1625914689-e957c8b7a8e4003fe3539e4e0e465a65 (532400), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Пластическое поведение осуществляется также при деформировании грунтов и горных пород, однако для этих сред надо также учитывать внутреннеетрение и сцепление между составляющими их частицами.Пусть некоторое тело лежит на шероховатой поверхности, N – сила нормальногодавления (прижимающая тело к поверхности и действующая по нормали к ней), а T – сила, приложенная к телу вдоль поверхности контакта (рис. 5.9, а). Из экспериментальныхисследований известно, что существует такое критическое значение силы T , которое обозначаем через T ∗ , что при T < T ∗ движение тела относительно поверхности мало, а приT = T ∗ происходит неограниченное скольжение тела по поверхности (рис.
5.9, б ). Такоедвижение аналогично деформированию тел из идеального упругопластического материала, при этом T ∗ – аналог предела текучести. Также из экспериментальных исследованийизвестно, что критическое значение силы T зависит от силы нормального давления N .Закон трения Кулона утверждает, что эта зависимость линейна и имеет следующий вид:T ∗ = µN,(5.21)где µ – коэффициент трения. Закон трения Кулона (5.21) можно переписать, используявместо коэффициента трения µ угол внутреннего трения φ (рис. 5.9, в):T ∗ = tg φN,(5.22)76Глава 5.
Упругопластическое деформирование твердого телаабповерхность текучести Кулона-Мора, j > 0поверхность текучести Друкера-Прагера, j > 0s1=s2=s3s1=s2=s3-s3-s33ctgj3ctgj-s2-s1-s2поверхность текучестиТреска, j = 0-s1поверхность текучестиМизеса, j = 0Рис. 5.10. Поверхности текучести Друкера – Прагера а) и Кулона – Мора б )так что эти константы, характеризующие зависимость T ∗ от N , связаны равенством µ =tg φ. При учете сцепления тела с поверхностью используют обобщенный закон тренияКулона, который является обобщением законов (5.21), (5.22) и имеет следующий вид:T ∗ = tg φN + c,(5.23)где введен еще один параметр, характеризующий трение тела с поверхностью, – коэффициент сцепления c.
Этот закон является аналогом критерия текучести для сыпучейсреды, полученного из экспериментальных исследований, который выглядит следующимобразом:τmax = − sin φ · σ + c · cos φ.(5.24)В общем виде критерии текучести для сыпучих сред, грунтов и горных пород представляют зависимость как от второго и третьего инвариатов девиатора тензора напряжений, так и от среднего давления (напомним, что критерии текучести Треска и Мизесане зависят от среднего давления).
Приведем два наиболее известных критерия текучеститакого вида, являющихся обобщениями критериев текучести Треска и Мизеса и включающих в качестве констант материала угол внутреннего трения φ и коэффициент сцепленияc. Условие текучести Кулона – Мора является обобщением условия текучести Треска изаписывается следующим образом:Tσ sin φ + T cos θ − √ sin φ sin θ − c cos φ = 0,3(5.25)где угол θ определяется в (5.19).Условие текучести Друкера – Прагера является обобщением условия текучести Мизеса и имеет следующий вид:6(σ sin φ − c cos φ)√+ T = 0.3(3 − sin φ)(5.26)При φ = 0 и 2c = σy условие текучести Кулона – Мора (5.25) преобразуется в условие текучести Треска (5.19), а условие текучести Друкера – Прагера (5.25) – в условие текучестиМизеса (5.20).5.2.. Законы деформационного упрочнения материалавба77k(h)aijaijk(h)изотропноеупрочнениетрансляционноеупрочнениекомбинированноеупрочнениеРис.
5.11. Поведение кривых на девиаторной плоскости для различных законов упрочнения: а)изменяется форма поверхности текучести; б ) поверхность текучести сохраняет форму, смещаясь относительно гидростатической оси; в) поверхность текучести меняет форму и смещаетсяотносительно гидростатической осиКривые текучести Кулона – Мора и Друкера – Прагера имеют тот же вид, что и кривые текучести Треска и Мизеса соответственно. В пространстве напряжений поверхностьтекучести Кулона – Мора представляет собой пирамиду (рис.
5.10, а), а поверхность текучести Друкера – Прагера – конус (рис. 5.10, б ). Вершины пирамиды и конуса расположенына гидростатической оси при положительном значении среднего напряжения σ и отвечаютпотере несущей способности материала, соответствующей его разрушению при действиирастягивающих напряжений. Пирамида и конус не имеют ограничения по длине в сторону отрицательного значения среднего напряжения σ, что соответствует предположению отом, что при действии сжатия материал сыпучей среды не разрушается.5.2.Законы деформационного упрочнения материалаБольшинство материалов в обычных условиях при пластическом деформированииупрочняется.
На диаграмме одноосного деформирования это явление выражается в увеличении предела текучести при пластическом деформировании. В общем случае происходит некоторая эволюция поверхности текучести в пространстве напряжений, котораяописывается законом упрочнения материала, выражающимся в виде равенства:f (σij , αij ) = k(η).(5.27)Предел текучести при деформационном упрочнении материала становится переменной величиной, зависящей от параметра упрочнения η.
Параметр упрочнения отвечает зарасширение поверхности текучести при пластическом деформировании, так что η = η(εpij ).Тензор αij , называемый иногда тензором микронапряжений, отвечает за расположениеоси симметрии поверхности текучести. Если все его компоненты нулевые, то мы имеемизотропное упрочнение (рис. 5.11, а) – всестороннее расширение поверхности текучести.В противном случае при пластическом деформировании поверхность сдвигается либо какжесткое целое (кинематическое, или трансляционное упрочнение) (рис. 5.11, б ), либоодновременно с расширением (комбинированное упрочнение) (рис.
