляр g в (5.155) определяется по-разному, в зависимости от того, осуществляется лиразгрузка материала или происходит активная пластическая деформация. Для материалас упрочнением записываем{= 0, если J2 < J2y или J2 = J2y и J˙2 6 0g(5.157),> 0, если J2 = J2 y и J˙2 > 0а для идеального упругопластического материала{= 0, если J2 < J20 или J2 = J20 и J˙2 < 0g,> 0, если J2 = J20 и J˙2 = 0(5.158)где введены обозначения:J2y ≡ σy2 (η)/3,J20 ≡ σy2 /3.Получим формулы связи компонент тензора напряжений с компонентами тензорадеформаций. Используя вторые выражения в (5.155) и (5.156), получаем(g )sij = 2µ eij − sijE⇒sij =2µEeij =eij .1 + 2µg/E1+ν+g(5.159)Используя связь тензора напряжений с девиатором тензора напряжений (3.11), а такжепервое равенство в (5.156) и равенство в (5.159), имеемσij =EEeij + Kεδij =(εij − δij ε) + Kεδij =1+ν+g1+ν+g()EEεij + K −εδij .=1+ν+g1+ν+gПолучим окончательные выражения формул связи компонент тензора напряжений черезкомпоненты тензора деформаций:()E3ν + gσij =εij +δij εkk .(5.160)1+ν+g3 (1 − 2ν)Параметр g можно получить из эксперимента по одноосному деформированию образца, используя диаграмму одноосного растяжения/сжатия.
Имеем)(g2gσ11 2gσ11ppee, ε11 = s11 =σ11 , ε11 = ε11 + ε11 =+1 .(5.161)ε11 =EE3EE3Определяя секущий модуль Es из диаграммы одноосного деформирования, получаем выражение для g:)(3E3 Eσ11=⇒ g=−1 .(5.162)Es ≡ε112g + 32 EsПолучим также соотношения для определения компонент тензора деформаций черезкомпоненты тензора напряжений:εij = εeij + εpij =1[(1 + ν)σij − νσkk δij + gsij ].E(5.163)5.5.. Деформационная теория пластичности и пределы ее применимости5.5.2.97Теорема о простом нагруженииОпределение. Нагружение тела называется простым, если в процессе нагруженияво всех точках тела компоненты девиатора тензора напряжений изменяются пропорционально некоторому параметру f (t), так что справедливы соотношения:sij = f (t)s0ij ,f f˙ > 0,f (t) ̸= 0,(5.164)где s0ij – некоторые фиксированные значения компонент девиатора тензора напряжений.Примечание.
Иногда в определении простого нагружения компоненты девиаторатензора напряжений заменяют на компоненты тензора напряжений. Очевидно, что приведенное выше определение простого нагружения является более общим.Примером простого нагружения может служить однородное напряженное состояние(уравнения равновесия и кинематические граничные условия выполняются тождественно), поскольку в этом случае напряженное состояние определяется только внешними силами пропорционально параметру t.В настоящем пункте теорию пластического течения с изотропным упрочнением длякраткости будем называть теорией пластического течения. Выражения для компоненттензора пластической деформации для этой теории пластичности приведены в (5.100).Выражения для компонент тензора пластической деформации при использовании деформационной теории пластичности приведены в (5.155).
Перепишем эти выражения в следующем виде:εpij = φsij , φ ≡ g/E.(5.165)Прежде, чем привести формулировку теоремы о простом нагружении, получим явные выражения скоростей тензоров пластических деформаций как для теории пластического течения, так и для деформационной теории пластичности для случая материала сдеформационным упрочнением (т. е. полагаем, что касательный модуль для диаграммыодноосного деформирования Et > 0).
Далее для рассматриваемых в этом разделе теорийпластичности принимаем гипотезу о единой кривой: постулируем предположение о том,что касательный Et и секущий Es модули зависят√ только от инварианта J2 (т. е. от скаляраT или от эффективного напряжения σe ≡ 3J2 , которое характеризуется тем, что дляодноосного деформирования выполняется равенство: σe = σ11 ).
Принятие этой гипотезыпозволяет определить касательный и секущий модули для любого напряженного состояния: для заданных значений компонент тензора напряжений σij находим эффективноенапряжение σe . Пользуясь гипотезой о единой кривой, отождествляем это значение с σ11и из диаграммы одноосного деформирования определяем модули Et и Es .• Рассматриваем соотношения теории пластического течения.
Из равенства(5.64) имеем выражение для величины λ:λ=n : σ̇.hk(5.166)Используя равенства (5.96), (5.113) и первое равенство в (5.97), получим из (5.166)для рассматриваемой теории пластического теченияJ˙2λ= √.3hT(5.167)Используя связь величин λ и λ̄ в (5.100), а также первые равенства в (5.89), (5.121),получим из (5.167)g̃(5.168)λ̄ = J˙2 ,E98Глава 5. Упругопластическое деформирование твердого телагде3g̃ ≡4J2()E−1 .Et(5.169)В итоге, из последнего равенства в (5.100) и (5.168) следует, что скорость тензорапластической деформации для теории пластического течения определяется следующим образом:g̃ε̇p = J˙2 s.(5.170)E• Рассматриваем соотношения деформационной теории пластичности.
