1625914689-e957c8b7a8e4003fe3539e4e0e465a65 (532400), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Соответственно,скачок среднего давления составит] [ ][√σt1= 2 τy2 − τn2 .(4.36)[σ] = (σn + σt ) =22Отметим также, что, используя равенства (4.25), условия (4.33) можно переписать вследующем виде:σ + − τy sin 2(θ+ − φ) = σ − − τy sin 2(θ− − φ),τy cos 2(θ+ − φ) = τy cos 2(θ− − φ),откуда получаем θ+ − φ = ±(θ− − φ) ± mπ, где m – целое число. Если перед скобкой взятьзнак «+», распределение напряжений в окрестности предполагаемой линии разрыва будетнепрерывным. Поэтому возьмем знак «-», что нам дастθ− = −θ+ + 2φ + mπ,(4.37)т. е.
угол наклона линий скольжения θ меняется скачком на линии разрыва напряжений.Также скачком меняется и кривизна линий скольжения.Отметим также, что линия скольжений не может быть линией разрыва напряжений, так как на линии скольжения τn = τy , а значит, и σt = σn .66Глава 4. Жесткопластическое деформирование твердого тела .
. .абвx2аx1hРис. 4.6. Иллюстрация неединственности полей линий скольжения в задаче о растяжении полосыс круговым отверстием4.7.Неединственность поля напряжений, предельная нагрузка, критерий выбораПостроение поля скольжения связано с выделением пластических и жестких областей, которое в некоторой степени произвольно, так как в жесткой области напряженияне определены. Из-за этого возникает проблема неединственности полей напряжений взадаче жесткопластического деформирования, а значит, требуется некоторый признак, покоторому из множества возможных решений можно выбрать наиболее подходящее решение.Рассмотрим для примера симметричную полосу с круговым отверстием, растягиваемую силой, приложенной в направлении вертикальной оси (рис. 4.6). Предполагается, чтов вертикальном направлении полоса намного длиннее, чем в горизонтальном направлении (на рис.
4.6 приведен лишь участок вблизи отверстия). Здесь есть две свободныеграницы – прямолинейная внешняя и дуговая внутренняя. Соответственно можно построить треугольное поле равномерного одноосного растяжения от внешней границы икриволинейный треугольник из логарифмических спиралей – от дуговой границы. Этиполя должны встречаться в некоторой точке на горизонтальной оси (рис. 4.6, а). Могуттакже реализоваться частные случаи, в которых поле линий скольжения от одной из границ пересекает всю область целиком (рис. 4.6, б, в). В треугольнике у внешней границынапряженное состояние имеет следующий вид:σ11 = τ12 = 0,σ22 = 2τy ,(4.38)а в криволинейном треугольнике у внутренней границы в полярных координатах это состояние определяется следующими выражениями:rσr = 2τy ln ,aσφ = σr + 2τy .(4.39)Предельная нагрузка складывается из напряжений, действующих на горизонтальнойоси симметрии в направлении растяжения полосы.
В треугольнике у внешней границыэто компонент тензора напряжений σy , а в криволинейном треугольнике у внутреннейграницы – σφ . Интегрируя их по соответствующим отрезкам на горизонтальной оси исуммируя, получим предельную нагрузку для полосы (т. е. такую нагрузку, при которойпластическая область пересекает всю полосу, полностью отделяя друг от друга жесткиеобласти):∫ r0∫ h∫ r0r(4.40)P∗ = 2σφ dr + 2σy dx = 4τy (h − a) + 4τyln dr,aar0aгде r0 – полярный радиус точки соприкосновения областей.4.8.. Заключительные замечания67Таким образом, имеется бесконечное множество решений задачи о предельной нагрузке, соответствующих различным значениям r0 .
Однако в действительности реализуется всегда та конфигурация пластической зоны, которая дает минимальную предельнуюнагрузку. Предельная нагрузка, заданная выражением (4.40), достигает своего минимума P∗ = 4τy (h − a) при совпадении величин a и r0 , т. е. в реальности из всех возможныхконфигураций будет реализована конфигурация, приведенная на рис. 4.6, в.4.8.Заключительные замечанияЖесткопластическое тело является сильно упрощенной моделью реального деформируемого неупругого тела.
Она позволяет в некоторых случаях достаточно просто получать полезные на практике решения. Однако в настоящее время существуют и другиемодели неупругого деформирования твердых тел, позволяющие более детально описывать процессы неупругого деформирования.
Математическое моделирование процессовдеформирования тел из неупругих материалов, осуществляемое при помощи компьютерных программ на основе более общей теории упругопластического деформирования, позволяет решать бо́льший круг задач, в том числе моделирования деформирования тел сдостаточно сложными геометрией и условиями нагружения. Следующая глава посвященапостроению математической модели упругопластического деформирования твердого тела.Глава 5Упругопластическое деформированиетвердого тела5.1.Идеальная пластичность, упрочнение и условия пластичности5.1.1.Идеализированные диаграммы одноосного квазистатического деформирования упругопластического материалаНа практике диаграмма одноосного деформирования аппроксимируется линейнымиучастками только при упругом деформировании и при достижении площадки текучести,если таковая вообще имеется.