5.11, в).В качестве параметра упрочнения обычно рассматривают либо работу пластическойдеформации (тогда параметр упрочнения называется энергетическим параметром упрочнения)∫η=σij dεpij ,(5.28)78Глава 5. Упругопластическое деформирование твердого телалибо накопленную пластическую деформацию (тогда параметр упрочнения называетсяпараметром упрочнения Одквиста)∫ √η=2dεpij dεpij .(5.29)Если считать, что упрочнение при пластическом деформировании развивается одинаково во всех направлениях (т. е. деформационное упрочнение является изотропным) ине зависит от среднего напряжения σ, условие текучести (5.27) можно переписать в следующем виде:f (sij ) = k(η).(5.30)При трансляционном упрочнении это выражение изменяется, так как необходимо учестьперемещение оси симметрии в пространстве напряжений (или центра кривой текучестина девиаторной плоскости):f (sij − αij ) = k.(5.31)Отметим, что при трансляционном упрочнении правая часть условия текучести не зависитот параметра упрочнения.Для приращений dαij , соответствующих приращению пластической деформации, существуют некоторые экспериментальные дифференциальные зависимости.
Самый простой и наиболее распространенный вариант – линейная связь между компонентами dαij иdεpij тензоров dα и dεp .При использовании закона комбинированного упрочнения зависимость от компонентпластической деформации имеется в обеих частях равенства, выражающего условие текучести:f (sij − αij ) = k(η).(5.32)Если материал в начальном состоянии изотропен и его поведение при деформации зависит только от второго инварианта девиатора тензора напряжений, т. е. от интенсивностикасательных напряжений T , условие текучести (5.32) принимает следующий вид:(sij − αij )(sij − αij ) = k(η).(5.33)Отметим, что при отсутствии перемещения центра кривой текучести (т. е. при αij = 0(i, j=1, 2, 3)) условие текучести (5.32) является условием текучести Мизеса (5.20) приотождествлении k = σy .Законы упрочнения вида (5.32), (5.33) удовлетворительно описывают деформационное упрочнение достаточно большого набора материалов в довольно широких границахизменения пути нагружения.
При необходимости можно ввести в рассмотрение дополнительные параметры, определяющие вид правой части. Впрочем, экспериментальные исследования показывают, что правая часть, отвечающая за расширение поверхности текучести, в процессе деформирования претерпевает сравнительно небольшие изменения.5.3.Некоторые постулаты построения определяющих соотношений упругопластической среды и их следствияОбщий вид определяющих соотношений упругопластического материала ограничивается принятием некоторых принципов, или постулатов, которые выдвигаются для согласования теоретических построений функциональных связей компонент тензоров напряжений и деформаций с экспериментальными исследованиями, с законами термодинамикии т. д.
Рассмотрим некоторые из этих известных принципов и постулатов.5.3.. Некоторые постулаты построения определяющих соотношений . . .5.3.1.79Принцип максимума МизесаОсновная гипотеза теории пластичности состоит в том, что тензор деформаций можно представить в виде суммы тензора упругих и тензора пластических деформаций:εij = εeij + εpij ,ε = εe + εp .(5.34)Введем понятие мощности внутренних сил единицы объема деформируемого тела:W̃ ≡ σij ε̇ij = σ : ε̇ = σ : (ε̇e + ε̇p ) = W̃ e + W̃ p .(5.35)Полученное разложение мощности внутренних сил на сумму упругой и пластической составляющих является следствием аддитивного разложения тензора деформаций (5.34).Из термодинамических соображений следует ограничение на величину пластической составляющей мощности внутренних сил: W̃ p > 0.
Величина W̃ p более кратко называетсямощностью пластической деформации.Рассмотрим поверхность нагружения f (σij , αij , η) = 0 или поверхность текучестиf (σij ) = 0. При фиксированных значениях αij и η рассмотрим компоненты тензора допустимых напряжений σij∗ , т. е. компоненты тензора напряжений, удовлетворяющие неравенствам f (σij∗ , αij , η) 6 0 в случае деформационного упрочнения материала или f (σij∗ ) 6 0в случае идеального упругопластического материала.Принцип максимума Мизеса (принцип максимума скорости диссипациимеханической энергии, постулат максимальной пластической работы) формулируется следующим образом: для истинного поля напряжений σij мощность пластических деформаций не меньше, чем для любого допустимого поля напряжений σij∗ , т.
е.должны выполняться неравенства:σij ε̇pij > σij∗ ε̇pij⇔(σij − σij∗ )ε̇pij > 0.(5.36)Введем евклидово точечное пространство размерности 9. В этом пространстве вводим радиус-векторы, компоненты которых составлены из компонент тензоров напряженийи деформаций:σ̄ = (σ11 , σ22 , σ33 , σ12 , σ13 , σ23 , σ21 , σ31 , σ32 ),ε̄ = (ε11 , ε22 , ε33 , ε12 , ε13 , ε23 , ε21 , ε31 , ε32 ).В этих обозначениях неравенство (5.36) перепишется в следующем виде:(σ̄ − σ̄ ∗ ) · ε̄˙ p > 0.(5.37)Следствия принципа максимума Мизеса:1) выпуклость (по крайней мере, невогнутость) поверхности нагружения или текучести;2) вектор ε̄˙ p нормален к регулярной поверхности нагружения или текучести.Д о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