Выражение для определения параметра g с использованием диаграммы одноосного растяжения приведено во втором равенстве в (5.162). Пользуясь гипотезой о единойкривой, переписываем это выражение:()3Eg=(5.171)−1 .2 Es (J2 )Используя определение секущего модуля Es , приведенное в первом равенстве в (5.162),упрощая обозначения для компонент тензоров напряжений и деформаций для случая одноосного деформирования σ ≡ σ11 , ε ≡ ε11 и используя равенство J2 = σ 2 /3,справедливое при одноосном деформировании, проводим цепочку преобразований:()dg1dg dσ3 d ( ε ) dσ3 σ(dε/dσ) − ε 3 19E1== E= E=−. (5.172)dJ2dσ dJ22 dσ σ dJ22σ22σ4 σ 2 Et EsВыражение для тензора пластических деформаций получим, переписывая покомпонентную запись, приведенную во втором равенстве в (5.155), в следующем виде:εp =g(J2 )s.E(5.173)Дифференцируя левую и правую части равенства в (5.173), учитывая равенство(5.172) и связь σ 2 = 3J2 , получим выражение для скорости тензора пластическойдеформации для деформационной теории пластичности:()g′ ˙gdg3EEp′ε̇ = J2 s + ṡ, g ≡=−,(5.174)EEdJ24J2 Et Esгде выражение для определения параметра g приведено в (5.171).Теорема.
При простом нагружении определяющие соотношения теории пластического течения и деформационной теории пластичности эквивалентны.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть осуществляется простое нагружение.Рассмотрим сначала случай идеального пластического материала. При простом нагружении J2 = J20 .
Так как J2 = sij sij /2, J20 = s0ij s0ij /2, то, используя (5.164), получаемравенство f 2 (t)s0ij s0ij = s0ij s0ij , т. е. f (t) = 1. Тогда из (5.164) получаем sij = s0ij . Покажем, что скорости компонент пластических деформаций ε̇pij , найденные как по теориипластического течения, так и по деформационной теории пластичности, совпадают, откуда и будет следовать эквивалентность определяющих соотношений двух рассматриваемыхтеорий пластичности.• Найдем параметр λ̄, с помощью которого определяются скорости компонент тензорапластических деформаций в (5.100) для теории пластического течения.
Используя5.5.. Деформационная теория пластичности и пределы ее применимости99первое и второе равенства в (5.106), а также значение величины k в (5.96), получимиз (5.76)√21λ=s0 : ε̇,n : ε̇ = √(5.175)033Tгде при получении второго равенства использовалось первое равенство в (5.97). Используя связь величин λ и λ̄ в (5.100), получим из (5.175) равенство для определенияλ̄:1 0λ̄ =s : ε̇.(5.176)2J20• Для деформационной теории пластичности определяющие соотношения записываются в конечных величинах.
В целях сравнения с определяющими соотношениямитеории пластического течения перепишем определяющие соотношения деформационной теории пластичности в скоростях. Дифференцируя левую и правую части третьего равенства в (5.155) и переписывая полученные соотношения для девиаторов,получимė = ėe + ėp .(5.177)Из второго равенства в (5.156) получаемėe = ṡ/2µ = ṡ0 /2µ = 0.(5.178)По-прежнему для несжимаемого материала справедливо равенство ε̇p = ėp . Используя это равенство и равенство в (5.178), перепишем (5.177) в следующем виде:ė = ε̇p .(5.179)ė = φ̇s0 .(5.180)Из (5.165) и (5.179) получаемИспользуя равенство s0 : I = 0 и проводя скалярное произведение левой и правойчастей равенства в (5.180) с тензором s0 , получимs0 : ė = φ̇s0 : s0⇒s0 : ε̇ = 2φ̇J20 .(5.181)Из (5.176) и (5.181) имеемφ̇ =1 0s : ε̇ = λ̄.2J20(5.182)Окончательно получаем равенство ε̇p = λ̄s0 , т.
е. равенство, идентичное аналогичному равенству, которое получается для теории пластического течения (см. (5.100) сучетом (5.176)).Таким образом, в случае идеальной пластичности утверждение теоремы доказано.Теперь рассмотрим случай пластического материала с деформационным упрочнением. Из (5.164) имеемs = f (t)s0⇒J2 = f (t)2 J20 ,ṡ = f˙(t)s0 ,J˙2 = s : ṡ = 2f (t)f˙(t)J20 .(5.183)Определим скорости тензора пластической деформации ε̇p , используя определяющие соотношения как теории пластического течения, так и деформационной теории пластичности.• Найдем скорость тензора пластической деформации ε̇p для теории пластическоготечения, используя (5.170), (5.183):())(1E3 f˙(t) E3p00˙ε̇ = λ̄s =− 1 2f (t)f (t)J2 f (t)s =− 1 s0 .(5.184)E 4f (t)2 J20 Et2 EEt100Глава 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