Для мягких цветных металлов линейности не наблюдается даже в упругой области. В сущности, упругая область для них не может быть строгоопределена и потому ограничивается некоторыми принятыми техническими допущениями. Однако во многих случаях реальные свойства материала могут быть удовлетворительно приближены идеальными моделями диаграмм одноосного деформирования с кусочнолинейными участками.Самая простая из них – диаграмма идеального жесткопластического материала(рис. 5.1, а) – рассмотрена в предыдущей главе.
Единственная характеристика материаладля этой диаграммы – предел текучести σy . Разгрузка для такой модели аппроксимируетсявертикальным участком диаграммы, накопленная деформация после разгрузки сохраняется. Эту модель можно усложнить, предполагая, что пластическое течение сопровождается деформационным упрочнением материала (рис. 5.1, б ), для определения котороговводится вторая характеристика материала – касательный модуль Et . Предполагается,что разгрузка происходит так же, как в модели без упрочнения.Более реальной является модель идеального упругопластического материала (5.1, в).Она определяется двумя характеристиками материала – пределом текучести σy и модулемЮнга E. При разгрузке из пластического состояния на диаграмме одноосного деформирования образуется участок, параллельный участку упругого деформирования (т.
е. разгрузка происходит по закону упругого деформирования), и итоговая деформация образца,накопленная до момента разгрузки, складывается из двух частей: упругой деформацииεe , исчезающей при разгрузке, и остаточной пластической деформации εp . Как и в модели жесткопластического материала, на диаграмме одноосного деформирования можноввести упрочнение, характеризуемое касательным модулем Et (рис. 5.1, г).
Между линейными участками упругости (характеризуется модулем E) и деформационного упрочнения(задан модулем Et ) существует принципиальная разница. Если при разгрузке на упругом участке происходит возвращение по тому же пути, по которому шла нагрузка, то на685.1.. Идеальная пластичность, упрочнение и условия пластичностиабsssysyy}}peeeE = tgjEt = tgyвssypeгsysyjpejeeeee=e +ep}}jee}}jpe69eepe=e +eyРис. 5.1.
Идеализированные диаграммы одноосного деформирования: а) идеальный жесткопластический материал, б ) жесткопластический материал с упрочнением, в) идеальный упругопластический материал, г) упругопластический материал с упрочнениемабsssTysy0sTysy0yjy-sE = tgjEt = tgysy0jjeTyysyjsy0/yeTsy =sy -2s0y/Рис. 5.2. Диаграммы одноосного деформирования упругопластического материала с изотропныма) и кинематическим б ) упрочнениемпластическом участке разгрузка идет не вдоль прямой нагружения, а по отрезку, параллельному отрезку, соответствующему упругому деформированию.5.1.2.Изотропное и кинематическое упрочнениеУпрочнение при нагрузке с одним знаком сказывается на поведении тела при разгрузке и при дальнейшей нагрузке с обратным знаком. Если при нагрузке предел текучести увеличился до некоторого значения σy , а при последующей разгрузке и нагрузке с обратным знаком предел текучести по-прежнему имеет значение σy , такое деформационноеупрочнение материала называется изотропным (рис.
5.2, а). Для него промежуток междупределами текучести на сжатие и растяжение увеличивается симметрично относительнонуля. Другой закон упрочнения предполагает сохранение величины этого промежутка иперемещение его вдоль оси напряжений в направлении произведенного нагружения.
Вэтом случае при увеличении предела текучести при нагружении с одним знаком предел70Глава 5. Упругопластическое деформирование твердого телатекучести для нагружения с другим знаком уменьшается на ту же величину. Такое деформационное упрочнение материала называется кинематическим (рис. 5.2, б ), а самоявление уменьшения предела текучести в одном направлении нагружения при увеличенииего в другом направлении называется эффектом Баушингера.5.1.3.Критерий текучестиПри одноосном деформировании критерием текучести является выполнение равенства |σ| = σy .
В условиях плоской деформации критерий текучести представлен в равенстве (4.10). Для общего случая деформации критерием текучести называется закон,определяющий границу упругого поведения материала при любых возможных комбинациях напряжений. Он выражается математически в виде равенстваf (σij ) = k,(5.1)где f – функция текучести, а k – некоторый параметр текучести, который иногда переносят в левую часть, включая в определение функции f . Уравнение (5.1) можно трактоватькак уравнение поверхности в пространстве компонент тензора напряжений, поэтому критерий текучести можно трактовать как уравнение поверхности текучести.В силу физических ограничений на деформирование материала на вид функции текучести f (σij ) накладываются следующие ограничения:1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
